樣本均值是總體均值無偏估計的證明很簡單：

我們看到，對于樣本均值求期望（令n趨于無窮大），就是總體均值，所以是無偏估計，也就是說，如果令樣本容量無限大的時候，樣本的某個統(tǒng)計量就等于總體的這個統(tǒng)計量，這種情況就是無偏估計。

另外，中心極限定理表明：

也就是說，多個不同樣本的均值會圍繞總體均值呈現(xiàn)正態(tài)分布，這也應(yīng)該是無偏估計的一個特征。如圖1和圖2所示。

比如，測量全國高中學(xué)生的身高，可以通過抽取若干個學(xué)校的高中生的身高來估計全國高中生的平均身高，那么，不同學(xué)校的學(xué)生的平均身高應(yīng)該圍繞全國學(xué)生的平均身高呈現(xiàn)正態(tài)分布，也就是說，不同學(xué)校的學(xué)生的平均身高就是全國學(xué)生的平均身高的一個無偏估計。

再看有偏估計：

圖3

從圖3和圖4可以看出，當(dāng)用樣本方差

來估計總體方差

的時候，即使n為無窮大，兩者之間還是存在著誤差

從圖4可以看出，其原因就是樣本均值不等于總體均值。

因此，可以總結(jié)如下：

當(dāng)用樣本統(tǒng)計量去估計某個總體統(tǒng)計量的時候，如果樣本無窮大的時候兩者相等，就是無偏估計，不等的時候就是有偏估計。