【種花家務(wù)·代數(shù)】2-3-03用代入消元法解二元一次方程組『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-11-27 14:01 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第三章一次方程組?

§3-3用代入消元法解二元一次方程組

【01】我們來看下面的問題：兩個(gè)數(shù)的和是 8，它們的差是 2，求這兩個(gè)數(shù)。

【02】設(shè)兩個(gè)數(shù)中較大的一個(gè)數(shù)是 x，較小的一個(gè)數(shù)是 y，就可以列出方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2By-8%2C%26%26(1)%5C%5Cx-y%3D2.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【03】如果利用一元一次方程來解這個(gè)問題，可以得出下面的方程來：

【04】因?yàn)閮蓴?shù)的和是 8，所以設(shè)較大的數(shù)是 x，那末較小的數(shù)就是 8－x? 。又因兩數(shù)的差是 2，所以可以列出一元一次方程 x－(8－x)＝2……(3)? 。

【05】實(shí)際上，從上面的二元一次方程組的方程(1)，我們可以得到 y＝8－x? 。因?yàn)樯弦还?jié)里我們說過，方程組中相同的字母所表示的是同一個(gè)未知數(shù)，所以在方程(1)和方程(2)中的 x 和 y 分別表示相同的未知數(shù)，因此可以把 8－x 代替方程(2)中的 y? 。這樣就得到了一元一次方程 x－(8－x)＝2? 。這顯然和方程(3)是一樣的。

【06】解這個(gè)方程，得到 x＝5? 。代入 y＝8－x，得到 y＝3? ?！? $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D5%2C%5C%5Cy%3D3%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 就是原二元一次方程組的解。

【07】這種解方程組的方法，叫做代入消元法，簡稱代入法。

例1.用代入法解方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2B3y%3D5%2C%26%26(1)%5C%5C3x-6y%3D6.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】這里，(1)中的 x 的系數(shù)是1，把 x 化成用 y 的代數(shù)式表示的式子比較簡單。

【解】

????????從(1)，得 x＝5－3y……(3)

????????代入(2)，得 3(5－3y)－6y＝6? 。

????????解這個(gè)方程，得－15y＝－9，

????????∴ y＝ $%5Cscriptsize%5Cfrac35$ ?? 。

????????以 y＝ $%5Cscriptsize%5Cfrac35$ ? 代人(3)，得 x＝ $%5Cscriptsize3%5Cfrac15$ ? 。

【檢驗(yàn)】把 x＝ $%5Cscriptsize3%5Cfrac15$ ，y＝ $%5Cscriptsize%5Cfrac35$ ?

????????代入方程(1)： $%5Cscriptsize%5Ctext%7B%E5%B7%A6%E8%BE%B9%7D%3D3%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%2B3%5Ctimes%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%3D5%3D%5Ctext%7B%E5%8F%B3%E8%BE%B9%7D$ 。

????????代入方程(2)： $%5Cscriptsize%E5%B7%A6%E8%BE%B9%3D3%5Ctimes%5Cfrac%7B16%7D%7B5%7D-6%5Ctimes%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%3D6%3D%5Ctext%7B%E5%8F%B3%E8%BE%B9%7D$ 。

????????所以原方程的解是 $%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bx%3D3%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%2C%7D%5C%5C%7By%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D.%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【說明】用代入法解方程組時(shí)，從一個(gè)方程得出把一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示的式子，必須把這個(gè)代數(shù)式代入另一個(gè)方程中去，不能代入原來那個(gè)方程中，例如在本題中，從方程(1)得到 x＝5－3y 后，必須把這個(gè)代數(shù)式代入方程(2)中。如果代入方程(1)，那末得到 0＝0，這樣就不能達(dá)到求出 x，y 的值的目的。

例2.用代入法解方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D3x%2B4y%3D2%2C%26%26(1)%5C%5C2x-y%3D5.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】這里，從(2)中把 y 化成用 x 的代數(shù)式表示的式子比較簡單。

【解】

????????從(2)，得 y＝2x－5……(3)

????????以(3)代入(1)，得 3x＋4(2x－5)＝2? 。

????????解這個(gè)方程，11x＝22，∴ x＝2? 。

????????以 x＝2 代入(3)，得 y＝2?×?2－5＝－1? 。

【檢驗(yàn)】

????????把 x＝2，y＝－1?

