4【暨南大學(xué)】

法一仍然是分段做，方法同題1；

法二要單獨(dú)考慮a是否為0，兩種情況討論；

先考慮a=0，然后如果a≠0，就記bn=an-a(→0）即可，便可以用a=0的情形來(lái)做了。

總結(jié)：這四道題考察語(yǔ)言敘述，多練，有助于對(duì)極限定義理解加深以及分段思想（極限思想）的更深刻理解

Day5：Stolz公式

對(duì)于分母有嚴(yán)格要求的，對(duì)于分子可以是*，也可以是+∞

1【吉林大學(xué)】

由于分母滿足使用Stolz公式的條件，所以用一下，然后得出極限為1/4

2【電子科大】

【概念辨析】題干的這個(gè)C^2[0,1]什么含義？

它的含義是定義在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)兩次可導(dǎo)的函數(shù)集合。這里的2代表函數(shù)的可導(dǎo)次數(shù)。

具體地說，一個(gè)函數(shù)f(x)屬于C^2[0,1]，意味著它在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，并且它的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)和二階導(dǎo)數(shù)f''(x)也在該區(qū)間上都存在且連續(xù)。它表示函數(shù)空間的一個(gè)子空間，包含了所有在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)兩次可導(dǎo)的函數(shù)。

【具體做法】

1問：先利用數(shù)學(xué)歸納法得出an在（0，1）之中，有界；

再去相減，利用題干信息，得到單調(diào)遞減；利用單調(diào)有界定理，得到極限收斂，然后設(shè)為a，由于它是單調(diào)遞減，且an范圍在（0，1）；所以a∈【0，1）（這里0是閉區(qū)間很關(guān)鍵）；我們接著假設(shè)a∈（0，1），發(fā)現(xiàn)兩邊取極限之后與題干信息矛盾，因此a=0；

2問：為了使用Stolz公式，對(duì)于nan這個(gè)式子，如果把n放到分母上變成1/n,就不滿足分母要嚴(yán)格遞增趨于+∞的要求，所以，把a(bǔ)n放到分母做可以滿足要求。注意把a(bǔ)n+1化成f(an)，然后具體的分子分母值需要用一下Taylor公式來(lái)做，最后算出結(jié)果。（恰好符合C^2[0,1]有二階可導(dǎo)連續(xù)的函數(shù)的含義）

注：往往第1問是在為第2問做鋪墊，an極限為0，恰好取倒數(shù)放到分母就是嚴(yán)格單調(diào)遞增趨于+∞；

3【上財(cái)】

觀察題干，有根號(hào)，往往要平方去做；

先去證明xn單調(diào)遞增發(fā)散，為后續(xù)做鋪墊；

先利用數(shù)學(xué)歸納法說明xn>0，有下界；

然后得到｛xn｝單調(diào)遞增；我們假設(shè)它收斂有極限a，通過兩邊取極限，發(fā)現(xiàn)1/a=0，這樣的a不存在，所以｛xn｝不收斂，就是一個(gè)單調(diào)遞增發(fā)散到+∞的數(shù)列；

然后對(duì)于題干要求的式子，使用Stolz公式即可，xn用含xn-1的式子來(lái)代換，最終得到極限為2，收斂，且原極限為根號(hào)2，也可以知道｛xn｝的等價(jià)量是根號(hào)下2n.

4【廈大，南京師大】

想利用Stolz公式，但是發(fā)現(xiàn)題干的極限式子沒有分母，但是發(fā)現(xiàn)題干有個(gè)k是在0-1之間的，想到取個(gè)倒數(shù)不就有分母了，于是令λ=1/k，這樣做，然后通分，分母是λ^n，可以用Stolz公式了，然后最后一步利用｛an｝極限為a,且1/λ=k，得到最后結(jié)果為a/(1-k).

補(bǔ)充題：2道2021-2022電子科大考察Stolz公式的真題