一道高中物理題的詳細(xì)討論

2023-08-16 19:04 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過 | 我要投稿

今天刷到了視頻【動態(tài)演示】動量，彈簧模型，雙桿約束型，難度大，其題目如下：

視頻先前講述了提問者(一名學(xué)生)與一位老師的分析，然后通過作動態(tài)圖驗證學(xué)生的做法是正確的。那么這題具體該如何分析呢？錯方的錯誤又位于何處？以這篇專欄展開詳細(xì)的論述。

首先來看這道題的

受力分析：

我們可以采用微元的思想，從開始經(jīng)過了極小的一段時間 $%5CDelta%20t$

ps:本想寫 $%5Cmathrm%7Bd%7D%20t$ 的，但考慮到是高中題所以寫了 $%5CDelta%20t$ ，方便理解就好

那么 $B$ 就向右運(yùn)動了微小的一段距離 $%5CDelta%20x_%7BB%7D$ ，則彈簧的下端會稍微偏右，如下圖所示：

由于彈簧被壓縮，故其對A,B均為“推開”的效果(推力沿恢復(fù)形變的方向)

對小球B：這時彈簧對B的作用力斜向右下方，其中豎直分量與桿對其的支持力相平衡，水平分量向右，因此隨后一個階段B向右做加速運(yùn)動。

對小球A：這時彈簧對A的作用力斜向左上方，其中豎直分量與桿對其的支持力相平衡，水平分量向左，因此隨后一個階段A向左做加速運(yùn)動。

所以得出結(jié)論：

A剛開始會向左運(yùn)動！

那么那位同學(xué)的老師的做法錯在何處呢？我隱約看了看那兩張圖，立刻發(fā)現(xiàn)了問題所在：

從第二張圖可以看出這位老師的錯因是識別錯模型了。這明顯不是這種簡單的彈簧連接體模型。至于具體數(shù)字比較模糊難看，所以大致從以下幾點來解釋：

(1)如果是圖中這種彈簧連接體，那么要讓物塊A,B在開始前靜止，彈簧就必須處于原長。否則彈力不為0，(又因為地面光滑)則A,B具有加速度，不可能靜止

(2)在彈簧處于原長后，給位于彈簧左邊的B一初速度，那么取微小的一段 $%5CDelta%20t$ 來研究，那么彈簧會受到微小的壓縮，如下圖所示：

既然彈簧受到了微小的壓縮，那么對A,B就都具有"推開"的效果。

因此隨后一個階段A會向右做加速運(yùn)動，而B會向右做減速運(yùn)動

ps:為什么B也是向右呢？因為剛剛給了B一個向右的初速度

在這個模型的這個條件下，A一開始才只會向右運(yùn)動

這種模型下的這個情形與原題中的情形差別是很大的，究其原因，最直接的是彈簧的擺放位置決定了兩個物體的受力。這一點相信都毋庸置疑了

同時這也就體現(xiàn)物理題靈活的地方所在，它要求你把受力分析的(抽象的)思維框架掌握，而不是單純生搬硬套的

分析完了爭議以及錯因，我們再來解決一開始的這道題目：

分析A選項：

對A,B以及彈簧組成的系統(tǒng)整體分析，水平方向不受外力，豎直方向重力與支持力平衡，因此整個系統(tǒng)所受合外力為0，故系統(tǒng)動量守恒。

由于沒有除自身重力和彈力以外的力對系統(tǒng)做功，故機(jī)械能守恒

綜上，A正確

分析B,C選項：

取向右為正方向

由開始到題所示的狀態(tài)，有：

動量守恒： $2mv%3Dmv_A'%2B(2m)v_B'$ ①

能量守恒： $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%202mv%5E2%2BE_p%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20mv_A'%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20(2m)v_B'%5E2$ ②

其中 $v_B'%3D2v$ ，代入①解得： $v_A'%3D-2v$

故此時A水平向左的速度大小為2v，B選項錯誤

再將 $v_A'$ 代入②解得： $E_p%3D5mv%5E2$ ，C選項正確

分析D選項：

由題意知，開始時彈簧壓縮量為 $%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D$ ，由上面計算知此時彈性勢能為 $E_p%3D5mv%5E2$

當(dāng)彈簧與導(dǎo)軌夾角為 $30%5E%5Ccirc%20$ 時，彈簧長度為 $%5Cfrac%7BL%7D%7B%5Csin%2030%5E%5Ccirc%20%7D%20%3D2L$ ，則彈簧伸長量為 $%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D$ ，故由開始到題所示的狀態(tài)，彈簧的彈性勢能相等

由開始到題所示的狀態(tài)，有：

動量守恒： $2mv%3Dmv_A''%2B(2m)v_B''$ ③

能量守恒： $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%202mv%5E2%2BE_p%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20mv_A''%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20(2m)v_B''%5E2%2BE_p''$ ④

