在學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候 我曾經(jīng)思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題 為什么定積分和劃分的方式無(wú)關(guān)

首先我們從陶哲軒實(shí)分析抄一些定義做準(zhǔn)備

我們先考慮有界區(qū)間上有界的函數(shù)

有界區(qū)間

??? 都是有界區(qū)間

區(qū)間長(zhǎng)度

長(zhǎng)度為

長(zhǎng)度都是?

劃分

定義有界區(qū)間 上的劃分?其中?都是有界區(qū)間

而且??

對(duì) ?作數(shù)學(xué)歸納可以很容易證明?

引理:有界區(qū)間的交集還是有界區(qū)間

很容易證明 窮舉就完事了

上黎曼積分是上黎曼和的下確界

首先這個(gè)定義是沒(méi)有問(wèn)題的 因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=f(x)" alt="f(x)">有下界??就有下界?

有下界那一定有下確界

同理可以給出下黎曼積分?

如果函數(shù)的下黎曼積分等于上黎曼積分 那么就是黎曼可積的

首先閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的上黎曼積分和劃分方式是無(wú)關(guān)的

引理?假設(shè)?是一個(gè)劃分序列 而且??是比?嚴(yán)格精細(xì)的劃分

這里我指的嚴(yán)格精細(xì) 意思就是?? 中的每一個(gè) 都滿足?

那么可以證明?

我不知道我這個(gè)條件是不是給的有點(diǎn)太充分了 留給以后思考吧

先證明右邊收斂

如果令??那么 一定是單調(diào)減的

這個(gè)可以把?的劃分按照?的方式去拆解 然后作差證明得到，因?yàn)樽蛹纳洗_界一定小于父集合的上確界

單調(diào)有界 因此一定收斂

再證明上黎曼積分等于?

我們?nèi)稳∫粋€(gè)劃分, 然后把和 中的有界區(qū)間作交集得到更精細(xì)的劃分?

記?

同理可以倒倒? 而且?

但是如果?一致收斂那么 ?就很有意思了

很容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們?nèi)ヌ滓恢率諗康亩x，如果對(duì)的?就有?

也就是說(shuō)?

首先我的劃分集合是劃分的子集，所以的下確界一定大于等于它的父集合的下確界

又因?yàn)槲以诟讣现姓胰我庖粋€(gè) 它的上黎曼和大于等于 的極限 所以 極限也是上黎曼和的下界, 所以上黎曼和的下確界大于等于? 極限

所以對(duì)于一致連續(xù)的函數(shù) 不管是怎么一個(gè)序列 只要是嚴(yán)格的更精細(xì)化分 它的上黎曼和的極限一定等于上黎曼積分

一致連續(xù)函數(shù)在有界區(qū)間上黎曼可積

還是同樣的思路, 我考慮一個(gè)嚴(yán)格精細(xì)劃分序列?用來(lái)求上黎曼積分和下黎曼積分

我記對(duì)應(yīng)的上黎分和序列和下黎曼和序列分別為?和 同樣也發(fā)現(xiàn)只要 取得足夠大都可以有??

所以這兩個(gè)數(shù)列的極限是相等的 所以一定黎曼可積