那位還在用老式縫紉機(jī)打補(bǔ)丁的朋友，可能是個(gè)數(shù)學(xué)小天才！

老式的腳踏縫紉機(jī)應(yīng)該是一代人的回憶，你仔細(xì)想過(guò)它的原理嗎？為了更便捷地使用，上百年來(lái)聰慧的工程師對(duì)這種機(jī)器進(jìn)行不斷革新，這里就有著很奇妙的數(shù)學(xué)。即使今天已經(jīng)出現(xiàn)了智能電動(dòng)縫紉機(jī)，但處理布料的縫紉方式仍是線的各種組合，重新看這些老物件，或許會(huì)給人們新的啟發(fā)。

撰文丨Tony Philips（石溪大學(xué)榮譽(yù)數(shù)學(xué)教授）

編譯丨Hadron

縫紉機(jī)是十九世紀(jì)機(jī)械發(fā)明的奇跡之一。據(jù)說(shuō)，圣雄甘地曾經(jīng)稱它是“人類為數(shù)不多的有用發(fā)明之一”。這種自動(dòng)化的工具與打印機(jī)或者點(diǎn)鈔機(jī)不同，應(yīng)用它來(lái)處理的最終是實(shí)際的材料，而非呈現(xiàn)信息。在本文中我將從數(shù)學(xué)層面探索縫紉機(jī)和通常被同時(shí)提及的繞線器（bobbin winder）的原理：雙線連鎖縫紉法（Lockstich，也稱為鎖式線跡，是縫紉機(jī)上最常用的一種工藝）在拓?fù)鋵用嫔先绾螌?shí)現(xiàn)，以及阿基米德螺旋線形狀的凸輪是如何保證在長(zhǎng)線軸上均勻繞線的。

線步拓?fù)鋵W(xué)

最原始的縫紉機(jī)使用的是單線鏈?zhǔn)骄€跡：

鏈?zhǔn)骄€跡縫法：每逢一針，一圈絲線都被拖進(jìn)上一圈線形成的環(huán)中。

鏈?zhǔn)娇p法在拓?fù)鋵W(xué)上不是個(gè)難題，因?yàn)榫€完全不打結(jié)——只需拉動(dòng)上圖的右端線頭，就足以讓整個(gè)縫線瓦解。對(duì)于一些需要容易打開(kāi)的情況，比如家里裝滿土豆或者狗糧的袋子，這種縫法是比較好用。但是，有的時(shí)候這個(gè)特性是災(zāi)難性的，除非你那么想要一件一扯就壞的衣服。

最早實(shí)現(xiàn)鎖式縫法的縫紉機(jī)大約誕生于1830年至1850年間，這種縫紉機(jī)用兩股線來(lái)縫制。

鎖式線跡逢法：在每一個(gè)針腳處，上方的線與下方的線纏繞在一起，并且朝向一致。如果忽略要縫的布料，你會(huì)看到兩股線均勻地纏繞在一起，一股繞著另一股。

一眼看上去，用機(jī)器縫出鎖式縫法從拓樸學(xué)上來(lái)說(shuō)似乎是不可能的?？p紉機(jī)用兩股線來(lái)縫接縫，而每股線都來(lái)自一個(gè)線軸——上方的線來(lái)自位于機(jī)器頂端的線軸，下方的線則來(lái)自于隱藏在縫紉機(jī)內(nèi)部梭子里的線筒。那么問(wèn)題來(lái)了，這兩股線是如何一圈一圈地纏繞在一起？

答案很簡(jiǎn)單，線筒沒(méi)有固定在縫紉機(jī)上。在早期的縫紉機(jī)上，線筒裝在子彈形狀的梭子里，每縫一針，梭子就先前進(jìn)穿過(guò)上線，當(dāng)針抬起后，梭子退回，這樣就完整地繞了一圈。梭子在縫紉機(jī)中能夠自由地穿梭就是實(shí)現(xiàn)這種縫法的關(guān)鍵。在更現(xiàn)代的縫紉機(jī)中，線筒被卡在一個(gè)光滑的圓形金屬梭子中，它處于一個(gè)固定的位置，但不是被完全固定住，而是可以轉(zhuǎn)動(dòng)。每縫一針，上方線都被掛到金屬梭子上，隨之轉(zhuǎn)動(dòng)后剛好和下方線纏起來(lái)并被拉緊。

圖a ?

