簡介

交易活動可以分成兩個相對獨立的部分。第一個部分稱為交易系統(tǒng) (ТS)，作用是分析當(dāng)前狀況，做入市決策，定義倉位類型（買入/賣出）和退市時機。第二個部分稱為資金管理系統(tǒng)，定義每筆交易中的資金金額。本文中，我們嘗試根據(jù) MM 策略中參數(shù)的變化對這些策略進行分析。我們選擇了模擬法進行分析。但是，某些情況下還要考慮分析決策的結(jié)果。分析工具是 赫茲量化交易終端和 Excel。此外還要使用提供偽隨機數(shù)生成 (PRNG) [1] 的庫、統(tǒng)計函數(shù) [2] 和用于將數(shù)據(jù)從 赫茲量化傳輸至 Excel [3] 的模塊。

假設(shè)任意交易活動 (TA) 都有某種程度的不確定性。換句話說，已知 TA 參數(shù)有一定的精確度，但永遠(yuǎn)無法進行完全精確的定義?！半S機賭注”的策略可作為此類 TA 的一個好例子，也許也是最簡單的例子。使用此策略，交易者隨機（例如，通過拋硬幣）押注于某個貨幣匯率將相對于另一個上漲還是下跌一定的點數(shù)。貨幣匯率的生成很可能與拋硬幣的結(jié)果并不相關(guān)。因此，我們就有了一個 TA，其中產(chǎn)生的交易結(jié)果相互之間并無關(guān)聯(lián)（伯努利交易結(jié)果）。此外， 赫茲量化也無法定義下一次拋硬幣的結(jié)果或是預(yù)測它是否匹配未來的貨幣方向。我們只知道，在嘗試次數(shù)足夠多的情況下，每 100 次中約有 50 次是匹配的。很多交易者相信他們的交易有所不同。也許他們是正確的，但首先我們會查看這個特殊案例。然后我們將分析系統(tǒng)的行為和性能，在此系統(tǒng)中，100 次嘗試可預(yù)測的次數(shù)超過 50 次。

從結(jié)構(gòu)上看，本文首先使用“理論”示例分析最有趣的 MM 參數(shù)。然后我們將嘗試對 MM 的行為建模，相關(guān)數(shù)據(jù)類似于真實的金融交易情況。要注意的是，我們不會分析特定的 TS。假定無論使用什么 TS，它都僅向我們提供有關(guān)獲利和虧損的數(shù)據(jù)和指定的概率，以及預(yù)設(shè)的獲利和虧損值。這里不考慮與實際交易結(jié)果的獨立性定義（伯努利）以及與 TS 穩(wěn)定性的及時評估相關(guān)的事宜。

前面已經(jīng)提到，赫茲量化將使用模擬法。實際上，模擬的本質(zhì)是基于用預(yù)設(shè)參數(shù)生成的偽隨機數(shù)定義下一次賭注的結(jié)果（獲利或虧損）。賭注大小由選定 MM 策略定義。如果賭輸了，則從交易者當(dāng)前的資金中扣除所下賭注。如果賭贏了，資金增加。將模擬指定數(shù)量的交易，之后計算總結(jié)果。然后重復(fù)此流程多次（從數(shù)百次到數(shù)十萬次不等），之后以最合適的方法取結(jié)果的平均值。

編輯切換為居中

一些基本術(shù)語和縮寫

先說一下最終財富比例 (TWR ) 的概念。它將從一系列交易中獲取的總利潤用初始資金的乘數(shù)來表示。換句話說，如果我們將最終資金除以初始資金，就得到了 TWR。例如，如果利潤有 12%，則 TWR=1.12。如果虧損有 18%，則 TWR=0.82?？梢员容^各種 TA 的結(jié)果，無論初始資金的絕對值為多少。同樣，[4]、[5] 和 [6] 也這樣使用術(shù)語 TWR 。

