0-Y序列，是一種簡(jiǎn)單又強(qiáng)大的序數(shù)記號(hào)，幾乎是googologists成長(zhǎng)的必經(jīng)之路，使用一個(gè)有限項(xiàng)的正整數(shù)組來表示序數(shù)。

本文約5500字

目錄：
1：概述
2：PrSS
3：父項(xiàng)與階差
4：遞歸展開
5：分析
6：0-Y的本質(zhì)

1：概述

0-Y誕生于2020年，是第二個(gè)差分序列記號(hào)，產(chǎn)生于對(duì)Y序列的簡(jiǎn)化和弱化。Bashicu矩陣系統(tǒng)(BMS)是最早的序列記號(hào)，現(xiàn)在絕大多數(shù)的序數(shù)分析都使用BMS作為標(biāo)尺，而0-Y可以直接與BMS互相翻譯。對(duì)人而言，BMS比0-Y稍難，除此之外的相同強(qiáng)度記號(hào)，如SSS、BSM、DLON、?MS、CHN、HIUN、KPrSS、LRTIN等，都遠(yuǎn)難于0-Y；不過對(duì)計(jì)算機(jī)而言，BMS比0-Y更簡(jiǎn)單。

0-Y用1開頭的自然數(shù)組表示序數(shù)，在1,3之前，0-Y和PrSS（PrSS可譯作原始序列、基本序列、初等序列等）相同；而在1,3之后，0-Y使用階差進(jìn)行展開。

由于大數(shù)wiki上找不到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?-Y定義，以下是我自己寫的0-Y定義（這里跳過就行）

本文主要介紹0-Y的展開方式，考慮到0-Y學(xué)習(xí)者的序數(shù)理解能力，分析只作為次要內(nèi)容。

2：PrSS

PrSS（Primitive Sequence System），原本是BMS的一小部分，但現(xiàn)在一般認(rèn)為是一個(gè)獨(dú)立的記號(hào)，是最基礎(chǔ)的用有限項(xiàng)自然數(shù)組表示序數(shù)的記號(hào)（worm記號(hào)）。

因?yàn)樵从贐MS，PrSS的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式應(yīng)該是0開頭的，但為了銜接0-Y，這里使用1開頭的表達(dá)式。

PrSS用空序列表示0，用1結(jié)尾的序列表示后繼序數(shù)，例如1,1,1=3，1,2,1=ω+1，表達(dá)式最后一個(gè)非1數(shù)字后面有幾個(gè)1，就表示這個(gè)序數(shù)是極限序數(shù)加幾。

在最后一項(xiàng)不是1的時(shí)候，表示一個(gè)極限序數(shù)，如1,2=ω，1,2,2=ω2。此時(shí)的PrSS是可以“展開”的；“展開”是指把一個(gè)較大的極限序數(shù)，表示成用無窮多個(gè)更小的序數(shù)做數(shù)學(xué)運(yùn)算的形式，比如說ω=1+1+1+1+1+...有無窮多個(gè)1；ω2=ω+ω+ω+...有無窮多個(gè)ω。

那么PrSS如何展開呢？以1,2,3,1,2,2為例。首先，找到序列的末項(xiàng)，即1,2,3,1,2,2；然后，向前找到最靠近末項(xiàng)的、小于末項(xiàng)的項(xiàng)，也就是1,2,3,1,2,2，找到的這個(gè)項(xiàng)我們?nèi)∫粋€(gè)名字叫壞根；接下來，從壞根開始，一直到倒數(shù)第二項(xiàng)，這一部分取名叫壞部，即1,2,3,1,2,2；最后，把末項(xiàng)去掉，然后復(fù)制壞部無窮多次，即1,2,3,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...。

再舉一個(gè)例子，1,2,3,4,4,2,3,4,3,3；末項(xiàng)是1,2,3,4,4,2,3,4,3,3，壞根是最靠近末項(xiàng)的、小于末項(xiàng)的項(xiàng)，可以向前找到一個(gè)2，1,2,3,4,4,2,3,4,3,3；接下來壞部就是1,2,3,4,4,2,3,4,3,3；最后序列展開為1,2,3,4,4,2,3,4,3,2,3,4,3,2,3,4,3,2,3,4,3,...。

