預(yù)備知識：

1. 定理：單調(diào)有界數(shù)列必收斂；

2. 數(shù)列極限lim?q^n=0，這里|q|<1；
   

3. 柯西列：數(shù)列{an}為柯西列，即對任意小數(shù)ε>0，存在正整數(shù)N，對任意m，n>N，|am-an|<ε；

4. 柯西準(zhǔn)則：數(shù)列{an}收斂的充要條件是數(shù)列{an}是柯西列；

5. 設(shè)lim an=a，若a>0，an>0，則lim an^（1/n）=1；

6. lim（1+1/n）^n=e；

7. 定理：數(shù)列{an}收斂的充要條件是：{an}的任何子列都收斂。

8. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

9. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；

10. 性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

11. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

12. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

13. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

14. （axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；

15. 右手系/左手系：設(shè)有不共面的三個向量a，b，c，將它們移到同一始點(diǎn)，則a，b決定一個平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經(jīng)過小于平角的轉(zhuǎn)動達(dá)到b的方向，此時若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱向量組{a，b，c}構(gòu)成右手系，否則稱為左手系；

16. 直角標(biāo)架/直角坐標(biāo)系：設(shè)i，j，k是空間中以O(shè)為起點(diǎn)的三個向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱為空間的一個以O(shè)為原點(diǎn)的直角標(biāo)架或直角坐標(biāo)系，記為{O；i，j，k}；

    右手直角標(biāo)架/右手直角坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個右手架標(biāo)或右手直角坐標(biāo)系；否則稱為左手直角架標(biāo)或左手直角坐標(biāo)系；

    直角坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該直角坐標(biāo)系的基向量；

17. 仿射架標(biāo)/仿射坐標(biāo)系：如果我們不要求i，j，k單位長度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱為空間一個以O(shè)為原點(diǎn)的仿射架標(biāo)或仿射坐標(biāo)系；

    右手仿射架標(biāo)/右手仿射坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個右手仿射架標(biāo)或右手仿射坐標(biāo)系；否則稱為左手仿射架標(biāo)或左手直仿射坐標(biāo)系；

    仿射坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該仿射坐標(biāo)系的基向量；

18. 坐標(biāo)：O；i，j，k是空間的一個仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），則任意一個向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，稱（x，y，z）為向量v在該坐標(biāo)系{O；i，j，k}下的坐標(biāo)，記為v=（x，y，z）；

    點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè){O；i，j，k}是空間的一個以O(shè)為原點(diǎn)的仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），規(guī)定P點(diǎn)的坐標(biāo)為向量OP的坐標(biāo)，向量OP成為P點(diǎn)的定位向量或矢徑，若P點(diǎn)的坐標(biāo)為{x，y，z}，記為P（x，y，z）；

19. 坐標(biāo)軸/坐標(biāo)平面/卦限：i，j，k所在的直線通常成為坐標(biāo)軸或分別成為x，y，z軸，每兩根坐標(biāo)軸所決定的平面稱為坐標(biāo)平面或xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面，3個坐標(biāo)平面把空間分割成8個部分，稱為該坐標(biāo)系的8個卦限；

20. 已知a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）：

    ab=a1b1+a2b2+a3b3；

    |a|=（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2）；

    axb=（a2b3-a3b2）i+（a3b1-a1b3）j+（a1b2-a2b1）k.
    

21. 矩陣乘法運(yùn)算律——
    

    a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

    e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

22. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。

23. 矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|。

24. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

25. 定義：n階行列式|A|中，劃去第i行和第j列，剩下的元素按原來次序組成的n-1階行列式稱為矩陣A的（i，j）元的余子式，記作Mij。

26. 定義：令A(yù)ij=（-1）^（i+j）Mij，稱Aij是A的（i，j）元的代數(shù)余子式。

27. 定義：設(shè)A=（aij）nxn，則它的伴隨矩陣A*=（bij）nxn，其中bij=Aji（i，j=1，2，……），Aij為|A|中aij的代數(shù)余子式。

28. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

29. E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

30. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

31. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。

32. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

33. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

34. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'；

35. 克萊姆法則：設(shè)A是n*n矩陣，線性方程組Ax=B——

    若|A|≠0，則方程組有唯一解：xi=Δi/Δ，其中Δ=|A|，Δi為|A|中第i列換為B，其它各列與|A|相同的n階行列式（i=1，2，……，n）；

36. 對n維方陣A，若其行（列）向量線性相關(guān)，則|A|=0，若其行向量線性無關(guān)，則|A|不為0.

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——

應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則，證明以下數(shù)列{an}收斂：an=（sin 1）?/2+（sin 2）/2^2+…+（sin n）/2^n.

證：設(shè)n>m，則有——

1. an-am

   =[sin（m+1）]?/2^（m+1）+[sin（m+2）]/2^（m+2）+…+（sin n）/2^n

   <=1/2^（m+1）+1/2^（m+2）+…+1/2^n

   =[1/2^（m+1）][1-1/2^（n-m）]/（1-1/2）

   =1/2^m-1/2^n

   <1/2^m

   <=1/m；

2. 對任意小數(shù)ε>0，存在正整數(shù)N=[1/ε]+1，對任意n>m>N，|am-an|<ε，即{an}為柯西列，即為收斂。
   

   
   

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——

距離公式：已知兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1）及P2（x2，y2，z2），求P1，P2兩點(diǎn)間的距離|P1P2|.

解：

1. P1，P2兩點(diǎn)間的距離即線段P1P2的長度，即向量P1P2的模|P1P2|；

2. P1P2

   =OP2-OP1

   =（x2-x1，y2-y1，z2-z1）；

3. |P1P2|

   =[（x2-x1）^2+（y2-y1）^2+（z2-z1）^2]^（1/2），

   即P1，P2兩點(diǎn)間的距離|P1P2|為[（x2-x1）^2+（y2-y1）^2+（z2-z1）^2]^（1/2）.

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)題解精粹（錢吉林?編著）》）——

設(shè)A為n階方陣（n>=2），E為n階單位矩陣，A*為A的伴隨矩陣，|A|為A的行列式.

試證：AA*=|A|E.

證：設(shè)A=（aij）nxn，則它的伴隨矩陣A*=（bij）nxn，其中bij=Aji（i，j=1，2，……），Aij為|A|中aij的代數(shù)余子式，即——

又由代數(shù)余子式的性質(zhì)得：

1. as1At1+as2At2+…+asnAtn=|A|，若s=t，

2. as1At1+as2At2+…+asnAtn=0，若s≠t.

所以——

到這里！