正弦交流電

電感與電容器分別發(fā)生充電、放電在電路中振蕩傳遞，LC振蕩電路（L：電感，C:電容）

等效為力學(xué)振動(dòng)模型可得

電路總能量表達(dá)式（注意：此時(shí)為理想模型，只發(fā)生電路內(nèi)的能量的轉(zhuǎn)移，不發(fā)生能量的耗散）

當(dāng)能量全部轉(zhuǎn)移到電感L或電容C時(shí)，其總能量

# 模型分析

## 概念

相位的區(qū)別于LC電路，但在電路只有電阻R與電動(dòng)勢E里，電流 I與電動(dòng)勢 E

• 峰值：最值
• 平均值：某一區(qū)間的函數(shù)積分 / 該區(qū)間的時(shí)間差；常應(yīng)用于計(jì)算電量

對于電路只有電阻R與電動(dòng)勢E而言，電流平均值為：

通過的電量Q

求解平均電流 $\overline{ I }$

結(jié)果

選取不同區(qū)間的函數(shù)值將影響平均值，如下圖對于同樣時(shí)間差為 $\pi/4$的不同區(qū)域，[0,$\pi/2$] 比 [$\pi/4$,$3\pi/4$]?。ㄒ?yàn)槠渌鶉拿娣e相比而言小）

注意：計(jì)算電量Q時(shí)，需要看題目是否計(jì)算正負(fù)電荷抵消

• 有效值：函數(shù)的平方在一個(gè)最小周期的積分 / 最小周期 ，即為方均根 $f_{rms}$ ，常用于計(jì)算發(fā)熱

結(jié)果為

阻尼交流電與品質(zhì)因數(shù)

# 概念與現(xiàn)象

在之前的章節(jié)中研究為能量不耗散的狀況，現(xiàn)在研究能量耗散的情況

名詞定義：

• 固有頻率ω
• 阻尼因子

特征方程情況分類：

• 過阻尼 δ> ω

• 臨界阻尼 δ = ω

• 小阻尼/欠阻尼 δ < ω：比較重要

整理如下

# 品質(zhì)因數(shù)Q

## 定義

在欠阻尼下的品質(zhì)因數(shù)為

## 影響因素

品質(zhì)因數(shù)Q的影響因素：

• 阻尼δ：負(fù)相關(guān)
• 周期T：負(fù)相關(guān)

近似處理，利用等價(jià)無窮小

整理可得，此時(shí)品質(zhì)因數(shù)Q體現(xiàn)出損耗特性

受迫振蕩電路與矢量法

處于外界輸入交流電下

注意：q_{m}為最大充電電量

# 矢量法

一個(gè)三角函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為圓周運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)軸投影

當(dāng)角頻率ω相同時(shí)，可認(rèn)為其為不同初相位φ的矢量疊加的圓周運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)軸投影

設(shè)：方程的解為圖中——"解”處的表達(dá)式

代入原式，可得

可將各項(xiàng)對應(yīng)到上圖的矢量圖形當(dāng)中，由圖中的幾何關(guān)系，可得：解的系數(shù)qm與相位φ

E_{m} C = q_{m}

系數(shù)qm與相位φ

## 分析極端狀況的影響因素：

• ω << ω0：即為當(dāng)電感L處于較小時(shí)，外界電流變化較慢

E_{m} C = q_{m}，此時(shí)幅值 $q'_{m}$，只與最大電動(dòng)勢E_{m}與電容C相關(guān)，且均為正相關(guān)；此時(shí)電量與外界交流電變化同步（不存在相位的超前或滯后）

• ω >> ω0：即為當(dāng)電感L處于較大時(shí)，外界電流變化較快

此時(shí)振幅 q'_{m} 趨于0，相當(dāng)于電路處于斷路（電感L的作用相符）；相位φ與原相位相反，即峰值相互抵消（一正一負(fù)），或者說電路充放電與外電路相反