這里給出5個(gè)PrSS表達(dá)式，用于展開序列的練習(xí)，由易到難（答案在下一部分末尾）。
1,2,2,1,2,2；1,2,2,1,2；1,2,3；1,2,3,3,1,2,3,2,2；1,2,3,4,4,3,2,3,4,4,2。

3：階差與父項(xiàng)

PrSS的極限是1,2,3,4,5,6,...，而在這之后，就是0-Y獨(dú)有的部分了（你要非要說LPrSS或HPrSS那我也沒辦法）。在0-Y，1,3展開為1,2,3,4,5,6,...，擴(kuò)展了PrSS。

在學(xué)習(xí)展開0-Y表達(dá)式之前，首先要知道父項(xiàng)和階差兩個(gè)重要概念，這里均以0-Y的知名表達(dá)式1,4,6,3,7,9,7為例。

首先需要找父項(xiàng)。等于1的項(xiàng)沒有父項(xiàng)，其他任何項(xiàng)都有父項(xiàng)。在PrSS部分，我們找過一個(gè)叫壞根的東西，也就是“最靠近末項(xiàng)的、小于末項(xiàng)的項(xiàng)”，現(xiàn)在，把它改成左側(cè)最靠近某一項(xiàng)的、小于該項(xiàng)的項(xiàng)，這就是該項(xiàng)的父項(xiàng)。1,4,6,3,7,9,7中，除首項(xiàng)1外，其他各項(xiàng)都有父項(xiàng)，第二項(xiàng)4的父項(xiàng)是首項(xiàng)1、第三項(xiàng)6的父項(xiàng)是第二項(xiàng)4、第四項(xiàng)3的父項(xiàng)是首項(xiàng)1、第五項(xiàng)7的父項(xiàng)是第四項(xiàng)3、第六項(xiàng)9的父項(xiàng)是第五項(xiàng)7、第七項(xiàng)7的父項(xiàng)是第四項(xiàng)3。

接下來到了階差。沒有父項(xiàng)的1，*階差依然是1，而有父項(xiàng)的項(xiàng)，階差就是這個(gè)項(xiàng)減去自己的父項(xiàng)；在1,4,6,3,7,9,7中，可以得出各項(xiàng)的階差分別是1,3,2,2,4,2,4；為什么各項(xiàng)的階差要這樣寫？因?yàn)?strong>各項(xiàng)的階差可以組成一個(gè)新的0-Y序列。

只要序列的末項(xiàng)的階差不是1，這個(gè)序列就需要找階差，1,4,6,3,7,9,7的末項(xiàng)階差是4，于是得到了階差序列1,3,2,2,4,2,4；顯然，這個(gè)階差序列的末項(xiàng)階差依然不是1，那么就可以再次尋找階差，稱為二階階差，對(duì)應(yīng)的父項(xiàng)則是二階父項(xiàng)。但是二階階差(以及任意高階階差)，和一階階差的尋找方式，有一點(diǎn)差異。

先來看更簡(jiǎn)單的1,4,6,4。它的非1項(xiàng)的父項(xiàng)分別是首項(xiàng)1、第二項(xiàng)4、首項(xiàng)1，階差序列是1,3,2,3。1,3,2,3中末項(xiàng)的階差是多少呢？看起來很像3-2=1，但事實(shí)并非如此。求高階階差還有一個(gè)要求：某一項(xiàng)的高階父項(xiàng)不能比低階父項(xiàng)靠右。1,4,6,4末項(xiàng)的一階父項(xiàng)已經(jīng)是首項(xiàng)1了，那么二階父項(xiàng)不能比這個(gè)1靠右，就只能仍然是1，于是階差序列1,3,2,3的非1項(xiàng)，父項(xiàng)全都是首項(xiàng)1。

