此篇文章主要科普下最速降線的求解方法。之所以說(shuō)是科普是因?yàn)閮?nèi)容門檻有些高)有一半以上都是借助于《泛函分析》這本書(shū)的內(nèi)容以及我查閱的諸多文獻(xiàn)的，所以就當(dāng)大部分是“復(fù)述”好了[doge]。(我花費(fèi)了一上午才大致看明白“泛函”和“變分”的基本概念，看來(lái)探索真理任重道遠(yuǎn)呀)

如圖，一小球(視為質(zhì)點(diǎn))由A點(diǎn)靜止釋放，沿一光滑路徑運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，不計(jì)一切阻力，則取何種路徑時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短？

當(dāng)路徑y(tǒng)=y(x)改變時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間t也會(huì)改變，因此路徑可以映射到時(shí)間上，換言之時(shí)間是關(guān)于路徑的函數(shù)t=t(y)

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立左手系（圖如所示）

設(shè)路徑所在曲線為y=y(x)

根據(jù)功能關(guān)系，有：

解得：

由得：

(ps:為弧微分，即微小的一段弧可近似用直線替代，用勾股定理求之)

取其在區(qū)間[x?,x?]上的積分得：

選取不同的y(曲線)，時(shí)間t也會(huì)不同

輸入一個(gè)函數(shù)y，則輸出一個(gè)時(shí)間t，這是一種由函數(shù)空間到數(shù)域的映射，稱之為一種泛函

若我們需要找到一個(gè)y(曲線)，使得輸出的時(shí)間t最小，也就是要找到這個(gè)泛函極值

求解該問(wèn)題則需要運(yùn)用變分法

由上式可知，T是關(guān)于x,y,y'的函數(shù)，即：

設(shè)y(曲線)取得關(guān)于T的泛函極小值(默認(rèn)其一階導(dǎo)存在)

我們對(duì)這一曲線附加一微小的擾動(dòng)(且兩個(gè)端點(diǎn)處微擾值為0，即定端變分)，則曲線形式發(fā)生輕微的改變使得T略有增大。當(dāng)微擾→0時(shí)，總時(shí)間的改變→0，記作：

ps:符號(hào)δ和微分dx的d思想類似，但后者的微擾對(duì)應(yīng)為一個(gè)數(shù)x，而前者的微擾對(duì)應(yīng)為一族函數(shù)，因此為了區(qū)別此便將其記作δ

上式展開(kāi)得：

則

取后兩項(xiàng)積分得微擾的累計(jì)時(shí)間δT

考慮到端點(diǎn)處變分值為0，對(duì)上式第2項(xiàng)采用分部積分得：

∴

令δT→0，則可讓T收斂于所設(shè)泛函極值

即

由于δy為任取的一階微小量，則上述積分恒為0需滿足括號(hào)內(nèi)恒為0，即：

上式即著名的E-L方程(歐拉-拉格朗日方程)

43下面用E-L方程求解原題的最佳解泛函(即最速曲線)

據(jù)表達(dá)式可知，F(xiàn)是不含變量x的函數(shù)

則,由E-L方程可得，泛函T出現(xiàn)極值時(shí)，有：

(C為常數(shù))

代入F表達(dá)式整理得：

∴

則

接下來(lái)就是求解微分方程了

分離變量得：

換元令，則

代入得：

即

即

兩邊積分可得：

質(zhì)點(diǎn)在初始位置時(shí)，,θ=0

此時(shí)x=0,解得C=0

得軌跡參數(shù)方程：

(其中θ為參數(shù))

此參數(shù)方程與擺線的參數(shù)方程相同，因此最速降線也是一條擺線

求出了該最佳泛函解，我們可以利用光學(xué)中的“光線傳播時(shí)間最短”(費(fèi)馬原理)以及斯涅爾定律(光的折射定律)，通過(guò)取空介微元結(jié)合擺線的性質(zhì)加以驗(yàn)證。由于篇幅原因，驗(yàn)證的解析這里就不多贅述了。

數(shù)學(xué)家們的游戲希望有朝一日眼前的你也能參與其中[doge]！