關(guān)于方向?qū)?shù)和梯度，一般教材都是如下推導(dǎo)的：

上述推導(dǎo)中，好像只是證明了梯度方向是存在的，但卻并沒有指出梯度方向到底是哪個(gè)方向。

參考圖3，在空間曲面

上截取一條空間曲線，現(xiàn)在來討論這條空間曲線的梯度方向。

在圖3的基礎(chǔ)上，通過空間曲線 f 作一個(gè)投影平面X,垂直于水平平面Y，得到一條交線OL。

下面證明空間曲線 f 的梯度方向就是OL的方向。

以op代替一小段曲線 f，曲線 f 與op都在投影平面X內(nèi)，作

由于

表示的就是曲線 f 在垂直于水平平面Y這個(gè)方向上的高度變化，所以它就等于pr，則

再在圖4的Y平面上任意作一條直線om,代表其它的方向向量，再作

則

由于oq>or，所以

這就證明了OL方向就是梯度方向。至于為什么要讓

從圖4可以清晰地看出這種關(guān)系：在Y平面上，oL是向量om的一個(gè)分量。

圖4中oL與om之間的夾角，就是圖2中梯度方向與其它方向直線之間的夾角