回到1,4,6,3,7,9,7的階差序列1,3,2,2,4,2,4，因?yàn)槟╉?xiàng)的一階父項(xiàng)是第四項(xiàng)3，那么二階父項(xiàng)不能比它靠右，在此要求下，尋找最靠近它的小于它的項(xiàng)，也就是第四項(xiàng)2，于是求得其階差是4-2=2；再求出其他項(xiàng)的階差，得到二階階差序列1,2,1,1,2,1,2。此時(shí)末項(xiàng)的階差已經(jīng)是1了，就不需要繼續(xù)算三階階差了。

相信你已經(jīng)會(huì)算階差序列了。試求下列0-Y表達(dá)式的一階階差序列（答案在下一部分末尾）：1,3,6,9,8,10,8,6、1,4,7,9,3,7,11,13,7、1,5,1,4,6,10,13,4；和下列0-Y表達(dá)式的二階階差序列：1,4,8,14,18,4、1,4,7,10,7,9,4、1,4,10,20,35,56。

*本質(zhì)上，等于1的項(xiàng)沒有階差，只是由于0-Y的V形山脈的特征，可以這么理解，詳見第6部分。
上一部分答案：1,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...；1,2,2,1,1,1,1,1,1,...；1,2,2,2,2,2,2,...；1,2,3,3,1,2,3,2,1,2,3,2,1,2,3,2,...；1,2,3,4,4,3,2,3,4,4,1,2,3,4,4,3,2,3,4,4,1,2,3,4,4,3,2,3,4,4,...。

4：遞歸展開

在找到了父項(xiàng)和階差之后，就可以展開對(duì)應(yīng)的0-Y表達(dá)式了。前面可能過度重視了階差，實(shí)際上父項(xiàng)比階差更重要（在0-Y的擴(kuò)展ω-Y中，階差序列幾乎一定是1,1,1,...,1,2，一切展開都取決于父項(xiàng)）。在接下來的階差序列與父項(xiàng)序列，將用一個(gè)矩陣表達(dá)，如1,4,6,3,7,9,7表示為，其中下側(cè)行表示父項(xiàng)是第幾項(xiàng)。

先看一個(gè)較簡(jiǎn)單的，1,3,5,3，階差為，當(dāng)階差序列不需要再次求高階階差時(shí)，末項(xiàng)的父項(xiàng)就是壞根。在這里，壞根就是首項(xiàng)1，1,2,2,2很快就能求得1,2,2,1,2,2,1,2,2,1,2,2,...?，F(xiàn)在已經(jīng)有了階差序列的展開式，那么父項(xiàng)序列的展開式是什么呢？可以發(fā)現(xiàn)，末項(xiàng)是第4項(xiàng)，壞根是第1項(xiàng)，兩者相減得到中間差3項(xiàng)；現(xiàn)在令末項(xiàng)項(xiàng)序號(hào)減壞根項(xiàng)序號(hào)等于λ，因此在這里λ=3；接下來我們求出第5項(xiàng)的父項(xiàng)，它等于(第5-λ項(xiàng)的父項(xiàng)項(xiàng)序號(hào))+λ，即第1+3=4項(xiàng)，對(duì)于后面的任意項(xiàng)都是如此，即第k項(xiàng)的父項(xiàng)是第((第k-λ項(xiàng)的父項(xiàng)項(xiàng)序號(hào))+λ)項(xiàng)。于是，展開為；最后一步，返回原序列1,3,5,3，前面的1,3,5不變，后面的每一項(xiàng)都等于它的階差+父項(xiàng)的值。第4項(xiàng)=第1項(xiàng)+1=2，第5項(xiàng)=第4項(xiàng)+2=4，以此類推，最終得到展開式1,3,5,2,4,6,3,5,7,4,6,8,...。

然后是稍復(fù)雜的1,4,6,4，階差是，階差序列的末項(xiàng)3的父項(xiàng)是首項(xiàng)1，階差依然不是1，因此做二階階差，，末項(xiàng)的父項(xiàng)依然是首項(xiàng)，以此為壞根，展開為1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,...，還原父項(xiàng)得到，即1,3,2,3=1,3,2,2,4,3,3,5,4,4,6,5,...；再次還原父項(xiàng)，；最后得到1,4,6,4=1,4,6,3,7,10,6,11,15,10,16,21,...。