圖b

兩種實(shí)現(xiàn)鎖形縫法的方案。圖a：“振蕩梭”。每縫一針，梭子帶著線筒（藍(lán)線）穿過(guò)上方線（紅色）形成的環(huán)。圖b：“旋梭”。線筒（綠線）被封閉在保持固定的圓形光滑梭子里，每縫一針上面的線（黃色）被拉向繞梭子一圈。在這兩種情況下，為了保證在拓?fù)鋵W(xué)上是可能的，梭子必需在機(jī)器內(nèi)能夠自由運(yùn)動(dòng)。

神奇的阿基米德螺旋線

這些有意思的東西我是從前同事，也是好友Enrico Giusti（意大利數(shù)學(xué)家）那里得知的。他之前在威尼斯舉辦的“數(shù)學(xué)與文化（Matematica e Cultura）”會(huì)議的講座中提到了縫紉機(jī)和繞線器。這些內(nèi)容也可以在佛羅倫薩的數(shù)學(xué)博物館“阿基米德花園（The Garden of Archimedes）”里找到。另一位意大利數(shù)學(xué)家Franco Conti創(chuàng)建了這個(gè)展覽，想法源于他和Giusti在2000年時(shí)出版的Oltre il Compasso: la geometria delle curve（《超越圓規(guī)：曲線的幾何》）一書(shū)。博物館網(wǎng)站上還有這些繞線器的工作機(jī)制。

對(duì)于那些不熟悉雙線連鎖縫紉機(jī)的人來(lái)說(shuō)，每臺(tái)機(jī)器都不相同，因?yàn)樗鼈兌加懈髯元?dú)特的梭芯——一個(gè)嵌在梭子內(nèi)載著下方線的小線筒。為了更方便地將線繞在梭芯里的線筒上，每臺(tái)縫紉機(jī)上都有繞線器這樣的裝置，它們通常挨著縫紉機(jī)的主軸，距離縫紉操作較遠(yuǎn)的地方。

左圖展示的是經(jīng)典的縫紉機(jī)，Singer Sphinx Model 27, 1910年制造。右圖是繞線器的近距離展示。Model 27是有振蕩梭的設(shè)計(jì)。

子彈狀振蕩梭模型和繞線筒，展示的這款長(zhǎng)約1.5英寸。

對(duì)于那種圓形旋轉(zhuǎn)梭里面較短的線筒，要保證線纏繞均勻通常不是問(wèn)題，縫紉機(jī)上的繞線器能讓線均勻地抽出來(lái)（當(dāng)然還是建議你盯著點(diǎn)繞線的過(guò)程，必要時(shí)用手調(diào)整一下）。但是像上圖中那種古老型號(hào)使用的又窄又長(zhǎng)的線筒就不那么好辦了：在纏繞過(guò)程中，需要沿著線筒來(lái)回引導(dǎo)線。有種非常簡(jiǎn)單的解決方法，即在繞線器上設(shè)計(jì)一個(gè)可動(dòng)的結(jié)構(gòu)，來(lái)達(dá)到來(lái)回運(yùn)動(dòng)的效果。下圖展示了這種簡(jiǎn)單的機(jī)制，線可以被引導(dǎo)通過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的、直徑與線筒長(zhǎng)度相等的環(huán)上，然后通過(guò)固定點(diǎn)連到繞線器，但這會(huì)導(dǎo)致線在線筒兩端堆積。在右圖中，可以看到綠色區(qū)域的繞線量是相同長(zhǎng)度紅色區(qū)域的兩倍。Conti解釋了這樣做為什么會(huì)讓線在線筒的兩端堆疊。

（a）圖為實(shí)際裝置示意圖，繞線筒繞沿平行紙面方向勻速旋轉(zhuǎn)，圓盤沿垂直紙面方向勻速旋轉(zhuǎn)。圓盤上黑點(diǎn)對(duì)應(yīng)下的線筒的位置為繞線的位置。黑點(diǎn)在線筒上方停留時(shí)間的長(zhǎng)短決定了繞線量的多少。如圖（b）所示，圓盤均勻轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，繞線筒綠色部分區(qū)域在圓盤上對(duì)應(yīng)的圓心角大小是紅色部分所示區(qū)域?qū)?yīng)圓心角大小的兩倍，因此綠色區(qū)域的繞線量是紅色區(qū)域的兩倍。由此可見(jiàn)繞線將在線筒兩端堆疊，結(jié)果如圖（c）。

解決方案由這類縫紉機(jī)的發(fā)明者和后續(xù)發(fā)展者提出，就是在類似于上圖的旋轉(zhuǎn)圓盤上安裝一個(gè)心形的凸輪，就像兩條阿基米德螺旋拼起來(lái)一樣。（在極坐標(biāo)軸可以表示為當(dāng) 0≤θ≤π，r=θ，當(dāng) ?π≤θ≤0，r=?θ)。與之連接的臂桿可以調(diào)整以匹配繞線器的長(zhǎng)度。