下一件重要的事情是“贏”的概念。任何結(jié)果，如果它的值超過初始值，就表示贏了。換句話說，TWR>1 就是贏了。相應(yīng)地，不滿足上述條件就是輸了，即 TWR<=1。因此，當(dāng)最終資金等于初始資金時，即 TWR=1，也算是輸了。不過必要時，這種情況可以單獨考慮。此外，有一種“輸”的概念表示資金虧損（無論虧損是因單個交易還是一系列交易而導(dǎo)致的），之后無法繼續(xù)交易活動。例如，情況可能是資金已經(jīng)全部虧掉 (TWR<=0) 或剩余資金小于某個最小值（保證金）。

現(xiàn)在，讓我們看看本文中使用的通用符號。贏的概率用 p 符號表示。其正常維數(shù)是單位分?jǐn)?shù)。輸?shù)母怕蕿?q=1- p?？偨灰讛?shù) - N，獲利交易數(shù) - V，虧損交易數(shù) - L。按絕對價值計算，獲利交易的規(guī)模被定義為 a，而虧損交易的規(guī)模被定義為 b，獲利/虧損比為 k= a/b。在討論相對于資金規(guī)模的獲利\虧損交易規(guī)模時，各自的符號為 a% 和 b%。a% 與 b% 的比率為 k。相對于資金的賭注大小用 f 表示。

計算期間發(fā)生事件的概率用 Prob 表示。必要時也還會用到其他符號。

此外，本文中的“賭注”和“交易”概念是一致的。它們都表示同一個東西 - 單次交易操作 (SТО)。根據(jù)上下文的不同，一系列此類 STO 可以稱為一個賭局或交易。很多交易者并不喜歡這個稱呼，但賭局一詞很恰當(dāng)?shù)乇憩F(xiàn)了交易活動中出現(xiàn)的不確定性。

歷史背景

對基于拋硬幣的 TS 屬性的研究已持續(xù)了相當(dāng)長的時間。其最簡單的形態(tài)就是“正面還是反面”的賭博。賭局的參與者是兩名擁有一些初始資金的玩家。雙方拋硬幣，正確叫出朝上一面的玩家贏得另一個玩家的一部分資金。否則，該玩家輸?shù)糇约旱囊徊糠仲Y金。這就是數(shù)學(xué)家眼里經(jīng)典的“賭徒破產(chǎn)”問題。相關(guān)的研究非常詳盡，眾所周知，結(jié)果取決于初始參數(shù)。

解決“賭徒在對陣非常有錢的對手時會破產(chǎn)”的問題的基本結(jié)果對交易者來說更為重要。這里，非常有錢的對手用交易中心 (DC) 來表示。如果你實在不想以 DC 為對手，可以將所有其他金融交易者視為一個非常有錢的對手。

這種賭局有什么問題？赫茲量化不討論無限博弈情況。沒人能無限賭下去，因為可能無論如何都會以悲劇收場。讓我們假設(shè)賭局是有限的，包含 N 次交易。假設(shè)你猜對的幾率是 p>0.50，而輸贏的值是相等的，即 a=b。我們再假設(shè)你想要在 N 次交易中獲勝的次數(shù)達到可能的最大值。

在賭局中實現(xiàn)最大利潤的最佳策略是下可能的最大賭注，即你手頭的所有資金。但是，數(shù)學(xué)已證明，這種情況下的破產(chǎn)概率可用方程式 1-(pN) 計算，此概率取決于 N。[7][8] N 的值（即下注次數(shù)）越大，破產(chǎn)概率越高。因此，如果必須要賭，N=1 時破產(chǎn)概率最低。如果不是必須要賭，最好的策略就是不賭，因為破產(chǎn)概率為 0。

注意：這里有一個常見的誤解。很多人相信，如果游戲賠率是相等的，那么他們的可能收益約為 0。這就好比他們和對手擁有差不多的資金。

在實際交易中，這意味著即便你能夠在 3 次交易中贏下 2 次，并且每次都賭上你所有的資金，還是會發(fā)生以下情況。第一次交易中破產(chǎn)的概率為 1/3。這是一個很好的結(jié)果，但到第 10 次交易時，破產(chǎn)概率等于 ~0.98。

因此，想要最大化利潤，就需要滿足一個荒謬的要求，即，一次性押上你的所有本錢，并且，只賭一次。這個結(jié)果當(dāng)然不太令人滿意，因為你還希望你的賭局中賭的次數(shù)越多，你能贏到的最終利潤會越大。

