我不應(yīng)該發(fā)視頻的，應(yīng)該寫(xiě)個(gè)專欄……

——————————————————— 1-函數(shù)

三角函數(shù)：

sin x, cos x, tan x, cot x=1/tan x, sec x=1/cos x, csc x=1/sin x. 反三角函數(shù)：

arc xxx（例：若t=sin θ，則arcsin t=θ） 二倍角公式：

sin2x=2·sinx·cosx cos2x=cos2x-sin2x＝2cos2x-1=1-2sin2x 萬(wàn)能公式（設(shè)t＝tan(x/2)）

sinx=2t/(1+t2)； cosx=(1-t2)/(1+t2) tanx=2t/(1-t2)

——————————————————— 2-極限

↗≠0，除法法則 分母 ↗≠0，取倒數(shù)→∞ ↘＝0，看分子 ↘＝0，因式分解，約去零因子 重要極限

lim(x→0) sinx/x＝1 lim(x→0)tanx/x＝1 lim(x→0)(1-cosx)/?x2＝1 lim(x→∞)（1+1/x）?＝e lim(x→∞)（1-1/x）?＝e?1 lim(x→0)（1+x）1/?＝e 高階無(wú)窮小：

limβ/α＝0，β＝o（α） 等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

limβ/α＝1，β~α （充要條件：β＝α+o(α)） △乘除用，加減不用 sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x e?-1~x ln(1+x)~x (1+x)?-1~nx 連續(xù)（一筆畫(huà)）

條件：f（x）在x?處有定義，lim（x→x?）f（x）存在且＝f（x?） 可導(dǎo)（光滑曲線）

上圖不可導(dǎo)，求證如下

間斷點(diǎn)（分為兩大類）

第一類間斷點(diǎn)（存在左右極限）↗①可去間斷點(diǎn)：x?為間斷點(diǎn)，但lim（x→x?）f（x）存在 ↘②跳躍間斷點(diǎn)：x?處左右極限存在但不相等 第二類間斷點(diǎn)（左右極限至少一個(gè)不存在）↗①無(wú)窮間斷點(diǎn)：x?是間斷點(diǎn)，且lim（x→x?±）f（x）＝∞ ↘②振蕩間斷點(diǎn)：在某范圍無(wú)限次振蕩，且不趨于某一固定值 零點(diǎn)定理：

如果f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)（f(a)·f(b)＜0），那么至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b）使得f（ξ）=0。 ——————————————————— 3-導(dǎo)數(shù)

☆可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)

導(dǎo)數(shù)幾何意義

切線：y-f（x?）=（x-x?）·f'（x?） 法線：y-f（x?）=-（x-x?）/f'（x?） 求導(dǎo)法則：

[u（x）±v（x）]'=u'（x）±v'（x） [u（x）v（x）]'=u'（x）v（x）+u（x）v'（x） [u（x）/v（x）]'=[u'（x）v（x）-u（x）v'（x）]/v2（x） [Cv（x）]'=Cv'（x）（C為常數(shù)） 反函數(shù)求導(dǎo)法則：

f'（x）＝1/g'（y）或 dy/dx=1/（dx/dy） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

y=f[φ（x）]， 設(shè)φ（x）=u，則y＝f（u），u=φ（x） ∴y'=f'（u）·φ'（x） （鏈?zhǔn)椒▌t。內(nèi)外皆導(dǎo)為復(fù)合） ☆求導(dǎo)公式

（arc導(dǎo)記憶：sin減根tan加co反） 高階導(dǎo)數(shù)

（0）[Cv（x）]???=C·v???（x） （1）[u(x)±v(x)]???=u???(x)±v???(x) （2）[u(x)v(x)]???=

（2）為

萊布尼茨公式

，它的形式與二項(xiàng)式定理類似。 ☆隱函數(shù)

△隱函數(shù)中，求x導(dǎo)時(shí)務(wù)必將y看做是x的方程，即y要求導(dǎo)，導(dǎo)后另加y'（dy/dx）便可 例：x-y+siny=0求導(dǎo) 答：方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)（這句不能省略?。?，得 1-dy/dx+cosy·dy/dx=0 dy/dx=1/（1-cosy） ☆參數(shù)方程

