2023高教社杯 國賽數(shù)學建模C題思路分析
0 賽題思路
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2023高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽
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1 競賽信息
競賽題目一般來源于科學與工程技術、人文與社會科學（含經(jīng)濟管理）等領域經(jīng)過適當簡化加工的實際問題，不要求參賽者預先掌握深入的專門知識，只需要學過高等學校的數(shù)學基礎課程。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。參賽者應根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設、建立和求解、計算方法的設計和計算機實現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文（即答卷）。競賽評獎以假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標準。
競賽分為本科組和?？平M進行。本科學生只能參加本科組競賽，不能參加?？平M競賽。?？疲ǜ呗毟邔＃W生一般參加?？平M競賽，也可參加本科組競賽，無論參加何組競賽，均必須在報名時確定，報名截止后不能再更改報名組別。同一參賽隊的學生必須來自同一所學校。
2 競賽時間
報名結(jié)束時間：2023年9月4日20:00
比賽開始時間：2023年9月7日（周四）18:00
比賽結(jié)束時間：2023年9月10日（周日）20:00
3 建模常見問題類型
趁現(xiàn)在賽題還沒更新，A君給大家匯總一下國賽數(shù)學建模經(jīng)常使用到的數(shù)學模型，題目八九不離十基本屬于一下四種問題，對應的解法A君也相應給出
分別為：
分類模型
優(yōu)化模型
預測模型
評價模型
3.1 分類問題
判別分析：
又稱“分辨法”，是在分類確定的條件下，根據(jù)某一研究對象的各種特征值判別其類型歸屬問題的一種多變量統(tǒng)計分析方法。
其基本原理是按照一定的判別準則，建立一個或多個判別函數(shù)；用研究對象的大量資料確定判別函數(shù)中的待定系數(shù)，并計算判別指標；據(jù)此即可確定某一樣本屬于何類。當?shù)玫揭粋€新的樣品數(shù)據(jù)，要確定該樣品屬于已知類型中哪一類，這類問題屬于判別分析問題。
聚類分析：
聚類分析或聚類是把相似的對象通過靜態(tài)分類的方法分成不同的組別或者更多的子集，這樣讓在同一個子集中的成員對象都有相似的一些屬性，常見的包括在坐標系中更加短的空間距離等。
聚類分析本身不是某一種特定的算法，而是一個大體上的需要解決的任務。它可以通過不同的算法來實現(xiàn)，這些算法在理解集群的構成以及如何有效地找到它們等方面有很大的不同。
神經(jīng)網(wǎng)絡分類：
BP 神經(jīng)網(wǎng)絡是一種神經(jīng)網(wǎng)絡學習算法。其由輸入層、中間層、輸出層組成的階層型神經(jīng)網(wǎng)絡，中間層可擴展為多層。RBF（徑向基）神經(jīng)網(wǎng)絡：徑向基函數(shù)(RBF-Radial Basis Function)神經(jīng)網(wǎng)絡是具有單隱層的三層前饋網(wǎng)絡。它模擬了人腦中局部調(diào)整、相互覆蓋接收域的神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構。感知器神經(jīng)網(wǎng)絡：是一個具有單層計算神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡，網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)是線性閾值單元。主要用來模擬人腦的感知特征。線性神經(jīng)網(wǎng)絡：是比較簡單的一種神經(jīng)網(wǎng)絡，由一個或者多個線性神經(jīng)元構成。采用線性函數(shù)作為傳遞函數(shù)，所以輸出可以是任意值。自組織神經(jīng)網(wǎng)絡：自組織神經(jīng)網(wǎng)絡包括自組織競爭網(wǎng)絡、自組織特征映射網(wǎng)絡、學習向量量化等網(wǎng)絡結(jié)構形式。K近鄰算法： K最近鄰分類算法，是一個理論上比較成熟的方法，也是最簡單的機器學習算法之一。
3.2 優(yōu)化問題
線性規(guī)劃：
研究線性約束條件下線性目標函數(shù)的極值問題的數(shù)學理論和方法。英文縮寫LP。它是運籌學的一個重要分支，廣泛應用于生產(chǎn)計劃、物流運輸、資源分配、金融投資等領域。建模方法：列出約束條件及目標函數(shù)；畫出約束條件所表示的可行域；在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解及最優(yōu)值。
