高考數(shù)學(xué)逐年創(chuàng)新，特別是在導(dǎo)數(shù)和解析幾何上，每年幾乎都有新題型出現(xiàn)。

我總結(jié)發(fā)現(xiàn)，這些模型大都是多年前競(jìng)賽考過(guò)的，像彭賽列閉合定理，坎迪定理，仿射變換，包括極點(diǎn)極線。所以我在自己競(jìng)賽學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)中，總結(jié)了一些可能出現(xiàn)在高考中的背景。

我寫本文的目的在于：讓大家提前了解一些簡(jiǎn)單的背景，適應(yīng)從未見(jiàn)過(guò)的模型。

首先聲明，我不會(huì)把背景對(duì)應(yīng)的定理本身闡述出來(lái)，而是以題目的方式出現(xiàn)

本期我們先發(fā)導(dǎo)數(shù)部分，下期我們補(bǔ)上解析幾何的內(nèi)容

Warning：這些背景大家下來(lái)可以自行深入研究，但是不要運(yùn)用在考試中，我們高考場(chǎng)上的過(guò)程一定是不超綱的。

第一題

，，x>0

（1）求f（x）與g（x）的增減性

（2）已知：有唯一常數(shù)e使得恒成立，求證：

本題蘊(yùn)含了兩個(gè)背景：e的極限定義和斯特林公式；第一問(wèn)的解決方法來(lái)自一般的微積分教材：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法；第二問(wèn)則是常規(guī)的數(shù)列不等式

下面給大家看看兩個(gè)函數(shù)的圖像

解答：

第二題

（1）證明：

（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間

（3）判斷大小并說(shuō)明理由

本題的背景比較經(jīng)典，是均值不等式的推廣冪平均值不等式，強(qiáng)基計(jì)劃和競(jìng)賽生務(wù)必去了解詳細(xì)。第一問(wèn)簡(jiǎn)單的放縮，第二問(wèn)的處理和第一題一樣取對(duì)數(shù)，第三問(wèn)則是比較困難的同構(gòu)。

給大家看看函數(shù)的圖像

解答：

第三題

，

（1）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（2）求證

本題的背景是伯努利不等式，雖然課本上有但是從未考過(guò)。這個(gè)不等式在強(qiáng)基競(jìng)賽也很重要，有時(shí)候做高考的比大小也可以用到。第一問(wèn)是常規(guī)的導(dǎo)數(shù)不等式證明，第二問(wèn)則要求考生強(qiáng)大的遷移和放縮能力。

我通過(guò)函數(shù)圖像看放縮精度還是比較高的

解答：

第四題

定義域和值域都是非負(fù)實(shí)數(shù)集的函數(shù)滿足恒成立

（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的值

（2）求證：對(duì)所有正整數(shù)n成立

本題的背景與微分方程有關(guān)，在之前的高考題中也出現(xiàn)不少了，難度很大、維度很多。第一問(wèn)是常規(guī)的導(dǎo)數(shù)不等式，第二問(wèn)是常規(guī)的數(shù)列不等式。下面我放幾道這種“微分方程”練練手。

練習(xí)1、對(duì)實(shí)數(shù)x成立，求證：

練習(xí)2、對(duì)定義域內(nèi)的數(shù)恒成立，求證：

解答：

本次的分享到此結(jié)束，下次分享我們爭(zhēng)取在五月份之前。

具體內(nèi)容有：帕斯卡定理，坎迪定理及方法，直線系覆蓋，彭賽列閉合定理方法，仿射變換，梅涅勞斯定理

點(diǎn)個(gè)關(guān)注不迷路，我們不見(jiàn)不散！