分式不定積分可以通過部分分式分解成兩類基本分式的不定積分來解決。分式部分分式分解的內(nèi)容在《老黃學高數(shù)》系列學習視頻第291講中有詳細的介紹。這里要介紹的是兩類基本分式的不定積分公式的推導。

第一類基本分式的形式是：1/(x+a)^k，a，k是常數(shù)，默認x不等于-a. 即分母是一個一次多項式的冪，分子是1，或一個常數(shù)。

第二類基本分式的形式是：(Bx+M)/(x^2+px+q)^k，B, M, p, q, k都是常數(shù)，默認分母二次多項式的判別式p^2-4q<0.?即分母是一個二次多項式的冪，分子是一次多項式。

對第一類基本分式的不定積分公式，這里采用證明的方式，通過對原函數(shù)求導來檢驗：

證明：當k=1時，∫dx/(x+a)^k =ln|x+a|+C;?當k≠1時，∫dx/(x+a)^k=1/((1-k)(x+a)^(k-1))+C.

證：當x>-a時, (ln|x+a|)’=(ln(x+a))’=1/(x+a),

當x<-a時, (ln|x+a|)’=(ln(-x-a))’=(-1)/(-x-a)=1/(x+a),

∴∫dx/(x-a)=ln|x+a|+C.

當k≠1時，(1/((1-k)(x+a)^(k-1) ))’=1/(x+a)^k ,

∴∫dx/(x+a)^k =1/((1-k)(x+a)^(k-1) )+C. 得證！

下面通過一道例題加深理解，并鞏固公式的掌握：

例1：求∫(x^5-15x^3-10x^2+61x+72)/(x^2-6x+9) dx.

對第二類基本分式，則通過探究求解的方法，來得到它的公式。

探究：求∫(Bx+M)/(x^2+px+q)^k dx.

解：x^2+px+q=(x+p/2)^2+(√(4q-p^2 )/2)^2=r^2+t^2.?

其中r=x+p/2, t=√(4q-p^2 )/2【這是為了構造反正切函數(shù)的導數(shù)】

則Bx+M=B(x+p/2)-p/2B+M=Br+N; dx=dr,

原積分=∫(Br+N)/(r^2+t^2)^k dr=B∫r/(r^2+t^2)^k dr+N∫dr/(r^2+t^2)^k

=B/2∫dr^2/(r^2+t^2)^k +N/t^(2k-1) ∫(d(r/t))/((r/t)^2+1)^k ，

當k=1時, 原積分=B/2 *ln(r^2+t^2)+N/t *arctan(r/t) +C

=B/2* ln(x^2+px+q)+(2M-pB)/√(4q-p^2 ) *arctan(2x+p)/√(4q-p^2 )+C.?【這是公式的一個特殊形式】

當k≠1時, 記r/t=tanu, 則【換元法的運用，先求部分不定積分】

∫(d(r/t))/((r/t)^2+1)^k =∫((secu)^2du)/(secu)^2k=∫(cosu)^(2k-2)du【余弦冪的不定積分公式，在《老黃學高數(shù)》系列學習視頻第265，第267和第275講都有分析。教材沒有這個公式，所以教材只能給出遞推降冪公式，老黃自己推導了這個公式，所以可以得到公式的最終形式】

=(2k-3)?u/((2k-2)?) + (2k-3)?tanu/((2k-2)?) ∑(i=1->k-1) ((2k-2i-2)?(cosu)^(2k-2i))/(2k-2i-1)? +C

=(2k-3)?/((2k-2)?) arctan (r/t)+ (2k-3)?r/((2k-2)?t) ∑(i=1->k-1) ((2k-2i-2)?t^(2k-2i))/((2k-2i-1)?(r^2+t^2)^(k-i) ) +C.

原積分=B/(2(1-k)(r^2+t^2)^(k-1) )+((2M-pB)(2k-3)?)/(2t^(2k-1) (2k-2)?) (arctan (r/t) + r/t ∑(i=1->k-1) ((2k-2i-2)?(r^2+t^2)(i-k))/((2k-2i-1)?t^(2i-2k) ))+C

你肯定看不清楚這個公式，下面的圖片幫你忙。

下面的例2是k=1時的情形：

例2：求∫(3x+2)/(x^2+2x+3) dx.

例3則是k≠1時的情形：

例3：求∫(3x+2)/(x^2+2x+3)^3 dx.

兩組公式整理如下，其中還有一個特殊形式的公式：

當老黃推導出余弦冪的不定積分公式的時候，很多人問老黃，那到底有什么用。這里就用它來推導第二類基本分式的積分公式了。那么是否還有人會問老黃，推導這兩類基本分式積分公式有什么用呢？它們可以用來解決很多普通的分式不定積分啊。