其中 $E_p%3DE_p''$ ⑤

⑤代入④并整理得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A2v%3D%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bv_A''%7D%7D%20%2B2%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bv_B''%7D%7D%20%20%5C%5C%0Av%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%7B%20v_A''%7D%7D%20%5E2%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bv_B''%7D%7D%20%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

ps:紅/藍(lán)兩種顏色表示兩個未知數(shù)

解得： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bv_A''%7D%7D%20%3D0%5C%5C%0A%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bv_B''%7D%7D%20%20%3Dv%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A~~%5Ctext%7Bor%7D%20~~%0A%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bv_A''%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7Dv%20%5C%5C%0A%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bv_B''%7D%7D%20%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20v%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

下一步就是對這兩組解進(jìn)行討論，看是否滿足條件

而答案選擇直接舍掉第一組解，大概率是誤以為第一組解只存在于有剛開始的狀態(tài)。

而事實上當(dāng)A位于最左端時，此刻也滿足A速度為0，B速度為v(方向水平向右)

如上圖，視頻中的動畫也證明了這點

這就是答案疏忽之處，沒有考慮到其他狀態(tài)也有可能是 $v_A%3D0%2Cv_B%3Dv$

綜上，D答案是錯誤的

至于更具體的分析我也暫時還沒相到，就先留個問題后續(xù)再思考。可以先看原視頻，動畫直述最直觀了

分析完此題，

再來分析視頻后半部分的拓展

剛才我們分析的是一開始彈簧被壓縮的情形，那么如果改為一開始彈簧被拉伸，又該如何分析呢？

分析方法是一樣的，還是采用微元的思想，從開始經(jīng)過了極小的一段時間 $%5CDelta%20t$

那么 $B$ 就向右運(yùn)動了微小的一段距離 $%5CDelta%20x_%7BB%7D$ ，則彈簧的下端會稍微偏右，如下圖所示：

由于彈簧被拉伸，故其對A,B均為“拉進(jìn)”的效果(拉力沿恢復(fù)形變的方向)

對小球B：這時彈簧對B的作用力斜向左上方，其中豎直分量與桿對其的支持力相平衡，水平分量向左，因此隨后一個階段B向右做減速運(yùn)動。(又由于B有初速度)

對小球A：這時彈簧對A的作用力斜向右下方，其中豎直分量與桿對其的支持力相平衡，水平分量向右，因此隨后一個階段A向右做加速運(yùn)動。

因此這種情況就是一開始A,B均向右運(yùn)動

從而這就解釋了視頻03:54~04:42呈現(xiàn)的3中情況中，前兩種情況剛開始A向右運(yùn)動，而最后一種情況剛開始A向左運(yùn)動的原因。

可見微元思想對于理解瞬時運(yùn)動是極其重要的。也是從微觀角度判斷物體運(yùn)動走勢的一種方法。

至于進(jìn)一步控制變量探究其他參量的影響，估計就得費(fèi)不少“成本”了，筆者也不懂計算機(jī)，只能先畫個藍(lán)圖(寫個微分方程)讓熱心的編程大佬幫忙解決了[滑稽]

好了，下面的部分認(rèn)真?zhèn)淇嫉母呖键h們可以跳過了[滑稽]

探究參量的影響

設(shè)可調(diào)控的參量：小球A,B的質(zhì)量分別為 $m_A%2Cm_B$ ，兩桿間距為 $L$ ，彈簧原長為 $L_0$ ，勁度系數(shù)為 $k$

對任意時刻，有：

彈簧長度 $l%3D%5Csqrt%7B(x_A-x_B)%5E2%2BL%5E2%7D%20$

則有向形變量為： $%5CDelta%20%5Cell%20%3D%5Csqrt%7B(x_A-x_B)%5E2%2BL%5E2%7D%20-L_0$

ps:引入"有向"形變量是為了方便描述彈力方向。"有向"形變量>0表示彈簧被拉伸；"有向"形變量<0表示彈簧被壓縮

對A球受力分析，則當(dāng) $%5CDelta%20%5Cell%20%3E0$ (即彈簧被拉伸)時，A所受彈力大小為 $k%5B%5Csqrt%7B(x_A-x_B)%5E2%2BL%5E2%7D%20-L_0%5D$ ，方向與向量 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%20%3D(x_B-x_A%2C-L)$ 同向；

當(dāng) $%5CDelta%20%5Cell%20%3C0$ (即彈簧被壓縮)時，A所受彈力大小為 $k%5BL_0-%5Csqrt%7B(x_A-x_B)%5E2%2BL%5E2%7D%20%5D$ ，方向與向量 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%20%3D(x_B-x_A%2C-L)$ 反向；

