設(shè)A是m×n矩陣，設(shè)x是長度為n的列向量。A和x的乘積是A的列的線性組合，使用x中的
相應(yīng)項作為權(quán)重，如下所示：

A*x = x(1)*A(:,1) + ... + x(n)*A(:,n);
請注意，A的列數(shù)必須等于x的元素個數(shù), A與x乘積Ax是長度為m的列向量。

以下是一些關(guān)于矩陣向量乘法的有用規(guī)則。
設(shè)A∈ R^{m×n}，u，v∈R^n，α∈R。那么
1. A* (u+v) = A*u + A*v
2. A* (α*u)）=? α * ( A*u);

兩個矩陣A和B的乘積使用第一個矩陣A與第二個矩陣B的列的依次做矩陣向量乘積
A*B =[A*B(:,1) , ... ,? A*B(:,end)]

上面的 B(:,1) 表示矩陣的第一列， B(:,end) 表示矩陣的最后一列.

乘積A*B的每一列將是矩陣A與B中相應(yīng)列向量的乘積。這意味著矩陣乘法要滿足這樣的條件，
A的列數(shù)必須與B的行數(shù)相匹配 (B的每一個列向量的長度都等于B矩陣的行數(shù))。
因此，對于A∈R^{m×n}，B∈R^{n×r}， 我們得到了乘積A*B∈R^{m×r}。由于這種情況，
請注意，通常A*B可能存在，而B*A可能不存在。 如果這兩種乘積都存在，
那么這兩者往往不相等。


考慮2×3矩陣 A=[ 1 -2? 1; 3? 0 2] 乘以 3×4矩陣B=[2 3 1 -5; -1 1? -2 3;? -4 2 -1 1].
我們用北太天元做矩陣 A*B 得到,

做B*A 會報錯說無法做乘法, 這說明BA不存在，因為B∈R^{3×4}和A∈R^{2×3}不具有匹配的
列-行維度。矩陣B有4列，而矩陣A有2行。

特殊矩陣
1. 如果行數(shù)等于列數(shù)，則矩陣是一個方陣。（如果A∈R^{n×n}，則A是方陣。）
2. 如果一個方陣除主對角線上的元素外，所有元素都為零，則該方陣是對角矩陣。
?示例：
?A=[ 2 0 0;? 0 1 0;? 0? 0 ?3].
在北太天元中可以用下面的命令生成上面的對角陣:
>>? A = diag( [ 2 1 -3] );

3. n×n的對角矩陣，如果所有的對角元素都為1，那么稱此矩陣為單位陣，記作為I_{n}。
在北太天元中可以用 eye(n) 來生成單位陣, 例如
>> A = eye(3);

矩陣逆定義
設(shè)A是一個n×n矩陣，設(shè)I_{n}是n×n單位矩陣。假設(shè)存在一個n×n矩陣C，使得

? A*C＝I_{n}＝C*A，

那么稱A是可逆的或非奇異的，并且C是A的逆。（我們也說A是C的逆）。

不可逆的矩陣稱為奇異矩陣。

為了表示矩陣A的逆，我們使用符號A^{?1}，因此AA^{?1}=I_{n}，A^{?1}A=I_n。
了解矩陣的逆對于求解變量數(shù)量等于方程數(shù)量的方程組非常有用。特別地，
假設(shè)A是可逆的n×n矩陣，b是R^n中的向量。為了求解矩陣方程Ax=b，我們可以將左邊的兩邊
乘以A?1，得到A^{?1}Ax=A^{?1}b。這簡化為I_{n}x=A^{?1}b，或者簡單地簡化為x=A^{?1}b。
回想一下，矩陣乘法在一般情況下是不可交換的。這就是為什么我們必須在用A^{?1}乘哪一邊的問題上保持一致。
在2×2的情況下，你可以證明A=[a b ; c d]的逆由A^{?1}=1/(ad?bc)[ d - b; -c, a ]
給出的。
或者，我們可以使用北太天元命令inv（A）來計算矩陣A的逆。
>> A = [ 1 2 3 ; 9 2 1 ; 2 4 4 ] ;
>> B = inv(A);
>> A*B
>> B*A

特別是，行列式可以告訴我們矩陣是否可逆。行列式的定義和性質(zhì)通常在線性代數(shù)的
課程中涵蓋，然而2×2的情況足夠簡單，2×2矩陣的行列式定義為
det( [a b; c d])=ad?bc。
我們將使用北太天元來計算行列式，將nxn矩陣行列式的定義保留給大學(xué)里的線性代數(shù)課程再學(xué)習(xí)。
在北太天元，我們使用命令det(A)來計算矩陣A的行列式。

我們已經(jīng)在北太天元學(xué)習(xí)14中用把線性方程組寫成矩陣形式來求解，如果方程的個數(shù)和
未知數(shù)的個數(shù)相等時，我們得到系數(shù)矩陣是一個方陣。當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式不等于零，
我們可以斷定線性方程組有唯一解。

?例如，你可以輸入下面的命令

A = [ 1 2 3 ; 9 2 1 ; 2 4 4 ] ?%輸入一個3x3方陣

x = [ 1; 2 ;3 ] ?% 輸入一個R^3的向量

b = A*x ?% 計算矩陣乘以向量

A(:,1)*x(1) + A(:,2)*x(2) + A(:,3)*x(3) % A的各列的線性組合，系數(shù)是x的元素

%對比 A的各列的線性組合和 A*x 的乘積得到b，二者是相等的

A\b % 對比 A\b的結(jié)果和 x 的值，二者是相等的。