## 諧振曲線：振幅與策動(dòng)力(即外部交流電)頻率的關(guān)系

共振時(shí)的關(guān)系式如下：

可得：（Q為品質(zhì)因數(shù)）

進(jìn)一步，可得共振時(shí)振幅 q_{m} 與電容的關(guān)系

由上可知電容的最大電壓U_{m} 可以大于電動(dòng)勢E，而品質(zhì)因數(shù)此時(shí)體現(xiàn)出增益特性

### 品質(zhì)因數(shù)體現(xiàn)的特性

可得

當(dāng)阻尼δ變小，則在電容器的最大充電電量q_{m}/√2區(qū)間內(nèi)的外頻ω差值將變小

此時(shí)凸函數(shù)所圍的面積變小，其意義在于消除其余頻率的噪音的影響，品質(zhì)因數(shù)Q反映出頻率接收的選頻性能，也稱為諧振特性

回顧與總結(jié)`品質(zhì)因數(shù)`的性質(zhì)

• 損耗特性【阻尼交流電與品質(zhì)因數(shù)】
• 增益特性
• 諧振特性

## 能量關(guān)系

### 概念與特點(diǎn)：阻抗、感抗、容抗

表示出電流最值 I_{m}，可推導(dǎo)得出下式

設(shè)分母部分為R或者Z (注意區(qū)別電阻R)

此時(shí)可定義分母R為阻抗Z_{R}，同理可得其余的概念名詞

感抗Z_{L} 與容抗Z_{c}的特點(diǎn)：

• 感抗Z_{L}：通直流阻交流；通低頻阻高頻
• 容抗Z_{C}:：通交流阻直流；通高頻阻低頻

### 共振時(shí)的能量關(guān)系

共振時(shí)，外頻ω = 自然頻率ω0

可得：電流最值 I_{m}與最大電動(dòng)勢 E_[m}的關(guān)系

其相位φ應(yīng)為：-pi/2（具體推導(dǎo)過程參考下一節(jié)復(fù)數(shù)法）；其矢量表示關(guān)系如下

能量上：感抗Z_{R}和容抗Z_{C}相互抵消（由電流最值 I_{m}與最大電動(dòng)勢 E_[m}的關(guān)系可得）

或者由下列的微分方程得出：

電感項(xiàng)（二階微分項(xiàng)）和電容項(xiàng)（常數(shù)微分項(xiàng)）相互抵消

總能量

### 品質(zhì)因數(shù)Q的推導(dǎo)式

進(jìn)一步，可得

總結(jié)品質(zhì)因數(shù)Q的表達(dá)式

1. 定義式
2. 損耗特性近似表達(dá)式
3. 增益特性
4. 諧振特性
5. 諧振電路的值

交流電復(fù)數(shù)法

# 阻抗

使用復(fù)數(shù)表達(dá)(即up主所指處)

則電阻(復(fù)阻抗)表達(dá)式為(計(jì)算簡單明了)

## 電阻的復(fù)數(shù)(復(fù)阻抗)表達(dá)的意義

### 例題:復(fù)阻抗

#### 例1:求復(fù)阻抗Z_{R}

### 例2:求感抗Z_{L}

不建議使用up主的邏輯方法：時(shí)而使用復(fù)數(shù)，時(shí)而使用矢量判斷（有技巧性）

### 例3：求容抗Zc

使用矢量判斷相位

求出容抗Zc

同樣不建議使用up主的邏輯方法：時(shí)而使用復(fù)數(shù)，時(shí)而使用矢量判斷（有技巧性）

## 抗值的串并聯(lián)

• 阻抗Z的串并聯(lián)

** 串聯(lián)

電阻R、電感L、電容C串聯(lián)