????????代入方程(1)：左邊＝3?×?2＋4?×?(－1)＝2＝右邊。

????????代入方程(2)：左邊＝2?×?2－(－1)＝5＝右邊。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D2%2C%5C%5Cy%3D-1.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【說明】用代入法解方程組時(shí)，要把一個(gè)方程里的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來表示，為了計(jì)算簡便，一般選用未知數(shù)的系數(shù)較簡單的一個(gè)。在例1中，選用方程(1)，把 x 化成 y 的代數(shù)式，而在例2中，選用方程(2)，把 y 化成 x 的代數(shù)式。

【08】從上面兩個(gè)例子可以看出，用代入法解二元一次方程組的一般步驟是：

????????（?。┌岩粋€(gè)方程里的一個(gè)未知數(shù)（例如 y）化成用另一個(gè)未知數(shù)（例如 x）的代數(shù)式來表示。

????????（ⅱ）把這個(gè)代數(shù)式代入另一個(gè)方程里，消去一個(gè)未知數(shù)（例如 y），得到另一個(gè)未知數(shù)（例如 x）的一個(gè)一元方程。

????????（ⅲ）解這個(gè)一元方程，求得一個(gè)未知數(shù)（例如 x）的值。

????????（ⅳ）把所求得的值代入第一步所得到的代數(shù)式里，求得另一個(gè)未知數(shù)（例如 y）的值。

????????（ⅴ）把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用 “{” 寫在一起，就是原方程組的解。

【09】為了檢查計(jì)算有沒有錯(cuò)誤，可以把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組，進(jìn)行檢驗(yàn)。

例3.用代入法解方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D5x%2B2y%3D15%2C%26%26(1)%5C%5C8x%2B3y%2B1%3D0.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【解】

????????從(1)，得? $%5Cscriptsize%20y%3D%7B%5Cfrac%7B15-5x%7D%7B2%7D%7D.%5Cquad(3)$

????????以(3)代入(2)，得? $%5Cscriptsize8x%2B%5Cfrac%7B3%5Cleft(15-5x%5Cright)%7D%7B2%7D%2B1%3D0$ ? 。

????????解這個(gè)方程，得 x＝－47? 。

????????以 x＝－47 代入(3)，得 y＝125? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D-47%2C%5C%5Cy%3D125.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗(yàn)從略。

習(xí)題3-3

1、檢驗(yàn)下列各題后面括號(hào)里的 x 和 y 的值是不是方程組的解：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.(1)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D3x%2B5y%3D19%2C%5C%5C4x-3y-6%3D0%3B%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.%5Cquad%5Cquad%5Cbinom%7Bx%3D3%7D%7By%3D2%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.(2)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D7x%3D2y-3%2C%5C%5C5x-6y-7%3D0.%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.%5Cquad%5Cquad%5Cbinom%7Bx%3D-1%7D%7By%3D-2%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【是，是】

用代入法解下列各方程組(2~13)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.2.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7By%3D3x%2C%7D%5C%5C%7B7x-2y%3D2.%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%263.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7By%3Dx%2B3%2C%7D%5C%5C%7B7x%2B5y%3D6.%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5C%0A%26%264.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-2y%2C%5C%5C3x%2B4y%3D6%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%265.%5Cbegin%7Bcases%7Dy%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%2C%5C%5C3x-4y%3D2.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%266.%5Cbegin%7Bcases%7Dx-2y%3D5%2C%5C%5C5x-3y%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%267.%5Cbegin%7Bcases%7D5x%2B3y%3D0%2C%5C%5C12x%2B7y%2B1%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%268.%5Cbegin%7Bcases%7D8x-12y%3D-40%2C%5C%5C6x%2B5y%3D12.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%269.%5Cbegin%7Bcases%7D3x-8y-3%3D0%2C%5C%5C5x%2B3y%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B12%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2610.%5Cbegin%7Bcases%7D3x-y%3D5%2C%5C%5C5x%2B2y%3D25.2.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2611.%5Cbegin%7Bcases%7D2y%2B3z%3D-4%2C%5C%5C6z%2B5y%2B7%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2612.%5Cbegin%7Bcases%7Dv%3D2.6%2B9.8t%2C%5C%5C%5Cfrac%20v3-3t%3D1.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2613.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D2(t-9)%2B3(t-5)%2C%5C%5Cx%3D%5Cfrac%7Bt%2B3%7D2-%5Cfrac%7Bt%2B2%7D3.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%262.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D2%2C%5C%5Cy%3D6%3B%5Cend%7Bcases%7D3.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%2C%5C%5Cy%3D2%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D4.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D6%2C%5C%5Cy%3D-3%3B%5Cend%7Bcases%7D5.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D6%2C%5C%5Cy%3D4%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%266.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-2%2C%5C%5Cy%3D-3%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D7.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-3%2C%5C%5Cy%3D5%3B%5Cend%7Bcases%7D8.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Cy%3D3%3B%5Cend%7Bcases%7D9.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cy%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2610.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D3%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D%2C%5C%5Cy%3D4%5Cdfrac%7B3%7D%7B5%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D11.%5Cbegin%7Bcases%7Dy%3D1%2C%5C%5Cz%3D-2%3B%5Cend%7Bcases%7D12.%5Cbegin%7Bcases%7Dv%3D7%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Ct%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D13.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D2%2C%5C%5Ct%3D7.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

標(biāo)簽：

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習(xí)題3-3