此為本系列的第一篇，日后不定期更新，第一次寫這方面的東西，表述可能不太清楚甚至有誤，見諒

本文閱讀難度較小，讀者只需要學(xué)習(xí)過初中平面幾何并且看得懂文字就可以輕松理解內(nèi)容

幾何無王者之道 —— 歐幾里得

????????????????????????????????????????????????? ? ? ? 定義

定義1.平面上，與一定點(diǎn)、一定直線的距離相等的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡，是拋物線(Parabola)

定義2.這個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)(Focus)

定義3.這個(gè)定直線叫做準(zhǔn)線(Directrix)

定義4.一條曲線關(guān)于一條直線軸對(duì)稱，這條直線叫做曲線的軸(Axis of symmetry)

定義5.曲線與它的軸的交點(diǎn)叫做頂點(diǎn)(Vertex)

定義5.一條曲線上，連接任意兩點(diǎn)構(gòu)造的直線叫做弦(Chord)

定義6.通過焦點(diǎn)的弦叫做焦點(diǎn)弦(Focus chord)

定義7.如果拋物線上兩點(diǎn)軸對(duì)稱，且兩點(diǎn)的連線經(jīng)過焦點(diǎn)，那么這個(gè)線段叫做正焦弦(Latus rectum)(亦稱通徑)

????????????????????????????????????????????????????? ?命題

命題1.三角形任一外角平分線外分對(duì)邊成兩線段，這兩條線段和夾相應(yīng)的內(nèi)角的兩邊成比例

如圖，BE為△ABC外角的角平分線，那么有(AB / BC) = (AD / CD)

證明：

設(shè)∠CBD為α，∠ABC為β，∠CEB為θ

在△CBE中，由正弦定理得：

????(sinα / sinθ) = (CE / BC)

同理 [sin(α+β)?/ sinθ]?=?(AE / AB)

不難得出 sin(α+β) =?sinα

因此 (CE / BC) = (AE / AB)

整理得：

? ??(AB / BC) = (AE?/ CE)

證畢

此命題逆命題同樣成立

命題2.一拋物線上，一弦的延長(zhǎng)線交于準(zhǔn)線一點(diǎn)，連接此交點(diǎn)與此拋物線焦點(diǎn)，連接線段所在的射線平分關(guān)于弦的兩端點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外角

如圖，拋物線上有一弦HF（圖中在動(dòng)的點(diǎn)為H），其延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于點(diǎn)I，拋物線焦點(diǎn)為E，F(xiàn)E延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)G，線段EI所在的射線平分外角∠GEH

證明：

過點(diǎn)F、H分別作準(zhǔn)線垂線FJ、HK

容易證明△KHI∽△JFI

因此有：

????(IH / IF) = (KH / JF)

又因?yàn)?HE = KH，F(xiàn)E = JF（定義1）

因此：

????(IH / IF) = (HE / FE)

所以EI所在的射線平分∠GEH（命題1）

命題3.一條拋物線的正焦弦長(zhǎng)度是此拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的4倍

如圖，頂點(diǎn)記為H,則有FG = 4HE

證明：

過F作準(zhǔn)線垂線交于I

容易證明四邊形IOEF為正方形

則?

????OE = EF

因?yàn)?EH = OH，EH + OH = OE

因此，OE = 2HE = EF

又因?yàn)镕E = EG（命題7）FE + EG = FG

因此，F(xiàn)G = 2FE = 4HE

證畢

命題4.一拋物線上一點(diǎn)，作這條拋物線的切線，切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的線段、切點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的線段所在的兩條射線的夾角為90°

證明：

仍然用命題2的圖，可以看到圖中運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)不斷靠近另一點(diǎn)時(shí)，外角也不斷逼近180°

那么，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與“定點(diǎn)”的距離非常非常小的時(shí)候，角平分線所平分的角可以看作180°，那么命題也就成立了

如圖，在此情況下還有 GF = FE，∠GHF = ∠EHF，全等可證，這里不作贅述了

以上為本文全部?jī)?nèi)容，第一次投稿，希望多多指教