整理可得

區(qū)別于之前使用時(shí)電量q推導(dǎo)求出的相位φ

原因：下面的式子為電量q與電動(dòng)勢E的相位φ，上面的式子為電流 I 與電動(dòng)勢E的相位，而電量q與電流 I 之間相差 pi/2

電量最值 Im與充電電量最值q'm

** 并聯(lián)（up主沒有講）

交流電的應(yīng)用

# 概念

## 有用功率：一個(gè)周期內(nèi)的功率 / 周期

注意：不能直接使用——電動(dòng)勢有用功E_{rms} ? 電流有用功 I_{rms}。在非純電阻電路，電流 I 與電動(dòng)勢 E 存在相位差

利用和差化積法，之后判斷三角函數(shù)的周期積分為0，可得

### 有用功的最值的情況：

• 純電阻電路

當(dāng)其為純電阻電路時(shí)，不存在電容與電感的相位影響，因此相位φ =0，有用功達(dá)到最大

• 諧振時(shí)，此時(shí)相位角φ為0，Z = R

注：已知φ=0，Z=R。我也不知道up主為什么要多一步表示cosφ

可得類似焦耳定律的有用功結(jié)果

總結(jié)：電感與電容只是在電路中儲(chǔ)存于轉(zhuǎn)化能量并不消耗能量

## 平均輸入功率（up主不講）

# 變壓器

## 單個(gè)初級線圈

初級線圈與次級線圈磁通量相等，可得

在理想條件下（即不計(jì)鐵片因渦流而損耗能量），能量不耗散，則功率相等?？傻贸跫壘€圈與次級線圈的電流關(guān)系

應(yīng)用：電壓與電流經(jīng)過線圈后具有放大或縮小的效果

## 多個(gè)初級線圈

電壓U與匝數(shù)N的關(guān)系

電流 I 與匝數(shù)N的關(guān)系

# 三相交流電

## 接線方法

• 星形接法

注意：相電壓為有效值，也不一定為220V

• 三角形接法

線電壓與相電壓的關(guān)系

線電壓 = 相電壓?√3

## 插座

上三孔為火線，下橫為地線，即三相四線制

# 例題：三相交流電

## 例1：電路與三相交流電

如圖A、B、C為火線，O為零線

• case 1：開關(guān)S全部閉合，燈泡亮度是否相等？電壓為多少？

答：相等，因?yàn)槎紴橄嚯妷呵覟?20V

• case 2：僅僅將開關(guān)S0斷開，其余開關(guān)均為閉合，求燈泡亮度以及其電壓。

答：如下圖

• case 3：僅僅斷開S0、S11開關(guān)，其余開關(guān)打開，求燈泡亮度以及其電壓

此時(shí)L12的電阻變大（?2），則L12的分壓變大（2/3的電壓），其亮度將變亮，而L34、L56均變暗（電壓1/3）

• case 4：僅僅斷開S0、S11、S12開關(guān)，其余開關(guān)打開，求燈泡亮度以及其電壓

答：如下圖所示

• case 5：僅僅斷開S0、S11、S12、S22開關(guān)，其余開關(guān)打開，求燈泡亮度以及其電壓

答：易知L2的電阻變大，分壓變大（2/3電壓），因此變量，而L3將變暗（1/3電壓）

• case 6：僅僅斷開S11、S12、S22開關(guān)，其余開關(guān)打開，求燈泡亮度以及其電壓

答：三個(gè)燈泡將均為220V等亮度

交流電例題選講

# 例1：LR電路

• 直流電求解

• 交流電求解

# 例2：多元件串聯(lián)問題

補(bǔ)充

(1). 求 電流 I 和 電壓 V4

• 使用復(fù)數(shù)法求電壓V4：

（亦可設(shè)電流 I 的復(fù)數(shù)表達(dá)式，利用復(fù)數(shù)的歐姆定理 U = I Z即可求解）

• 使用矢量法求電壓V4

(2)求總電壓u

(3)總阻抗Z

(4)幅角φ

# 例3：并聯(lián)電路

求電流 I1與 電流 I2的相位差

矢量法求解

# 例4：并聯(lián)電路

問題如下：其中I0為總電流

(1)總阻抗Z的大小

（2）干路電流I0與相位角φ

(3)求解 I0

(4)總功率P

# 例5：電橋法

當(dāng)電橋平衡時(shí)，電流表示數(shù)G為0，求各個(gè)阻值之間的關(guān)系

支路電流可得

由AB兩點(diǎn)電勢相同可得

最后可得

# 例6

已知當(dāng)電壓表最小時(shí)為25V，求電阻r和電感系數(shù)L

矢量求解如下，分析聽up主講解

整理如下