這是兩道求繁分數(shù)整數(shù)部分的估算取整題.

兩道題目中，分子都是1，分母都是5個分子為1的分數(shù)之和，分母中的分母則都是遞減連續(xù)自然數(shù).

顯然，題目并不希望我們強行通分計算精確結(jié)果，否則它不會只讓你求整數(shù)部分.

所以我們的目標是簡化原本恐怖的通分.

通常我們說的通分，都是指通分母.

所以只要分母變得簡單，通分計算量就會相應(yīng)減少.

怎樣讓分母變得簡單呢？

最簡單粗暴的方法就是讓分母全都一樣.

再次看一下第1題——

你打算讓分母統(tǒng)一為2015呢？還是2014呢？還是2013呢？還是2012呢？還是2011呢？

注意到，分母越大分數(shù)越小，我們可以得到以下不等關(guān)系——

2015分之1＜2014分之1＜2013分之1＜2012分之1＜2011分之1

所以想要放大五個分數(shù)之和，就讓它們?nèi)甲優(yōu)樽畲蠓謹?shù)2011分之1；

若是想要縮小五個分數(shù)之和，就讓它們?nèi)甲優(yōu)樽钚》謹?shù)2015分之1.

又因為五個分數(shù)之和是第1題原式的分母，所以五個分數(shù)之和放大原式縮小，五個分數(shù)之和縮小原式放大.

于是就可以得到一個形如“A＜原式＜B”的范圍.

這就是“整體放縮法”，以下是具體解答步驟——

由于原式S的值介于小數(shù)402.2與整數(shù)403之間，可以得出結(jié)論：S的整數(shù)部分必定是402.

至此第1題解答完畢.

接下來我們來看第二題——

第2題與第1題非常相似，僅僅是五個連加分數(shù)的分母的值有所改變.

所以我們會不假思索地套用第1題的解法——整體放縮法.

以下是仿照第1題的解法，解答第2題的步驟——

還是一樣的配方，但卻是不一樣的味道.

我們發(fā)現(xiàn)S的值介于小數(shù)400.6與小數(shù)401.4之間，這個范圍讓我們?yōu)殡y，只能得出結(jié)論：原式S的整數(shù)部分可能是400也可能是401.

接下來請思考：第2題的答案可能有2個嗎？

S的值是精確唯一的，那么它的整數(shù)部分也一定是唯一的某個整數(shù).

之所以會得到“S的整數(shù)部分可能是400也可能是401”，原因只能是用在第1題的整體放縮法在第2題中失效了.

所謂失效，也就是我們把S放得過大又或是把S縮的過小，導(dǎo)致S所在的范圍太寬，寬到橫跨了2個整數(shù).

既然整體放縮法不能每次都奏效，我們不得不考慮能夠更加“精確放縮”的方法.

你可能已經(jīng)想到，相對于整體放縮，更加精確的操作是針對局部來放縮——

例如，X=1+2+3+4+5，按整體放縮的思路就是1×5=5＜X＜5×5=25；

而如果是局部放縮，我們可以把X分三部分：X=(1+2)+3+(4+5)，然后每部分分別放大或縮小——(1+1)+3+(4+4)=13＜X＜(2+2)+3+(5+5)=17.

整體放縮得到的X的范圍是5~25，而局部分段放縮得到的X的范圍是13~17.

因此我們有理由相信，局部放縮，也就是分段放縮，確實是更加精確的放縮方法.

再來看看第2題——

你想到什么分段的好辦法了嗎？

如果是按照我們之間舉例的那樣，2007分之1與2006分之1為第一段，2005分之1為第二段，2004分之1與2003分之1為第三段，分三段來放縮，確實是可以縮小S的值的范圍.

但缺點也很明顯，通分計算量太大——比如把S的分母放大為“1/2006+1/2006+1/2005+1/2003+1/2003”時你需要給三個不同分母通分.

既然按原來的順序分段不好使，我們可以更加創(chuàng)造性地像高斯那樣進行首尾配對.

2007與2003一對，2006與2004一對，2005與自己一對.

你很快發(fā)現(xiàn)這樣配對的好處是——和為固定值.

說到“和定”，你馬上想到最值原理——“和定差小積大”.

因為——

2007+2003=2006+2004=2005+2005=4010，

那么——

2007×2003＜2006×2004＜2005×2005，

再取倒數(shù)（注意反號）——

再擴4010倍（為什么是4010倍？）——

再分數(shù)裂項——

最后終于得到基于最值原理的分母統(tǒng)一的不等式——

以上不等式可以用來得到第2題原式S值的上限.

把第2題原式S值用最值原理分段放大、整體放縮法縮小的具體解答步驟如下——

至此，我們成功的把S的取值范圍壓縮到介于小數(shù)400.6與整數(shù)401之間，那么S的整數(shù)部分就必定是400.

總結(jié)——

本文對比了兩道非常相似的繁分數(shù)估算取整的題目——

這2道題我們都先嘗試用整體放縮法，第1題成功，但第2題暴露出“整體放縮法范圍可能橫跨2個整數(shù)”的問題，于是我們?yōu)榱烁_放縮采用了分段的思路，然而通常的“截斷分段”也沒有奏效，這促使我們更加創(chuàng)造性地使用了“高斯首尾配對”的方式來分段，并且注意到這種分段的特征是“和定”，便更進一步與不等式的好朋友“最值原理”結(jié)合起來，充分利用“和定差小積大”變形得到更精確的S的放大值，最終成功得出第2題S的整數(shù)部分.