????琺露珊角色邀約任務(wù)中，有段分支提到了前輩發(fā)現(xiàn)的一種益智機(jī)關(guān)“堆棧塔”?，F(xiàn)實當(dāng)中，堆棧塔的原型其實就是漢諾塔問題（Hanoi?Tower），先來看看游戲劇情里是如何介紹堆棧塔的

????用漢諾塔的模型來解釋玩法：給定3根柱子A,B,C，初始有n個圓環(huán)（記為1至n號，由小到大排序）在A上，最終目標(biāo)是通過若干步移動，將所有圓環(huán)都移動到B上，且移動的規(guī)則為：

????①1次移動只能1個圓環(huán)（且應(yīng)當(dāng)是A/B/C最上面的圓環(huán)）

????②始終要求小號圓環(huán)堆疊在大號圓環(huán)上（形如金字塔形，例如不能將2號圓環(huán)移動到1號圓環(huán)之上）

????下面UP將使用數(shù)學(xué)推導(dǎo)來解釋最少步數(shù)的解法，并用編程解遞歸問題進(jìn)行驗證，最后闡述下本人的一些想法。

一. 數(shù)學(xué)推導(dǎo)

????我們設(shè)圓環(huán)數(shù)為n，將n個圓環(huán)從A全部移到B所需的最少步數(shù)為an

????首先，最簡單的情況，就是僅1個圓環(huán)（n=1）時，只需要把A上的1號環(huán)移動到B即可，最少移動步數(shù)為1，a1=1，如下圖：

????接下來我們考慮n＞1的情形：

? ? 如果我們要將所有圓環(huán)移到B，必經(jīng)的一步當(dāng)然是把n號圓環(huán)從A移到B，前提是要把1至n-1號圓環(huán)全部移走，并留出A、B兩個柱子讓第n號圓環(huán)進(jìn)行移動操作。因此，1到n-1號圓環(huán)就只能按金字塔順序堆疊在C上了。如下圖3所示：

????那么怎么從初始狀態(tài)圖1變到圖3的情形呢？不難發(fā)現(xiàn)，從圖1到圖3本質(zhì)上只是將第1至n-1號圓環(huán)從A全部移動到C而已，這需要的最少步數(shù)是an-1。說明如果你每步都走最優(yōu)路線，那么圖3就是第an-1步。

????接著上面的操作，我們將第n號圓環(huán)從A移到B，這是第(an-1)+1步,得到下面的圖4：

????到達(dá)圖4的情形后，我們下一步要將剩下的n-1個圓環(huán)全部疊到B上，細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這本質(zhì)上也是將第1至n-1號圓環(huán)從C全部移動到B而已，需要的最少步數(shù)仍然是an-1。完成以后，就達(dá)到我們的目標(biāo)啦↓

? ? 通過上述描述，我們將n層漢諾塔解法分解為3個步驟：

? ? ①將n-1層漢諾塔整體從A移動到C，最少步數(shù)為an-1

????②將第n個圓環(huán)從A移動到B，所需步數(shù)為1

????③將n-1層漢諾塔整體從C移動到B，最少步數(shù)為an-1

? ? 將上述三點的步數(shù)相加，由此求得所需最少步數(shù)的遞推公式：

????根據(jù)遞推公式，可以解得an的表達(dá)式：

? ? 我們不妨代入前8個正整數(shù)試試：

????回到邀約任務(wù)的劇情，可見前面幾位小盆友在玩n=4和5的堆棧塔時，都沒能實現(xiàn)最少步數(shù)。而前輩向旅行者提問的是n=7的情形，運用數(shù)學(xué)推導(dǎo)不難得到答案是127步↓

????眾所周知，2×(2^(n-1)-1) + 1 = 2^(n) -?1，所以公式是沒有問題的↓

????這個游戲還是蠻有趣的，作為益智玩具（機(jī)關(guān)）都是不錯的想法，只能說不愧是前輩??

二. 程序編寫（遞歸問題）

????對于進(jìn)修過編程類課程的大學(xué)生來說，漢諾塔應(yīng)該是再經(jīng)典不過的遞歸問題了。上文已經(jīng)通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)掌握了規(guī)律，那么就可以通過遞歸算法重構(gòu)漢諾塔模型，然后丟給計算機(jī)來思考就行。

????實現(xiàn)過程也很簡單，我們先構(gòu)建2個函數(shù)↓

????①move函數(shù)

????該函數(shù)表示單獨1次移動的操作，形參src和dest分別表示拿出圓環(huán)和放入圓環(huán)的兩根柱子，也就是將src最上方的圓環(huán)移動到dest上，同時用count記錄1次移動次數(shù)。

????②hanoi函數(shù)

????hanoi函數(shù)是遞歸函數(shù)，其算法原理就是先前討論過的三個步驟。當(dāng)輸入層數(shù)n，初始柱src，中間柱medium，目標(biāo)柱dest后，如果n=1，就只需調(diào)用一次move函數(shù)。否則就要拆分成三個步驟：

????（1）把1至n-1號的圓環(huán)從初始柱src移動到medium（注：此時遞歸函數(shù)hanoi中的目標(biāo)柱變成了medium，而中間柱變成了dest）。

????（2）把第n號圓環(huán)從src移動到dest（調(diào)用一次move函數(shù)即可）。

????（3）將剩下的在medium里的n-1層圓環(huán)全部移動到dest（此時遞歸函數(shù)hanoi中初始柱為medium，目標(biāo)柱為dest）

????最后來個實例，我們利用上述2個函數(shù)編寫n=4時的輸出代碼：

????運行一下，可以得到n=4的最少步數(shù)以及每一步的移動方法：

? ? 當(dāng)然，也可以略微修改代碼來輸出每個n對應(yīng)的最少步數(shù)：

????任取正整數(shù)n，只需要跟著計算機(jī)的每一步走，就能以最少的步數(shù)完成目標(biāo)。當(dāng)然，hanoi塔畢竟是一款益智游戲，還是自己動手玩比較有意思??

三、對“堆棧塔”命名的一些想法

????原神的文案策劃是懂命名的，因為漢諾塔每根柱子處理圓環(huán)的方式和計算機(jī)術(shù)語中的“堆?！笔窍嗨频模梢粤私庀隆緱！康亩x：

??????說簡單些，就是將若干個元素依次存進(jìn)一個列表里，但是只允許對棧頂元素（最新存入的元素）進(jìn)行插入、刪除等操作，那么這個受限制的線性表就稱為【?！?。

????對于漢諾塔的三根柱子，可以視為三個堆棧，每根柱子最上面的圓環(huán)就是所謂的棧頂元素。因為如果要想移動A柱子上的圓環(huán)，有且僅有最上面的圓環(huán)可以取走，同時，如果想要把新的圓環(huán)放進(jìn)A，有且僅有最上面的位置可以堆疊（而不能從中間插入）。

????嚴(yán)格上講，漢諾塔的存放方式比堆棧更加嚴(yán)格，因為漢諾塔還要求大圓環(huán)（高值元素）不能堆疊在小圓環(huán)（低值元素）之上…

????這么一看，用“堆棧塔”來命名，確實是挺合理的嘛?(o゜▽゜)o