短時(shí)距傅里葉變換
我們都知道傅里葉變換，它是把時(shí)間信號(hào)變換到頻率域，得到信號(hào)的頻率信息。
當(dāng)然還有反傅里葉變換，它把頻率域的信號(hào)變換回時(shí)間域。
這個(gè)看起來(lái)有些抽象的公式起源于傅里葉的一個(gè)想法：我能否把任意信號(hào)用一組正弦信號(hào)展開？傅里葉的答案是，可以的。任意信號(hào)都可以展開為一組正弦信號(hào):
如果把傅里葉級(jí)數(shù)中的正弦函數(shù)用三角公式展開為sin和cos，傅里葉級(jí)數(shù)就化為了下面的形式：
可以看到，信號(hào)被展開為一組頻率為整數(shù)倍基頻的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。這樣，我們接下來(lái)只需要確定各個(gè)函數(shù)前面的系數(shù)就行了。由三角函數(shù)的正交性（只和自己相乘做積分不是0，和別的相乘做積分是0），可以對(duì)兩邊乘上某個(gè)sin/cos，再同時(shí)作積分，這樣就得到該sin/cos的系數(shù)：
動(dòng)態(tài)圖可以看這個(gè)視頻
傅里葉變換就是傅里葉級(jí)數(shù)的連續(xù)形式。
我們通過(guò)傅里葉變換獲取信號(hào)的頻率信息。但是傅里葉變換存在一個(gè)問(wèn)題：它得到的頻率分布是整條信號(hào)的頻率分布平均，并不能反映頻率隨時(shí)間的變換。對(duì)于時(shí)變信號(hào)，只得到一個(gè)平均的頻率分布是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們需要知道頻率隨時(shí)間的變化，比如：
分析頻率隨時(shí)間變化的過(guò)程就叫時(shí)頻分析。
很自然地我們想到，把整條信號(hào)切成一個(gè)個(gè)小片段，給每個(gè)小片段分別作傅里葉變換，得到了頻率在每個(gè)小片段上的分布，以很短時(shí)間的小片段的平均頻率分布作為這一時(shí)間點(diǎn)的頻率，最后把所有小片段拼起來(lái)，不就得到了頻率隨時(shí)間的變化嗎？
這就叫：短時(shí)距傅里葉變換(Short time Fourier transform STFT)。
其中h(t)是用來(lái)“切”信號(hào)的時(shí)窗。大體上講，這個(gè)時(shí)窗是一個(gè)只在有限長(zhǎng)度上有值，在其他區(qū)域都是0的窗，這樣就把這個(gè)有限長(zhǎng)度上的信號(hào)截取出來(lái)。
我們通過(guò)移動(dòng)時(shí)窗在時(shí)間軸上的的位置來(lái)截取一個(gè)個(gè)小片段。
如果我們選用的時(shí)窗函數(shù)是高斯函數(shù)：
那么此時(shí)短時(shí)距傅里葉變換就是大名鼎鼎的Gabor 變換。
動(dòng)態(tài)演示見視頻：
到這一步可能有人會(huì)問(wèn)了，你加了個(gè)兩邊衰減的時(shí)窗，會(huì)不會(huì)造成信號(hào)的信息損失啊？答案是，不會(huì)的。短時(shí)傅里葉變換的結(jié)果再反變換回時(shí)間，可以得到原來(lái)的時(shí)間信號(hào)。
就以剛才的Gabor變換為例子
由高斯積分公式
高斯窗在全空間的積分等于1
高斯窗函數(shù)的頻域函數(shù)
由一般高斯積分公式
高斯窗函數(shù)的頻域函數(shù)等于這個(gè)
我們對(duì)短時(shí)傅里葉變換結(jié)果做一個(gè)時(shí)間上的積分，也就是把每一段加起來(lái)
代入
換元，利用高斯積分公式
得到結(jié)果：
可見，短時(shí)傅里葉變換得到的結(jié)果加起來(lái)就是信號(hào)的頻域函數(shù)，不會(huì)造成信息損失。
最后再明確一點(diǎn)，你得到的時(shí)頻關(guān)系是不精確的。還記得時(shí)寬和頻寬的概念嗎？
你每個(gè)窗函數(shù)得到的片段上的頻率分布，實(shí)際上是在中心頻率和平均時(shí)間由帶寬、時(shí)寬組成的長(zhǎng)方形。
在這個(gè)長(zhǎng)方形面積里，任意一點(diǎn)都可能是真實(shí)的頻率，但由于不確定性原理，你永遠(yuǎn)也能同時(shí)精確地測(cè)量時(shí)間和頻率，你只能去盡可能逼近不確定性關(guān)系的極限。
當(dāng)選用的窗函數(shù)越窄，你對(duì)頻率的到達(dá)時(shí)間越確定，同時(shí)對(duì)頻率的分布不確定；當(dāng)選用的窗函數(shù)越寬，你對(duì)頻率的分布越加確定，同時(shí)對(duì)頻率的到達(dá)時(shí)間越發(fā)不確定，因?yàn)轭l率分布是這一時(shí)間段的平均。
這就是短時(shí)距傅里葉變換的全部?jī)?nèi)容啦！
總結(jié)：
短時(shí)距傅里葉變換可以在不損失信號(hào)信息的情況下得到頻率隨時(shí)間的變化。
對(duì)時(shí)間、頻率的確定受限于不確定性原理，和選用的窗函數(shù)寬度。
參考資料：《時(shí)頻分析與小波變換》
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