赫茲量化可以通過消除最大利潤要求來增加此類賭局的時間并降低破產(chǎn)的概率。換句話說，下注時只用一部分資金。如果這一部分非常小，那么賭局就可以持續(xù)相當(dāng)長的時間。這一點也是經(jīng)過數(shù)學(xué)證明的。[7][8] 然而在這種情況下，最終的收益也會較少。因此，高賭注增加了可能的利潤，也提高了虧損的風(fēng)險。低賭注降低了風(fēng)險，也減少了可能的利潤。那么就出現(xiàn)了一個問題，賭局中最合理的賭注應(yīng)該占資金的幾分之幾（從特定角度來看）。

這些是通常的推理和假設(shè)。此問題已被徹底地研究過。隨之出現(xiàn)的是整個所謂“資金管理”的領(lǐng)域，用于解決此問題。有多種 MM 方法，能夠以各種途徑滿足破產(chǎn)概率和利潤值的要求。篇幅所限，我們無法探討所有方法，所以只重點介紹其中兩個：定義固定大小賭注的方法，和以固定比例的資金下注的方法。

一些理論

如果我們忽略所有數(shù)學(xué)智慧，MM 中的關(guān)鍵時刻會是一個問題，此問題可做如下陳述：在一段時間之后（例如，交易數(shù)量），發(fā)生某事件的概率是多少（例如資金增長或破產(chǎn)）。實際上，這是一個看法問題，因此這個時刻可以是固定的，且僅可考慮兩個參數(shù) - 事件概率和事件本身。

如果我們考慮最簡單形式的“正面還是反面”，那么只要知道 N 次投注的次數(shù)，就能非常輕松地算出一些東西。例如，每一次投注 (1) 的收入的數(shù)學(xué)期望值 (МО) 或一系列投注 (2) 的預(yù)期收入。注意，這里的 МО 是相對于初始資金而定義的。這意味著當(dāng) МО>0 時，期望值為正值，如果 МО<0，則預(yù)計每次投注平均起來是虧損的。

編輯

對于 [9] 中所述的情況：p=0.45，q=0.55，a%=0.08，b%=0.05，N=20，結(jié)果為 MO=0.0085，TWR=1.170。這種情況的有趣之處在于，當(dāng)贏的概率 p<0.5 時，МО 在一次下注時保持正值，并預(yù)期最后可獲得初始資金的 ~17% 作為利潤。

警告：另一種 MM 方法在 [9] 中進行檢查。因此，雖然輸入數(shù)據(jù)類似，但結(jié)果將是不同的。

然而，此類期望值近似于全盤平均值。它并未根據(jù)獲勝賭注的數(shù)量給出某些結(jié)果出現(xiàn)的概率，這就使風(fēng)險評估變得更為復(fù)雜。因此，讓我們再引入兩個方程式，用于計算一定次數(shù)的獲勝賭注 (3) 的利潤以及計算一定次數(shù)的連續(xù)獲勝賭注 (4) 的發(fā)生概率。

編輯

現(xiàn)在我們只需要計算所有 V= 0,1,...,N，L=N-V 的值，并創(chuàng)建 Prob(V) 對 TWR(V) 的依賴圖。對于之前所述的案例，圖形如下所示。注意，圖中顯示 Prob 和 TWR 軸，不帶 (V) 指數(shù)。這個工作是單獨完成的，可以讓圖形看起來不那么復(fù)雜。

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圖 1

使用方程式 (3) 和 (4) 計算得出的結(jié)果顯示為綠點。圖形的說明如下。例如，當(dāng) TWR=1.04 時，發(fā)生交易系列結(jié)果的概率是 0.162。最常見的是概率為 0.177，TWR=1.170 等。藍點代表累積概率形式的相同數(shù)據(jù)。因此，我們的輸入數(shù)據(jù)的虧損概率（即賭局的某些回合中的 TWR<=1.00）為 0.252。圖上不顯示極值。破產(chǎn)情況下 (TWR=0.00)，Prob=6.4E-06。最大收益 TWR=2.60, - Prob=1.2E-07。這些是非常小的概率。但它們的存在引發(fā)了另一個重要問題。