整數(shù)規(guī)劃：
規(guī)劃中的變量（全部或部分）限制為整數(shù)，稱為整數(shù)規(guī)劃。若在線性模型中，變量限制為整數(shù)，則稱為整數(shù)線性規(guī)劃。目前所流行的求解整數(shù)規(guī)劃的方法往往只適用于整數(shù)線性規(guī)劃。一類要求問題的解中的全部或一部分變量為整數(shù)的數(shù)學規(guī)劃。從約束條件的構成又可細分為線性，二次和非線性的整數(shù)規(guī)劃。
非線性規(guī)劃：
非線性規(guī)劃是具有非線性約束條件或目標函數(shù)的數(shù)學規(guī)劃，是運籌學的一個重要分支。非線性規(guī)劃研究一個 n元實函數(shù)在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且 目標函數(shù)和約束條件至少有一個是未知量的非線性函數(shù)。目標函數(shù)和約束條件都是 線性函數(shù)的情形則屬于線性規(guī)劃。
動態(tài)規(guī)劃：
包括背包問題、生產(chǎn)經(jīng)營問題、資金管理問題、資源分配問題、最短路徑問題和復雜系統(tǒng)可靠性問題等。
動態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時間劃分階段的動態(tài)過程的優(yōu)化問題，但是一些與時間無關的靜態(tài)規(guī)劃(如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃)，只要人為地引進時間因素，把它視為多階段決策過程，也可以用動態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。
多目標規(guī)劃：
多目標規(guī)劃是數(shù)學規(guī)劃的一個分支。研究多于一個的目標函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：
（1）兩個以上的目標函數(shù)；
（2）若干個約束條件。有n個決策變量，k個目標函數(shù)， m個約束方程，則：
Z=F(X）是k維函數(shù)向量，Φ（X）是m維函數(shù)向量；G是m維常數(shù)向量；
3.3 預測問題
回歸擬合預測
擬合預測是建立一個模型去逼近實際數(shù)據(jù)序列的過程，適用于發(fā)展性的體系。建立模型時，通常都要指定一個有明確意義的時間原點和時間單位。而且，當t趨向于無窮大時，模型應當仍然有意義。將擬合預測單獨作為一類體系研究，其意義在于強調(diào)其唯“象”性。一個預測模型的建立，要盡可能符合實際體系，這是擬合的原則。擬合的程度可以用最小二乘方、最大擬然性、最小絕對偏差來衡量。
灰色預測
灰色預測是就灰色系統(tǒng)所做的預測。是一種對含有不確定因素的系統(tǒng)進行預測的方法。灰色預測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，即進行關聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應的微分方程模型，從而預測事物未來發(fā)展趨勢的狀況。其用等時距觀測到的反映預測對象特征的一系列數(shù)量值構造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。
馬爾科夫預測：是一種可以用來進行組織的內(nèi)部人力資源供給預測的方法.它的基本 思想是找出過去人事變動的 規(guī)律,以此來推測未來的人事變動趨勢.轉(zhuǎn)換矩陣實際上是轉(zhuǎn)換概率矩陣,描述的是組織中員工流入,流出和內(nèi)部流動的整體形式,可以作為預測內(nèi)部勞動力供給的基礎.
BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測
BP網(wǎng)絡（Back-ProPagation Network）又稱反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡， 通過樣本數(shù)據(jù)的訓練，不斷修正網(wǎng)絡權值和閾值使誤差函數(shù)沿負梯度方向下降，逼近期望輸出。它是一種應用較為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡模型，多用于函數(shù)逼近、模型識別分類、數(shù)據(jù)壓縮和時間序列預測等。
支持向量機法
支持向量機(SVM)也稱為支持向量網(wǎng)絡[1]，是使用分類與回歸分析來分析數(shù)據(jù)的監(jiān)督學習模型及其相關的學習算法。在給定一組訓練樣本后，每個訓練樣本被標記為屬于兩個類別中的一個或另一個。支持向量機(SVM)的訓練算法會創(chuàng)建一個將新的樣本分配給兩個類別之一的模型，使其成為非概率二元線性分類器(盡管在概率分類設置中，存在像普拉托校正這樣的方法使用支持向量機)。支持向量機模型將樣本表示為在空間中的映射的點，這樣具有單一類別的樣本能盡可能明顯的間隔分開出來。所有這樣新的樣本映射到同一空間，就可以基于它們落在間隔的哪一側(cè)來預測屬于哪一類別。
