關(guān)于正方體截面形狀的小討論

創(chuàng)造者Hacer

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? ? ? ? 正方體是一種十分常見的幾何體，不管是在題干中，還是在生活上，都已是我們眼中的?？?但就是這么令人熟悉的物體，在它的背后仍然有許多有趣、深奧，甚至堪比未解之謎的問題待我們一一發(fā)掘、解答.這不，正方體截面形狀的多樣性則是像這樣一個趣味無窮的討論點(diǎn).借助幾何畫板，我也發(fā)現(xiàn)了它其中的一些奧秘.

? ? ? ? 多次試驗過后，我歸納出4種正方體的截面形狀：三角形，四邊形，五邊形以及六邊形.下面，我們來討論討論這4種截面形狀的產(chǎn)生條件.

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? ? ? ? （本次實驗所用的正方體的體對角線長度為8.）

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? ? ? ? 三角形應(yīng)該是我們最容易發(fā)現(xiàn)的截面形狀之一了.“很隨便”地一截，就可以獲得一個三角形截面。

? ? ? ? 如圖1所示，當(dāng)截面僅截過同一頂點(diǎn)的三條棱時，即可截得一對三角形截面.

? ? ? ? 于是我們不難得出,當(dāng)截面截得的三條棱長度總是相同時，欲截得三角形，截面到正方體幾何中心的距離的取值范圍：h∈[1/6·a,1/2·a)

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? ? ? ? （其中h為截面到正方體幾何中心的距離，a為體對角線的長度）.

特殊情況：

? ? ? ? 當(dāng)h取得該范圍內(nèi)的最小值1/6·a時情況如圖2所示——此時我們恰好截到一個邊長為面對角線的等邊三角形.

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二．四邊形

? ? ? ? 四邊形形狀的截面也是比較容易發(fā)現(xiàn)的。在此分以下兩種情況討論：

? ? ? ? 1.?當(dāng)截面僅過四條相互平行的棱時，則有四邊形截面出現(xiàn)（圖3）。

? ? ? ? 2.?當(dāng)截面僅過一個面內(nèi)一對相交棱及其平行面內(nèi)另一對完全相同的相交棱即可得到四邊形截面（圖4）。

? ? ? ? 四邊形的出現(xiàn)和獲得可由上述三角形某一頂點(diǎn)的運(yùn)動，即截面繞棱旋轉(zhuǎn)的角度推導(dǎo)而來。運(yùn)用這個頂點(diǎn)“一生二”的思路，我們應(yīng)該很容易進(jìn)行后面的探究。

特殊情況：

? ? ? ? 若要得到面積最大的截面四邊形，則可作以兩條平行的面對角線為長，以對棱為寬的矩形（圖5）。

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三?. 五邊形

? ? ? ??五邊形截面相對于前兩種截面形狀來說就不是那么能直觀地看出來了——當(dāng)然，我們借助前面頂點(diǎn)“一生二”的思想，也可較為容易地得到五邊形的截面。在此我想說說我的思路：

? ? ? ? 當(dāng)在二 .1的情況下時，繞其中某一點(diǎn)變動截面角度，且使得另外三個頂點(diǎn)中的一個移動到所在棱之外，即可得到五邊形（圖6）。

四 . 六邊形

? ? ? ? 依據(jù)剛才所提出的思想，下面我們進(jìn)行六邊形的研究。

? ? ? ??下面我想說說獲得六邊形的兩種思路：

? ? ? ? （1）將圖6所得五邊形在正方體底面上的棱所對頂點(diǎn)繼續(xù)上移，即可得到六邊形（圖7）。

? ? ? ? （2）我在思考二 .2時，片面地想到：可否讓四邊形的四個頂點(diǎn)分別位于兩組對棱上？帶著這個猜想進(jìn)行試驗之后，我發(fā)現(xiàn)，無論如何都只能得到一個六邊形截面。通過分析和反思，我明白思考錯誤的原因，即是這樣做的話，四邊形在兩個底面之間的兩條邊會處于正方體內(nèi)部而非表面（圖7）。

? ? ? ? 于是，根據(jù)截面的定義，我鬼使神差地得到了一個六邊形截面。

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總結(jié)

? ? ? ? 正方體的截面形狀即是這四種。通過我不夠簡潔的描述、不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠懻撆c歸納、過于“民間”的討論思想，以及幾何畫板的buff加持，我還算是把所有的情況以我的視角解釋清楚了吧。

? ? ? ? 這篇論文也不能稱作嚴(yán)格意義上的論文，但是通過這次討論，我還是慢慢找到了數(shù)學(xué)歸納的通法（個人總結(jié)），即是一種或幾種貫穿全局的思想，以及從簡單到復(fù)雜的思路，和全方位無死角的觀察與思考。

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（END）