讓我們用以下示例說明這個問題。已針對以下條件執(zhí)行計算：p=0.45，q=0.55，a%=0.05，b%=0.05，N=50。結(jié)果顯示在圖中。

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圖 2

赫茲量化可以看到，TWR 的取值范圍為 -1.50 到 3.50。僅在資金金額小于 0.0 的情況下執(zhí)行賭局時，才會出現(xiàn) TWR=-1.50 這種情況。因此，赫茲量化所用的方程式并未考慮到這種情況，即資金在某個中間交易中已經(jīng)耗盡，賭局無法繼續(xù)。那么，新的任務(wù)就出現(xiàn)了，就是所謂的“邊界吸收問題”。這個問題認(rèn)為現(xiàn)有資金有某個邊界（或限制）。達到這個邊界時，賭局將停止。在其最簡單的形式下，假設(shè)邊界 =0。但我們更感興趣的是它采用任意值時發(fā)生的情況。此問題的分析解決方案的某些方面在 [7] 中進行了說明。

機遇范圍

讓我們試著用數(shù)字方式來解決這個問題，首先使用迭代計算，然后使用基于隨機方法（蒙特卡洛法）的模擬建模。首先，讓我們查看圖形并試著解決問題。

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圖 3

圖中系統(tǒng)性地顯示博弈期間資金可能的變化軌跡。顯示三種情況，當(dāng)然實際上遠(yuǎn)不止這三種。例如，假設(shè)資金超過 0.3（抵押要求）的玩家才允許參與賭局。假設(shè)賭局走的是紅色路線，并變得無法繼續(xù)游戲。出現(xiàn)了邊界吸收軌跡，意味著完全破產(chǎn)。玩家退出游戲，而走綠色或藍色路線的玩家則不同。因此，赫茲量化需要定義之前步驟的破產(chǎn)概率，以在某個明確步驟上定義此概率。

執(zhí)行此類計算時采用的最簡單、最直觀也非常古老的技巧是帕斯卡三角形。實際上，這是一個遞歸過程，在此過程中，將使用之前的值來計算下一個值。以下顯示的是略有修改的三角形。

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圖 4

綠點表示圖中 TWR 軌跡會穿過的可能位置。在這種情況下，可使用方程式 (3) 計算 TWR。這些點有 Prob 值（分子）和 TWR 值（分母）。z% 符號指定發(fā)生吸收（黑線）時的邊界值。紅色水平線是通過 z%+b% 值繪制的。

點相對于紅線的位置代表著什么？如果該點的位置較高，則可能可以進入下一輪。當(dāng)紅線穿過該點時，這是進入下一步的最后一個機會。如果成功，賭局繼續(xù)，否則就發(fā)生吸收。紅線與黑線之間的點是可達到的，但不可能進入下一步驟，因為資金已不足以進行下一次投注。換句話說，這不是完全破產(chǎn)，但賭局仍然無法繼續(xù)。

注意：當(dāng)然，在整數(shù)賭注的情況下這是不可能發(fā)生的，就像拋硬幣一樣，但如果賭注等于資金的 0.15，則總體狀況就如上述示例那樣。

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圖 5

此圖包含不同邊界條件下的計算結(jié)果。如果我們將其與上一圖進行比較，我們應(yīng)該能夠注意到兩者的區(qū)別。

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圖 6

現(xiàn)在，擁有這些數(shù)據(jù)后，赫茲量化能夠知道任何事件的概率。例如，在圖 6 中，當(dāng) N=6 時，相對于 TWR=1.4 的 Prob 是多少？答案是 0.234?；蛘弋?dāng) N=6 時，相對于 TWR>1 的 Prob 是多少？應(yīng)將對應(yīng)的 Prob 值求和。答案是 0.344?；蛘弋?dāng) N=6 時，相對于 TWR=1.1 的 Prob 是多少？答案是 0。等等。

此系列的最后一個示例具有“大為遜色”的輸入值：顯示 p=2/3，q=1/3，a%=0.1，b%=0.2，z%=0.2 以展示 Prob 和 TWR 在此情況下的變化。我們可以看到，贏的概率超過輸?shù)母怕蕛杀丁５?，獲利大小是虧損大小的一半。