【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)40】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量。
矩陣乘法運算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）
《解析幾何》（呂林根 許子道?編）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
試證下列命題：若數(shù)列{an}中三個子列{a2n}，{a2n-1}，{a3n}皆收斂，則{an}是收斂列。
證：
設(shè)lim a2n=a，lim a2n-1=b，lim a3n=c，則lim a6n=a，lim a6n=c，可知a=c；
同理，b=lim?a2（3k-1）-1=lim a3（2k-1）=c，可知b=c；
lim?a2n=lim?a2n-1=c，證畢。
解析幾何——
例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——
證明：（axb）xc=（ac）b-（bc）a
證：
情形一：三個向量有一個為零向量，或a與b共線，或c與a、b都垂直——
左邊=右邊=0，等式成立。
情形二：三個向量均不零向量，a與b不共線，或c與a或b不垂直，c=a
（axb）xa與a，b共面，而a與b不共線，從而可設(shè)（axb）xa=λa+μb；
[（axb）xa]a
=（（axb），a，a）
=0
=（λa+μb）a
=λa^2+μab，
[（axb）xa]b
=（（axb），a，b）
=（a，b，（axb））
=（axb）^2
=a^2b^2-（ab）^2
=（λa+μb）b
=λab+μb^2；
λa^2b^2+μ（ab）（b^2）=0，
λ（ab）^2+μ（ab）（b^2）=（ab）[a^2b^2-（ab）^2]，
λ[（ab）^2-a^2b^2]=（ab）[a^2b^2-（ab）^2]，λ[=-（ab），μ=a^2；
（axb）xa
=λa+μb
=-（ab）a+a^2b
=（aa）b-（ba）a，成立。
情形二：三個向量均不零向量，a與b不共線，或c與a或b不垂直，任意向量c
設(shè)c=λa+μb+γ（axb），
（axb）xc
=（axb）x[λa+μb+γ（axb）]
=λ[（axb）xa]+μ[（axb）xb]+γ[（axb）x（axb）]
=λ[（axb）xa]-μ[（bxa）xb]
=λ[（aa）b-（ba）a]-μ[（bb）a-（ab）b]
=[λ（aa）+μ（ab）]b+γ（axb）ab-[μ[（bb）+λ（ba）]a-γ（axb）ab
=[a（λa+μb+γ（axb））]b-[b（μb+λa+γ（axb））]a
=（ac）b-（bc）a，成立。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
證明：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'.
證：E=A'（（A^（-1））'）=（A^（-1））A）'=E'=E，則A'也可逆，
（A'）^（-1）=（A^（-1））'.
到這里！
