牛頓332、畫出來的切線有誤差；代數(shù)法求點(diǎn)的斜率；微分基本公式推導(dǎo)

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微分（百度百科）：

…微、分、微分：見《牛頓321~330》…

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…

多元型

…元：見《歐幾里得45》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…型：見《伽利略9》…

（…《伽利略》：小說名…）

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當(dāng)自變量為多個(gè)時(shí)，可得出多元微分的定義。

…量：見《歐幾里得27》…

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

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一元微分又叫常微分。

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切線微分

…切、線、切線：見《牛頓288》…

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1、當(dāng)自變量為固定值

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需要求出曲線上一點(diǎn)的斜率時(shí)，前人往往采用作圖法，將該點(diǎn)的切線畫出，以切線的斜率作為該點(diǎn)的斜率。

…斜、率、斜率：見《牛頓289》…

然而，畫出來的切線是有誤差的。

…誤、差、誤差：見《牛頓64》…

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也就是說，以作圖法得到的斜率并不是完全準(zhǔn)確的斜率。

…完、全、完全：見《歐幾里得39》…

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微分最早就是為了從數(shù)學(xué)上解決這一問題而產(chǎn)生的。

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見《歐幾里得49》…

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以y=x^2?為例，我們需要求出該曲線在（3，9）上的斜率，當(dāng)△x與△y的值越接近于0，過這兩點(diǎn)直線的斜率就越接近所求的斜率m。

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

…△：讀音是“德爾塔”。音標(biāo)為/delt?/。

在物理學(xué)中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時(shí)間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見《牛頓8》…

當(dāng)△x與△y的值變得無限接近于0時(shí)，直線的斜率就是點(diǎn)的斜率。

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當(dāng)x=3+Δx時(shí)，y=9+Δy，也就是說：

（3+△x）^2=9+Δy

→3^2+△x^2+2×3×△x=9+Δy

→9+△x^2+6△x=9+Δy

→△x^2+6△x=Δy

?（兩邊減去9）

→△x+6=Δy/△x

（兩邊除以△x）

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∵?m=（△x→0）lim Δy/△x?[m為曲線在（3，9）上的斜率，Δy/△x為直線斜率]

…lim：極限符號(hào)，limit的前三個(gè)字母…

[…極、限、極限：見《歐幾里得218~300》…

…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍。

v.限制；限定；限量；減量…]

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∴?m=（△x→0）lim Δy/△x=（△x→0）lim （6+△x）=6+（△x→0）lim △x=6

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我們得出，y=x^2在點(diǎn)（3，9）處的斜率為6。

2、當(dāng)自變量為任意值

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在很多情況下，我們需要求出曲線上許多點(diǎn)的斜率。

如果每一個(gè)點(diǎn)都按上面的方法求斜率，將會(huì)消耗大量時(shí)間，計(jì)算也容易出現(xiàn)誤差。

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

…時(shí)、間、時(shí)間：見《伽利略10》…

…計(jì)、算、計(jì)算：見《歐幾里得157》…

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這里我們?nèi)砸詙=x^2?為例，計(jì)算圖象上任意一點(diǎn)的斜率m。

假設(shè)該點(diǎn)為（x，y），做對(duì)照的另一點(diǎn)為（x+△x，y+Δy），我們按上面的方法再計(jì)算一遍：

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

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（x+△x）^2=y+Δy

→x^2+△x^2+2×x·△x=y+Δy

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∵?y=x^2

∴?x^2+△x^2+2×x·△x=x^2+Δy?

→△x^2+2×x·△x=Δy

（兩邊減去x^2）

→△x+2x=Δy/△x

（兩邊除以△x）

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∵?（△x→0）lim（△x+2x）=2x+（△x→0）lim △x=2x

∴?m=（△x→0）lim Δy/△x=2x

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我們得出，y=x^2在點(diǎn)（x，y）處的斜率為2x。

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3、從二次函數(shù)到冪函數(shù)

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…冪：見《歐幾里得113》…

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通過以上的方法，我們可以得出x的二次函數(shù)在任意一點(diǎn)上的斜率。

但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

我們需要把這種方法擴(kuò)充到所有冪函數(shù)：

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（x+△x）^n=y+Δy

→x^n+nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=y+Δy?（二項(xiàng)展開式）

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∵?y=x^n

∴?x^n+nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=x^n+Δy?

→nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=Δy?

