（寫在前面湊字數(shù)）本題集主要由我比較喜歡的平面幾何題目組成，也包括一定量改編或自編題。由于信息有限，部分題目可能無法標(biāo)注出處。題目難度基本會保持在高聯(lián)難度，有時也會出現(xiàn)一些較簡單或較困難的題。（本題集無任何教育功能或目的，僅供娛樂）

題面：設(shè)A關(guān)于△ABC歐拉線Eu的對稱點為D，AD與歐拉線交于點K，連接BD，CD。點F在線段AC上，滿足CF=BD；點E在線段AB上，滿足BE=CD。求證：EK⊥FK。

這道題的證明過程可能比較繁瑣，但上手還是比較容易的。注意到外心在歐拉線上，由對稱易得ABCD四點共圓；CD=BE，BD=CF的條件也給了我們一個暗示：將D關(guān)于BC中點對稱。因為對稱后將得到兩個等腰三角形。至于后事如何，就“騎驢看唱本——走著瞧”好了。

設(shè)D關(guān)于BC中點M的對稱點為P，則四邊形BDCP為平行四邊形，有等腰三角形△EBP，△FCP由ABCD四點共圓，∠BDC=∠BPC=180°-∠BAC。由于∠BHC=180°-∠BAC，我們發(fā)現(xiàn)BPHC四點共圓。所以∠HBC=∠HPC=90°-∠ACB=90°-∠ADB。又因為AD⊥KH，PC∥BD，所以PC與KH所夾的銳角恰為∠HPC，這說明P在歐拉線上。

這時，觀察四邊形EKPF，如果有EP⊥PF，且EKPF四點共圓，那么這個問題就解決了。但是EP⊥PF似乎不容易證明。這時，往往可以先證一些較弱的結(jié)論，把大問題分解成幾個小問題，然后逐個擊破。我們發(fā)現(xiàn)，取EF中點N，由等腰△EBP，△FCP，EP⊥PF可推得BN⊥NC，但由BN⊥NC結(jié)合等腰三角形無法直接推出EP⊥PF。這說明相對于PE⊥PF，BN⊥NC是較弱的結(jié)論。那么如何證明它呢？

我們發(fā)現(xiàn)，M，N均為中點，所以只需證BC=2MN。由中點M，N，得2MN=BE+CF（向量）所以4MN2可表示為BE2+CF2-2BE·CF·cos∠BAC（余弦定理）而BD=CF，CD=MN，∠BDC+∠BAC=180°。所以，BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC=BE2+CF2-2BE·CF·cos∠BAC=4MN2，所以BC=2MN。即BN⊥CN。那么，該如何運用這個結(jié)論推得E⊥PF呢

這時，等腰△EBP，△FCP的重頭戲便來了。我們只需證BN，CN分別為∠EBP，∠FCP的角平分線即可。由∠BPC+∠BAC=2∠BNC不難發(fā)現(xiàn)，由一個角平分線可以推出另一個，所以只要證出一個就可以。即證∠EBN=∠PBN。由BM=MN，得∠BNM=∠NBM=∠NBP+∠PBC+∠NBP+∠BAD。所以，要證∠EBN=∠PBN，只需證∠BNM=∠EBN+∠BAD=∠BXD，即MN∥AD。這時，一個比較自然的想法是通過利用歐拉線的一些性質(zhì)證明MN與其垂直，進而證明上述結(jié)論。但也許是個人實力有限，在實際操作時發(fā)現(xiàn)計算量龐大。于是我放棄了這個想法，轉(zhuǎn)而繼續(xù)利用角度去證明，幸運的是，還真發(fā)現(xiàn)了一個簡潔的證法。

如圖，取EC中點G，由中位線，NG=1/2FC=1/2BD，MG=1/2CD，又因為MN=1/2BC，我們得到△BDC∽△NGM所以∠NMG=∠BCD=∠BAD。又因為MG∥AB，所以MN∥AD。

至此，我們終于證明了EP⊥PF，可我們還需證EKPF四點共圓，這個問題才能被解決。但是，因為有垂直，所以證明共圓可等價為證KP的中垂線為MN。由MN∥AD，“垂”已經(jīng)整完了，就差“中”還需證明。

有了前面的鋪墊，這個結(jié)論還是很好證的。注意到PD中點為M，由PK⊥AD，即可證明PM=MK，“中”便證完了。至此，我們成功地證出了EK⊥KF。