順帶一提，為什么叫“遞歸展開”？要展開1,6，就先要展開1,5；于是我們先假設(shè)階差序列的展開已知，再按階差序列得到原序列，至于階差序列為什么已知，那是下一步的事。
要展開1,6，先假設(shè)1,5=1,4,10,20,35,56,...已知，就可以很容易算出1,6=1,5,15,35,70,126,...；
至于為什么1,5等于這個(gè)，再來看1,5的階差1,4，展開式是1,3,6,10,15,21,...，顯然返回得到1,4,10,20,35,56,...；
那么為什么1,4的展開式是這個(gè)呢？接著看1,4的階差1,3，它是1,2,3,4,5,6,...，這便是1,3,6,10,15,21,...的由來；
所以1,3=1,2,3,4,5,6,...是怎么得到的？再接著看1,3的階差1,2，因?yàn)?,2=1,1,1,1,1,1,...，所以1,3=1,2,3,4,5,6,...；
1,2=1,1,1,1,1,1,...，這就是PrSS的內(nèi)容了，整個(gè)展開就到此為止。
這個(gè)遞歸過程在0-Y并不是很重要，因?yàn)?-Y很容易求出高階階差，但在0-Y之上的1-Y、2-Y等，這種遞歸在理解上是必不可少的。

但整個(gè)展開的事情到這還沒完，現(xiàn)在來看看前面的例子1,4,6,3,7,9,7，階差是，二階階差是，壞根顯然是第4項(xiàng)，λ=3，但是這里有一個(gè)問題，第6項(xiàng)，它的父項(xiàng)是第一項(xiàng)，比壞根更靠左；那么，這個(gè)項(xiàng)的λ項(xiàng)后，也就第9項(xiàng)，父項(xiàng)不再是第1+3=4項(xiàng)，而是第一項(xiàng)，即當(dāng)第k-λ項(xiàng)的父項(xiàng)比壞根還靠左時(shí)，第k項(xiàng)的父項(xiàng)與第k-λ項(xiàng)的父項(xiàng)相同。這樣下來，原式展開成，返回得到1,3,2,2,4,2,3,5,2,4,6,2,5,7,2,...，這里沒有上述情況了，按前面的正常情況處理，，最后得到1,4,6,3,7,9,7的展開式1,4,6,3,7,9,6,11,13,10,16,18,15,22,24,...。

以上就是0-Y展開的全部?jī)?nèi)容了，用這些規(guī)則可以展開任何非1結(jié)尾的0-Y表達(dá)式。如果十分熟悉PrSS，你會(huì)發(fā)現(xiàn)父項(xiàng)的關(guān)系是很自然的，根本不需要額外花精力去記，這樣展開就可以表達(dá)為：對(duì)于一個(gè)0-Y表達(dá)式的展開，先求出各項(xiàng)的階差，然后把階差序列展開，再把階差返回原序列，就可以了。

嘗試展開以下0-Y序列吧：1,4,8,10,4；1,7,11,6；1,4,7,10,10,7,9,4；1,4,5,4；1,5,8,4,11,16,13,11；1,8,27,65。
上一部分答案：1,2,3,3,2,2,2,3、1,3,4,2,2,4,5,2,4、1,4,1,3,2,4,3,3；1,2,1,2,1,2、1,2,2,2,2,1,2、1,2,3,4,5,6。