于是取與 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%20$ 同向的單位向量

$%5Cvec%7Bm%7D%3D(%5Cfrac%7Bx_B-x_A%7D%7B%5Csqrt%7B(x_B-x_A)%5E2%2BL%5E2%7D%20%7D%20%2C-%5Cfrac%7BL%7D%7B%5Csqrt%7B(x_B-x_A)%5E2%2BL%5E2%7D%20%7D)$

對 $%5Cvec%7Bm%7D$ 乘以系數(shù) $k%5BL_0-%5Csqrt%7B(x_A-x_B)%5E2%2BL%5E2%7D%20%5D$ ，剛好就能得到A所受彈力的方向

即伸縮的模長滿足彈力大小，其正負(fù)也滿足前文的方向

因此A求所受的彈力矢量式為：

$%5Coverrightarrow%7BF%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%5Cfrac%7B(x_B-x_A)k%5BL_0-%5Csqrt%7B(x_A-x_B)%5E2%2BL%5E2%7D%20%5D%7D%7B%5Csqrt%7B(x_B-x_A)%5E2%2BL%5E2%7D%20%7D%20%5C%5C%0A-%5Cfrac%7BLk%5BL_0-%5Csqrt%7B(x_A-x_B)%5E2%2BL%5E2%7D%20%5D%7D%7B%5Csqrt%7B(x_B-x_A)%5E2%2BL%5E2%7D%20%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%20$

其中豎直方向的分量會與桿對A的支持力相平衡，因此水平方向分量也即小球A的合力，于是由牛二，有： $m_Aa_A%3D%5Cfrac%7B(x_B-x_A)k%5BL_0-%5Csqrt%7B(x_A-x_B)%5E2%2BL%5E2%7D%20%5D%7D%7B%5Csqrt%7B(x_B-x_A)%5E2%2BL%5E2%7D%20%7D$

再對B受力分析，而由于彈力對于A,B而言可視為內(nèi)力(相互作用力)，故B所受合力與A所受合力始終等大反向(即彈力水平分量始終等大反向)

即 $m_Ba_B%3D-%5Cfrac%7B(x_B-x_A)k%5BL_0-%5Csqrt%7B(x_A-x_B)%5E2%2BL%5E2%7D%20%5D%7D%7B%5Csqrt%7B(x_B-x_A)%5E2%2BL%5E2%7D%20%7D$

將加速度改為位移的二階導(dǎo)，即 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Aa_A%3D%5Cddot%7Bx%7D_A%20%5C%5C%0Aa_B%3D%5Cddot%7Bx%7D_B%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，于是得到了描述運(yùn)動的微分方程組：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20m_A%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Cddot%7Bx%7D_A%20%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7B(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bx_B%7D%7D-%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bx_A%7D%7D%20)k%5BL_0-%5Csqrt%7B(%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bx_A%7D%7D-%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bx_B%7D%7D)%5E2%2BL%5E2%7D%20%5D%7D%7B%5Csqrt%7B(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bx_B%7D%7D-%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bx_A%7D%7D)%5E2%2BL%5E2%7D%20%7D%5C%5C%0Am_B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Cddot%7Bx%7D_B%7D%7D%20%3D-%5Cfrac%7B(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bx_B%7D%7D-%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bx_A%7D%7D)k%5BL_0-%5Csqrt%7B(%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bx_A%7D%7D-%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bx_B%7D%7D%20)%5E2%2BL%5E2%7D%20%5D%7D%7B%5Csqrt%7B(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bx_B%7D%7D-%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bx_A%7D%7D)%5E2%2BL%5E2%7D%20%7D%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

目標(biāo)是通過這個方程組以及初值解出 $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Cddot%7Bx%7D_A%20%7D%7D%20%2C%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Cddot%7Bx%7D_B%20%7D%7D%20$ 的解析式，不過這復(fù)雜程度估計只能用數(shù)值解了罷(

通過這篇專欄，相信這么枯燥的文章對讀者而言知識的收獲率不會太高。不過我不追求人人都贊同，只是希望告訴大家(包括筆者自己)一個道理：求學(xué)過程中獨(dú)立思考的精神是必不可少的，當(dāng)你發(fā)現(xiàn)你絞盡腦汁分析都未想明白一個問題(或與答案有明顯沖突)時，質(zhì)疑其也不為過。畢竟不管是莘莘學(xué)子中的你和我還是老師或者編寫答案的命題者，都不是圣人，不會萬無一失，犯錯是難免的。犯錯后知道分析錯因以及規(guī)避方法，這個錯就不會白犯。

好了，感謝你聽完一物理菜雞的嗶嗶，告辭！[滑稽]

順便艾特視頻作者幫忙進(jìn)行核驗~

標(biāo)簽：

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