牛頓299、極限思想的思維功能

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極限（微積分概念）（百度百科）：…

…極、限、極限：見《歐幾里得218~296》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

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極限思想的思維功能

…思、想、思想：見《歐幾里得154》…

…思、維、思維：見《歐幾里得22》…

…功、能、功能：見《伽利略44》…

（…《伽利略》：小說名…）

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極限思想在現(xiàn)代數(shù)學乃至物理學等學科中，有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。

…數(shù)、學、數(shù)學：見《歐幾里得49》…

…物、理、物理，學、物理學：見《歐幾里得139》…

…應、用、應用：見《歐幾里得181》…

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極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的關系。

…變、量、變量：見《歐幾里得29》…
…常、量、常量：見《牛頓64》…
…無、限、無限：見《牛頓202》…
…關、系、關系：見《歐幾里得75》…

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借助極限思想，人們可以從有限認識無限，從“不變”認識“變”，從“直線構(gòu)成形”認識“曲線構(gòu)成形”，從量變?nèi)フJ識質(zhì)變，從近似認識精確。

…認、識、認識：見《歐幾里得51》…

…精、確、精確：見《牛頓25》…

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“無限”與“有限”概念本質(zhì)不同，但是二者又有聯(lián)系?！盁o限”是大腦抽象思維的概念，存在于大腦里?！坝邢蕖笔强陀^實際存在的、千變?nèi)f化的事物的“量”的映射。

…本、質(zhì)、本質(zhì)：見《歐幾里得22》…

…抽、象、抽象：見《歐幾里得20、21》…

…客、觀、客觀：見《歐幾里得43》…

…事、物、事物：見《歐幾里得21》…

…映、射、映射：見《歐幾里得52》…

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符合客觀實際規(guī)律的“無限”屬于整體，按公理，整體大于局部。

…規(guī)、律、規(guī)律：見《歐幾里得43》…

…公、理、公理：見《歐幾里得1、2》…

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“變”與“不變”反映了事物運動變化，是兩種不同狀態(tài)，但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化。例如，物理學，求變速直線運動的瞬時速度，用初等方法無法解決，困難在于變速直線運動的瞬時速度是變量不是常量。

…反、映、反映：見《歐幾里得22》…

…運、動、運動：見《伽利略9》…

…變、化、變化：見《伽利略10》…

…狀、態(tài)、狀態(tài)：見《伽利略42》…

…條、件、條件：見《牛頓280》…

…速、度、速度：見《伽利略3》…

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為此，人們先在小的時間間隔范圍內(nèi)，用【“勻速”計算方法，代替“變速”狀態(tài)的計算】，求其平均速度。

…范、圍、范圍：見《歐幾里得39》…

…計、算、計算：見《歐幾里得157》…

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

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把較小的時間內(nèi)的瞬時速度，定義為求“速度的極限”，是借助了極限的思想方法，從“不變”形式來尋找“某一時刻變”的“極限”的精密結(jié)果。

…時、間、時間：見《伽利略10》…

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…形、式、形式：見《歐幾里得13》…

…精、密、精密：見《牛頓129》…

…結(jié)、果、結(jié)果：見《牛頓105》…

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曲線形與直線形圖像有著本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了”。善于利用這種關系，是處理數(shù)學問題的重要手段之一。

…手段：見《牛頓185》…

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用直線構(gòu)成的圖形的面積易求；但是求曲線組成的圖形的面積，用初等數(shù)學是不能準確解決的。

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古人劉徽（huī）用“圓內(nèi)接多邊形逼近圓面積”（見《牛頓244》）；人們用“變形為矩形的面積”來逼近曲邊梯形的面積，等等，都是借助極限的思想方法，從直線形起步來認識曲線形問題，最終解決曲線形問題的。

…面、積、面積：見《牛頓261》…

…認、識、認識：見《歐幾里得51》…

無限逼近“真實值”（結(jié)論完全沒有誤差）思想，在數(shù)學研究工作中起重要作用。例如對任何一個圓內(nèi)接正多邊形來說，當它邊數(shù)加倍后，得到圓面積的近似答案還是圓內(nèi)接正多邊形的面積。

人們不斷地讓其邊數(shù)加倍增加，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就“變”成一個與真實圓面積相差不大的“假圓”。

每一步“邊數(shù)增加的變化”都可以使用原來的常量公式累計，得到越來越靠近真實值的“圓面積”。

變形中的數(shù)不清的三角形正反互補得到的矩形，其長邊的總和的極限等于“圓周長的一半”，與半徑的乘積計算得到圓面積（就是極限概念的應用）。

趨勢極限，越來越逼近圓面積。這就是借助極限思想方法，化繁為簡解決求圓面積問題。

其他問題思維方法也一樣。

“用極限概念解決問題時，首先用傳統(tǒng)思維，用低等數(shù)學思維的常量思維建立某一個函數(shù)（計算公式），再想辦法進行圖像總的面積不變的變形，然后把某一個對應的變量的極限求出，就可以解決問題了。

請看下集《牛頓300、“恒等”轉(zhuǎn)化中尋找極限數(shù)值，是數(shù)學應用于實際變量計算的訣竅》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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