5：分析

這里不講述分析方法，只給出分析結(jié)果。

1,2=ω
1,2,1,2=ω2
1,2,2=ω2
1,2,3=ω^ω
1,2,3,2,3=ω^(ω2)
1,2,3,3=ω^ω2
1,2,3,4=ω^ω^ω

1,3=ε?
1,3,2=ε?ω
1,3,2,4=ε?2
1,3,2,4,3=ε?^ω
1,3,2,4,3,5=ε?^ε?
1,3,3=ε?
1,3,4=ε_(tái)ω
1,3,4,6=ε_(tái)ε?
1,3,5=ζ?
1,3,5,3=ε_(tái)(ζ?+1)
1,3,5,3,4,6,8=ε_(tái)(ζ?2)
1,3,5,3,5=ζ?
1,3,5,4,6,8=ζ_ω
1,3,5,5=η?
1,3,5,6=φ(ω,0)
1,3,5,6,8=φ(ε?,0)
1,3,5,6,8,10=φ(ζ?,0)
1,3,5,6,8,10,11=φ(φ(ω,0),0)
1,3,5,7=Γ?
1,3,5,7,3,5,6,8,10,12=φ(Γ?,1)
1,3,5,7,3,5,6,8,10,12,5=φ(Γ?+1,0)
1,3,5,7,3,5,7=Γ?
1,3,5,7,5=φ(1,1,0)
1,3,5,7,5,7=φ(2,0,0)
1,3,5,7,7=φ(1,0,0,0)
1,3,5,7,7,7=φ(1,0,0,0,0)
1,3,5,7,8=φ(1@ω)
1,3,5,7,9=φ(1@(1,0))
1,3,6=ψ(ε_(tái)(Ω+1))
1,3,6,9,10=ψ(Ω?^ω)
1,3,6,10=ψ(ε_(tái)(Ω?+1))
1,4=ψ(Ω_ω)

后面不再詳細(xì)寫，涉及到“提升效應(yīng)”
1,4,4=ψ(Ω_ω×2)
1,4,6=ψ(Ω_ω×Ω)
1,4,6,3,7,9,7=ψ(Ω_ω×Ω+Ω_ω)
1,4,6,3,7,10=ψ(Ω_ω×Ω?)
1,4,6,4=ψ((Ω_ω)2)
1,4,6,9=ψ(ε_(tái)(Ω_ω+1))
1,4,6,10=ψ(Ω_(ω2))
1,4,7=ψ(Ω_(ω2))
1,4,7,9=ψ(Ω_Ω)
1,4,7,9,3,7,11,14=ψ(Ω_Ω?)
1,4,7,9,4=ψ(Ω_Ω_ω)
1,4,7,9,5=ψ(OFP)
1,4,7,10=ψ(I_ω)
1,4,7,10,7,9,5=ψ(IFP)
1,4,7,10,8=ψ(I(ω,0))
1,4,7,10,10=ψ(M_ω)
1,4,7,10,10,10=ψ(2-M_ω)
1,4,7,10,13=ψ(K_ω)
1,4,8=ψ(Π_ω)=2-dropping
1,4,9,8=3-dropping
1,4,9,10=ω-dropping
1,4,10=pfec.Large Rathjen Ordinal

最后這10行足以見證0-Y序列的強(qiáng)大，你對(duì)反射和Σ?穩(wěn)定了解得越多，越能感受到這里的跨越有多快；不知道反射是什么也沒關(guān)系，用0-Y作為序數(shù)分析的標(biāo)尺也是不錯(cuò)的選擇。

1,4,10后面的東西已經(jīng)鮮為人知，屬于序數(shù)分析界的前沿，至今我們?nèi)晕粗勒嬲腖arge Rathjen Ordinal有多大，但0-Y后面還有很遠(yuǎn)的路才到頭，比如說被命名為TSSO的1,5。詳細(xì)分析可見置頂動(dòng)態(tài)。

上一部分答案：1,4,8,10,3,7,12,15,6,11,17,21,10,16,23,28,...；1,7,11,5,17,27,15,37,57,35,72,107,...；1,4,7,10,10,7,9,3,7,11,15,15,11,14,6,11,16,21,21,16,20,...；1,4,5,3,7,8,6,11,12,10,16,17,...；1,5,8,4,11,16,13,10,21,29,23,20,36,48,38,35,57,74,59,...；1,8,27,64,125,256,343,...。

6：0-Y的本質(zhì)