（兩邊減去x^2）

→nx^（n-1）+…+nx△x^（n-2）+△x^（n-1）=Δy/△x

（兩邊除以△x）

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加上極限：

（△x→0）lim[nx^（n-1）+…+nx△x^（n-2）+△x^（n-1）]=（△x→0）lim Δy/△x

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∴?nx^（n-1）=（△x→0）lim Δy/△x

（其他項(xiàng)均帶有△x，在△x→0的情況下都可以視為等于0）

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即：（△x→0）lim Δy/△x=nx^（n-1）

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我們得出，y=x^n在點(diǎn)（x，y）處的斜率為nx^（n-1）。

4、從冪函數(shù)到單項(xiàng)式

…單項(xiàng)式（百度百科）：由數(shù)和字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。

單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式（0可看做0乘a，1可以看做1乘指數(shù)為0的字母，b可以看做b乘1）。

分?jǐn)?shù)和字母的積的形式也是單項(xiàng)式…

（…形、式、形式：見《歐幾里得13》…）

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…單項(xiàng)式（百度漢語）2：沒有加、減運(yùn)算的整式。

其中數(shù)字因數(shù)（包括數(shù)和表示常數(shù)的字母）稱為單項(xiàng)式的系數(shù)。

各自變數(shù)稱為單項(xiàng)式的元，各元指數(shù)之和稱為單項(xiàng)式的次數(shù)，如3xy^3·z^2是三元六次單項(xiàng)式，其系數(shù)是3。

任一非0數(shù)都可看作單項(xiàng)式，稱為0次單項(xiàng)式。

0則稱為0單項(xiàng)式，次數(shù)不定…

（…運(yùn)、算、運(yùn)算：見《歐幾里得121》…

…常、數(shù)、常數(shù)：見《歐幾里得132》…

…系、數(shù)、系數(shù)：見《牛頓2》…）

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我們可以把冪函數(shù)的斜率擴(kuò)展到單項(xiàng)式函數(shù)y=ax^n的斜率，依然假設(shè)有兩點(diǎn)（x，y）和（x+△x，y+△y）:

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a（x+△x）^（n+1）=y+Δy

→ax^n+anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=y+Δy?（二項(xiàng)展開式）

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∵?y=ax^n

∴?ax^n+anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=ax^n+Δy?

→anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=Δy?

（兩邊減去ax^n）

→anx^（n-1）+…+anx△x^（n-2）+a△x^（n-1）=Δy/△x

（兩邊除以△x）

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加上極限：

（△x→0）lim[anx^（n-1）+…+anx△x^（n-2）+a△x^（n-1）]=（△x→0）lim Δy/△x

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∴?anx^（n-1）=（△x→0）lim Δy/△x

（其他項(xiàng)均帶有△x，在△x→0的情況下都可以視為等于0）

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即：（△x→0）lim Δy/△x=anx^（n-1）

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我們得出，y=ax^n在點(diǎn)（x，y）處的斜率為anx^（n-1）。

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這就是微分的基本公式。

…基、本、基本：見《歐幾里得2》…

…公：見《歐幾里得1》…

…式、公式：見《歐幾里得132》…

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注意：基本公式極為重要，在學(xué)習(xí)更為復(fù)雜的運(yùn)算法則前請(qǐng)務(wù)必牢記。

…學(xué)、習(xí)、學(xué)習(xí)：見《牛頓160》…

…復(fù)、雜、復(fù)雜：見《歐幾里得133》…

…法、則、法則：見《歐幾里得108》…

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（△x→0）lim Δy/△x=m被記作dy/dx=m

（本質(zhì)相同；一種本質(zhì)的兩種說法。

…本、質(zhì)、本質(zhì)：見《歐幾里得22》…）

5、多項(xiàng)式

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當(dāng)函數(shù)為幾個(gè)ax^n?形式的單項(xiàng)式的和或差時(shí)，這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)只需在單項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)上進(jìn)行加減即可。

…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見《牛頓288~294》…

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以函數(shù)y=ax^m+bx^n為例，將其拆分為兩個(gè)函數(shù)u=ax^m和v=bx^n，且y=u+v。

可以得出du/dx=amx^（m-1），dv/dx=bnx^（n-1）。

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y+△y=（u+△u）+（v+△v）

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∵?y=u+v

∴?y+△y=（u+△u）+（v+△v）

→u+v+△y=（u+△u）+（v+△v）

→△y=△u+△v

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兩邊除以△x：△y/△x=△u/△x+△v/△x

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∵?（△x→0）lim Δy/△x=m被記作dy/dx=m；△y/△x=△u/△x+△v/△x

∴?dy/dx=du/dx+dv/dx=amx^（m-1）+bnx^（n-1）

→d（ax^m+bx^n）/dx=amx^（m-1）+bnx^（n-1）

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同理可以得出d（ax^m-bx^n）/dx=amx^（m-1）-bnx^（n-1）

最后得出公式：

d（ax^m±bx^n）/dx=amx^（m-1）±bnx^（n-1）

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有了這兩個(gè)公式，我們可以對(duì)大部分常見的初等函數(shù)求導(dǎo)。

“d（a）/dx=0

請(qǐng)看下集《牛頓333、微分運(yùn)算法則；常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為什么是0？》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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