§2 追擊開荒

條件：A和B是國家，C是荒地

爭地：A→B→C╞ t∈FW

§2.1 追擊無限開荒

條件：c=+∞

推導：

I. pA'(t)=kA*pA(t)

Ⅱ. pB'(t)=kB*pB(t)—kA*pA(t)

lll. pC(t)≡+∞

I. pA(t)=a*e^(kA*t)

Ⅱ. pB'(t)=kB*pB(t)

—kA*a*e^(kA*t)

當kA≠kB時，設pB(t)=

X*e^(kA*t)+Y*e^(kB*t)，則有

pB'(t)=kB*X*e^(kB*t)+

kA*Y*e^(kA*t)=kB[X*e^(kB*t)

+Y*e^(kA*t)]—kA*a*e^(kA*t)

=kB*Y*e^(kB*t)+

(kB*X—kA*a)e^(kA*t)，故有

kA*X=kB*X—kA*a

(kB—kA)X=kA*a

X=a*kA/(kB—kA)，又因為

pB(0)=X+Y=b，聯(lián)立解得

Y=b—X=b+a*kA/(kA—kB)，故

pB(t)=

[a*kA/(kB—kA)]e^(kA*t)

+[b+a*kA/(kA—kB)]e^(kB*t)；

當k=kA=kB時，pA'(0)=ka

pB'(0)=k(b—a)，故

[pB(0)/pA(0)]'

=[a*pB'(0)—b*pA'(0)]/a^2

=k[a(b—a)—ab]/a^2

=k[ab—a^2—ab]/a^2

—k*a^2/a^2=—k

，與a和b無關，則擴展得

[pB(t)/pA(t)]'≡—k

pB(t)/pA(t)=b/a—kt

pB(t)=(b/a—kt)pA(t)

=(b/a—kt)a*e^kt

=(b—akt)e^kt；

Ⅱ.(1)kA≠kB

X=a*kA/(kB—kA)<0?

kA>kB?kB/kA∈(0,1)，

Y=b+a*kA/(kA—kB)<0

a*kA/(kB—kA)>b

kA/(kB—kA)>b/a

(kB—kA)/kA=kB/kA—1<a/b?

[(kB—kA>0?kB>kA?

kB/kA>1)∧kB/kA<1+a/b]

?kB/kA∈(1,1+a/b)

Ⅱ.(2)k=kA=kB

pB'(t)=k[pB(t)—pA(t)]，設

pB'(r)=0，則p=pA(r)=pB(r)，

則有a*e^kr=(b—akr)e^kr

a=b—akr

akr=b—a

r=(b—a)/ak，故

p=a*e^(b/a—1)=max[pB(t)]，

? ? ? ?t? ? <r? ? =r? ? >r

pB'(t)? +? ? ? 0? ? ?—? ?

pB(t)? ↗? ? ?p? ? ?↘? ? B斷絕

若B斷絕，則設T=LDB，故有

①kB/kA∈(0,1)

X<0,Y>0,kA>kB?

X*e^(kA*t)+Y*e^(kB*t)

=pB(t)↘?B斷絕?

X*e^(kA*T)+Y*e^(kB*T)=0

X+Y*e^(kB—kA)T=0

Y*e^(kB—kA)T=—X

e^(kB—kA)T=—X/Y

(kB—kA)T=log(—X/Y)

T=[log(—X/Y)]/(kB—kA)

={log[a*kA/(kA—kB)]/[b+a*kA/(kA—kB)]}/(kB—kA)

=log{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}

/(kA—kB)?pA(T)=a*e^(kA*T)

=a*e^[kA/(kA—kB)]log{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}

=a*{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}^[kA/(kA—kB)]

={a+[b(kA—kB)/kA]}

^[kA/(kA—kB)]

=(a+b—kB/kA)^[kA/(kA—kB)]

②kB/kA=1?k=kA=kB?

pB(T)=(b—akT)e^kT=0?

b—akT=0?akT=b?T=b/ak

③kB/kA∈(1,1+a/b)

X>0,Y<0,kA<kB??s，s.t.

pB'(s)=kB*X*e^(kB*s)+

kA*Y*e^(kA*s)=0

kB*X*e^(kB—kA)s+kA*Y=0

kB*X*e^(kB—kA)s=—kA*Y

e^(kB—kA)s=—kA*Y/(kB*X)

(kB—kA)s=log[—kA*Y/(kB*X)]

s={log[—kA*Y/(kB*X)]}

/(kB—kA)=log{—kA[b+a*kA/(kA—kB)]/[kB*a*kA/(kB—kA)]

}/(kB—kA)

={log[(b/a+kA)/kB]}/(kB—kA)

? ? ? ?t? ? <s? ? =s? ? >s

pB'(t)? ?+? ? ? 0? ? ?—? ?

pB(t)? ↗? ?max? ↘? ?B斷絕?

T=log{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}

/(kA—kB)

④kB/kA≥1+a/b

X>0,Y≥0?pB(t)↗?B存續(xù)

kB/kA∈(0,1)∪(1,1+a/b)，

t→—∞ ?pB(t)/pA(t)

=[X*e^(kA*t)+Y*e^(kB*t)]/[a*e^(kA*t)]

=X/a+Y*e^(kB—kA)t

→X/a=kA/(kB—kA)<0

?無原始平衡

kA=kB，t→—∞ ?pB(t)/pA(t)

=b/a—kt→+∞ ?無原始平衡

kB/kA≥1+a/b，t→+∞

?pB(t)/pA(t)=

X/a+Y*e^(kB—kA)t→+∞

解式：

①kB/kA∈(0,1)∪(1,1+a/b)

? ? ①(1)t<log{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}/(kA—kB)

pA(t)=a*e^(kA*t)，pB(t)=

[a*kA/(kB—kA)]e^(kA*t)

+[b+a*kA/(kA—kB)]e^(kB*t)，

pC(t)≡+∞；

? ? ①(2)t≥log{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}/(kA—kB)∨t→+∞

pA(t)≡(a+b—kB/kA)^[kA/(kA—kB)],pB(t)≡0,pC(t)≡+∞；

②kA=kB

? ? ②(1)t<(b—a)/ak

pA(t)=a*e^(kA*t)，pB(t)=

(b—akt)e^kt，pC(t)≡+∞；

? ? ②(2)t≥(b—a)/ak∨t→+∞

pA(t)≡a*e^(b/a—1)，

pB(t)≡0，pC(t)≡+∞；

③kB/kA≥1+a/b

? ? ③(1)t→—∞

pA(t)→0,pB(t)→0,pC(t)→+∞,pB(t)/pA(t)→kA/(kB—kA)；

? ? ③(2)t∈R

pA(t)=a*e^(kA*t)，pB(t)=

[a*kA/(kB—kA)]e^(kA*t)+[b+a*kA/(kA—kB)]e^(kB*t)，pC(t)≡+∞；

? ? ③(3)t→+∞

pA(t)，pB(t)，pC(t)，

pB(t)/pA(t)? →? +∞；