第一個(gè)，0-Y是不是序數(shù)記號(hào)？
上面說到0-Y是一個(gè)序數(shù)記號(hào)，但事實(shí)真的如此嗎？
序數(shù)記號(hào)的定義，需要兩個(gè)內(nèi)容：判斷一個(gè)表達(dá)式是否為序數(shù)；比較兩個(gè)表達(dá)式的大小。而0-Y的定義依賴基本列，即1,3=sup{1，1,2，1,2,3，1,2,3,4，...}，這種記號(hào)本質(zhì)上并不是序數(shù)記號(hào)，而是大數(shù)記號(hào)。事實(shí)上，幾乎所有的自然數(shù)組表示的“序數(shù)記號(hào)”，都是大數(shù)記號(hào)。
而如果要把worm真正定義成序數(shù)記號(hào)，是十分困難的，PrSS都很難定義。這是以序數(shù)記號(hào)定義的偽-2-Y：一個(gè)有限項(xiàng)自然數(shù)組，第一項(xiàng)是1、第二項(xiàng)是任意自然數(shù)、第二項(xiàng)之后任意一項(xiàng)不能比它前面的那一項(xiàng)大；比較大小則是按字典序。
不過就實(shí)用意義上，區(qū)分大數(shù)記號(hào)和序數(shù)記號(hào)，并沒有很重要的意義，所以就算說0-Y是序數(shù)記號(hào)也一般不會(huì)被反駁。

第二個(gè)是說為什么0-Y中等于1的項(xiàng)沒有父項(xiàng)，階差是1
任何Y序列，本質(zhì)上都是一種被稱為“山脈”的樹狀結(jié)構(gòu)的遞歸運(yùn)算。對(duì)于1-Y，被運(yùn)算的是二維山脈；對(duì)于ω-Y，是任意高維的山脈；對(duì)于Ω-Y，是“Ω-Y維山脈”；對(duì)于-1-Y，是“不交錯(cuò)山脈”；而對(duì)于0-Y，則是“V形山脈”。

每一個(gè)1都是V形山脈的一個(gè)兩線交點(diǎn)，這樣才滿足0-Y的山脈只有兩行這個(gè)特征。當(dāng)然，為了方便起見，一般還是畫成兩行平行分布的形式。

0-Y的這個(gè)特征，和任何正整數(shù)-Y都不同，這也使很多googology大佬認(rèn)為1-Y才是Y序列的起點(diǎn)，但是0-Y的簡(jiǎn)潔與強(qiáng)度，使包括這些大佬在內(nèi)的幾乎任何googologists，都難以拋棄0-Y。

第三個(gè)是“用有限項(xiàng)自然數(shù)組表示一個(gè)序數(shù)”，這種記號(hào)的模式，或者說表現(xiàn)形式，叫做worm，能不能算一種真正的“模式”？
“模式”指的是類似于 構(gòu)造大數(shù)或序數(shù)的思路 的東西，常見的模式有hydra、dropping hydra、shifted、stellar、φ模式等，它們都是從不同的思路出發(fā)，構(gòu)造出來的形成大序數(shù)的方法，也就是說，它們的“根基”是不同的。而對(duì)于worm，“根基”是否與它們不同，這個(gè)實(shí)際上沒有標(biāo)準(zhǔn)答案。
個(gè)人認(rèn)為，worm只是一種表現(xiàn)形式，它可以把hydra、dropping等模式，用自然數(shù)組的形式表現(xiàn)出來，這種情況下并不能算是一種“模式”；但是，也有很多worm記號(hào)，制作的初衷就是用特殊的數(shù)組組合，來實(shí)現(xiàn)表示更大的序數(shù)，比如說LMS，(0)(2)(1)(3)先把它化為(0)(2)(1,1)(2,2,2)再展開，僅僅是在序列表達(dá)式上做文章，那這種情況下，worm又可以成為一種“模式”。因此，worm是不是一種“模式”，取決于你構(gòu)造這個(gè)worm記號(hào)的思路。

以上就是0-Y的所有內(nèi)容了，本文到此結(jié)束，感謝閱讀，希望對(duì)你有幫助！