3.4 評價問題
層次分析法
是指將一個復雜的 多目標決策問題 作為一個系統(tǒng)，將目標分解為多個目標或準則，進而分解為多指標（或準則、約束）的若干層次，通過定性指標模糊量化方法算出層次單排序（權數(shù)）和總排序，以作為目標（多指標）、多方案優(yōu)化決策的系統(tǒng)方法。
優(yōu)劣解距離法
又稱理想解法，是一種有效的多指標評價方法。這種方法通過構造評價問題的正理想解和負理想解，即各指標的最大值和最小值，通過計算每個方案到理想方案的相對貼近度，即靠近正理想解和遠離負理想解的程度，來對方案進行排序，從而選出最優(yōu)方案。
模糊綜合評價法
是一種基于模糊數(shù)學的綜合評標方法。 該綜合評價法根據(jù)模糊數(shù)學的隸屬度理論把定性評價轉(zhuǎn)化為定量評價，即用模糊數(shù)學對受到多種因素制約的事物或?qū)ο笞龀鲆粋€總體的評價。 它具有結(jié)果清晰,系統(tǒng)性強的特點,能較好地解決模糊的、難以量化的問題,適合各種非確定性問題的解決。
灰色關聯(lián)分析法（灰色綜合評價法）
對于兩個系統(tǒng)之間的因素，其隨時間或不同對象而變化的關聯(lián)性大小的量度，稱為關聯(lián)度。在系統(tǒng)發(fā)展過程中，若兩個因素變化的趨勢具有一致性，即同步變化程度較高，即可謂二者關聯(lián)程度較高；反之，則較低。因此，灰色關聯(lián)分析方法，是根據(jù)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度，亦即“灰色關聯(lián)度”，作為衡量因素間關聯(lián)程度的一種方法。
典型相關分析法：是對互協(xié)方差矩陣的一種理解，是利用綜合變量對之間的相關關系來反映兩組指標之間的整體相關性的多元統(tǒng)計分析方法。它的基本原理是：為了從總體上把握兩組指標之間的相關關系，分別在兩組變量中提取有代表性的兩個綜合變量U1和V1（分別為兩個變量組中各變量的線性組合），利用這兩個綜合變量之間的相關關系來反映兩組指標之間的整體相關性。
主成分分析法（降維）
是一種統(tǒng)計方法。通過正交變換將一組可能存在相關性的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關的變量，轉(zhuǎn)換后的這組變量叫主成分。在用統(tǒng)計分析方法研究多變量的課題時，變量個數(shù)太多就會增加課題的復雜性。人們自然希望變量個數(shù)較少而得到的信息較多。在很多情形，變量之間是有一定的相關關系的，當兩個變量之間有一定相關關系時，可以解釋為這兩個變量反映此課題的信息有一定的重疊。主成分分析是對于原先提出的所有變量，將重復的變量（關系緊密的變量）刪去多余，建立盡可能少的新變量，使得這些新變量是兩兩不相關的，而且這些新變量在反映課題的信息方面盡可能保持原有的信息。設法將原來變量重新組合成一組新的互相無關的幾個綜合變量，同時根據(jù)實際需要從中可以取出幾個較少的綜合變量盡可能多地反映原來變量的信息的統(tǒng)計方法叫做主成分分析或稱主分量分析，也是數(shù)學上用來降維的一種方法。
因子分析法（降維）
因子分析是指研究從變量群中提取共性因子的統(tǒng)計技術。最早由英國心理學家C.E.斯皮爾曼提出。他發(fā)現(xiàn)學生的各科成績之間存在著一定的相關性，一科成績好的學生，往往其他各科成績也比較好，從而推想是否存在某些潛在的共性因子，或稱某些一般智力條件影響著學生的學習成績。因子分析可在許多變量中找出隱藏的具有代表性的因子。將相同本質(zhì)的變量歸入一個因子，可減少變量的數(shù)目，還可檢驗變量間關系的假設。
BP神經(jīng)網(wǎng)絡綜合評價法
是一種按誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ㄓ柧毜亩鄬忧梆伨W(wǎng)絡，是應用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡模型之一。BP網(wǎng)絡能學習和存貯大量的輸入-輸出模式映射關系，而無需事前揭示描述這種映射關系的數(shù)學方程。它的學習規(guī)則是使用最速下降法，通過反向傳播來不斷調(diào)整網(wǎng)絡的權值和閾值，使網(wǎng)絡的誤差平方和最小。BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型拓撲結(jié)構包括輸入層（input）、隱層(hide layer)和輸出層(output layer)。
4 建模資料
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