1868年出版的507 Mechanical Movements 收錄了這種利用阿基米德螺旋把圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換成均勻線性運(yùn)動(dòng)的裝置。（507 Mechanical Movements，《507種機(jī)械運(yùn)動(dòng)》，作者Henry T. Brown是The American Artisan雜志的編輯，這份刊物專門刊登工業(yè)革命時(shí)期機(jī)械工程領(lǐng)域的新內(nèi)容，最終Brown將其集合成書(shū)，出版了21版。現(xiàn)在這本書(shū)可以在網(wǎng)上查到，并有動(dòng)圖。）這個(gè)縫紉機(jī)上的巧妙裝置是第96個(gè)，書(shū)中還給出了解釋。

阿基米德螺線 ?

507種機(jī)械運(yùn)動(dòng)書(shū)中記錄的心形凸輪 ?

心形凸輪。心形凸輪的旋轉(zhuǎn)可以使臂桿得到均勻的橫向運(yùn)動(dòng)。虛線擬合出了心形凸輪的運(yùn)動(dòng)軌跡。臂桿裝置被等分成任意個(gè)部分，從這些點(diǎn)確定了一系列的同心圓。從外圈的最左邊的點(diǎn)開(kāi)始，每向中心走一小格的時(shí)候，同時(shí)需要轉(zhuǎn)動(dòng)等間距的角度，逐漸走向中心。那么，這些同心圓和向外輻射線的交點(diǎn)就是我們希望擬合出來(lái)的曲線。

早些年比較火的光盤，實(shí)際上是由載有信息的條狀介質(zhì)（厚1.6微米）繞制而成的，它也是一條阿基米德螺旋線。這樣做的好處是，當(dāng)光盤勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，讀取信息的激光頭只需要?jiǎng)蛩俚匮毓獗P做徑向運(yùn)動(dòng)，就可以均勻地讀取刻錄在條狀介質(zhì)上的信息，而且不會(huì)間斷。更古老的留聲機(jī)的黑膠唱片也是類似的原理，它表面的信息載體——刻槽就形成了一條完美的阿基米德螺旋線。

阿基米德螺線是既作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)又作勻速直線運(yùn)動(dòng)而形成的軌跡。不同的是，有的是垂直旋轉(zhuǎn)軸勻速直線運(yùn)動(dòng)，如前面提到的凸輪和光盤；有的是平行于轉(zhuǎn)軸的勻速直線運(yùn)動(dòng)，如阿基米德?lián)P水器。據(jù)說(shuō)，公元前3世紀(jì)，阿基米德為了解決用尼羅河水灌溉土地的難題，發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚(yáng)水器，后人稱它為“阿基米德螺旋”。阿基米德螺旋揚(yáng)水器是最古老的水泵，借著螺旋曲面繞著旋轉(zhuǎn)軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，將水從低處傳輸至高處，用于農(nóng)田灌溉。憑著它操作簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)維修簡(jiǎn)便，流速平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，至今在工業(yè)應(yīng)用中仍有阿基米德螺旋泵的身影。

上圖所示為阿基米德螺旋揚(yáng)水器，轉(zhuǎn)軸每旋轉(zhuǎn)一圈，每個(gè)格子里的水都向前推進(jìn)一個(gè)螺距。

應(yīng)該注意的是，阿基米德螺旋經(jīng)常與另一種常見(jiàn)螺線——等角螺線（或稱對(duì)數(shù)螺線）混弄，它們的區(qū)別在于后者旋轉(zhuǎn)是以幾何級(jí)數(shù)遞增，而阿基米德螺線是恒定的。大數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利對(duì)這種曲線頗為癡迷，相傳他要求死后把等角螺線刻在墓碑上，結(jié)果最終工匠刻成了阿基米德螺線。

等角螺線

阿基米德螺線，這種簡(jiǎn)潔且深邃的曲線也出現(xiàn)在今天各類工程應(yīng)用里，小到螺絲，大到通訊天線。技術(shù)的魅力在于為人類帶來(lái)了切實(shí)的應(yīng)用，而背后的原理更顯自然界的神奇。或許你再翻出仍在儲(chǔ)藏間角落的縫紉機(jī)，還能發(fā)現(xiàn)過(guò)去沒(méi)注意到的科學(xué)道理。

本文圖片均來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)