有一個(gè)參 /x＝φ（t） 數(shù)方程： \y=ψ（t） 求導(dǎo)時(shí)把t代入其中， y'=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dot)=ψ'(t)/φ'(t) *若是求參數(shù)方程二階導(dǎo)數(shù)， 則將一階導(dǎo)數(shù)dy/dx=ψ'(t)/φ'(t)對(duì)t求導(dǎo)， 再乘以1/φ'（t）（這一步勿忘） ——————————————————— 4-微分

記住dy＝f'（x）dx （記住?dx） 微分公式：

（和求導(dǎo)公式幾乎一樣） 函數(shù)和差積商微分法則

復(fù)合函數(shù)微分法則

有y=f（u）及u=φ（x）都可微，則y=f[φ（x）]的微分為 dy=y'dx=f'[φ（x）]φ'（x）dx 即dy=f'（u）du ——————————————————— 5-中值定理

相同前提條件：①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；②在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo) 羅爾定理

f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a）=0/（b-a）=0 （f(b)=f(a)） 拉格朗日中值定理

f(b)-f(a)=f'(ξ)（b-a）或?qū)懗?f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a） （類似于點(diǎn)斜式） 柯西中值定理

f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]（g(ξ)≠0） 關(guān)聯(lián)法：比拉格朗日中值定理多個(gè)g(ξ) 即f'(ξ)/g'(ξ)=〔[（f(b)-f(a)）/（b-a）]/[（g(b)-g(a)）/（b-a）]〕=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]（g(ξ)≠0）

（簡(jiǎn)圖） 拉格朗日中值定理可推出

有限增量公式

△y=f'(x?+θ△x)·△x （0＜θ＜1） 拉格朗日中值定理

推論

： ①若函數(shù)f（x）在區(qū)間I上導(dǎo)數(shù)恒為零，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)。 ②若f（x）和g（x）在區(qū)間I上只相差一個(gè)常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)C，使得f（x）=g（x）+C。 ——————————————————— 5.1-洛必達(dá)法則

（一）0/0型和∞/∞型

設(shè)f（x）和g（x）在點(diǎn)x?的某一去心鄰域內(nèi)有定義，且滿足下列條件： （1）lim（x→x?）f（x）=0，lim（x→x?）g（x）=0（或∞）； （2）f'（x）和g'（x）都存在，且g'（x）≠0； （3）lim（x→x?）[f'(x)/g'(x)]=A（或∞）， 那么 lim（x→x?）[f(x)/g(x)]= lim（x→x?）[f'(x)/g'(x)] 注意：上述為充分不必要條件！ 遇到lim（x→x?或x→∞）[f'(x)/g'(x)]不存在且不為∞時(shí)，不能斷定lim（x→x?或x→∞）[f(x)/g(x)]也不存在， 即求導(dǎo)后無(wú)極限，不代表導(dǎo)前無(wú)極限。 （記：小明沒(méi)有孩子，不代表小明爸爸沒(méi)有孩子） ***每一步都需要校驗(yàn)，別盲目洛。 ***洛必達(dá)法則與重要極限與等價(jià)無(wú)窮小配合使用 （二）其他型

①0·∞型

②∞-∞型

③0?型

④1的∞次方型

⑤∞?型

（讀者導(dǎo)圖） 次方型（③④⑤）取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為0·∞型； 0·∞型取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為（一）； ∞-∞型通分轉(zhuǎn)化為（一）。 例子略。 ——————————————————— 5.2單調(diào)性&極值&最值&凹凸性

單調(diào)性&極值&最值在高中數(shù)學(xué)學(xué)過(guò)，簡(jiǎn)略帶過(guò)。 單調(diào)性判別法：

找駐點(diǎn)（f'(x)=0）&不可導(dǎo)點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)不存在）并求出。 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)（如下圖-省略x0y-x?不是極值點(diǎn)）

導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)可能是極值點(diǎn)（如下圖-省略x0y）

記憶方法如下圖：

求極值點(diǎn)和極值步驟 ①確定定義域，求導(dǎo) ②找出駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn) ③分區(qū)域，確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)（列表） ④確定極值 極值第二充分條件

設(shè)f(x)在x?處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f'(x)=0,f''(x)≠0， （1）若f''(x)＜0，那么f(x)在x?處取極大值； （2）若f''(x)＞0，那么f(x)在x?處取極小值。 （記：物極必反） 最值只能在極值點(diǎn)和端點(diǎn)找到。 凹凸性

定理：設(shè)f（x）閉區(qū)間連續(xù)，開(kāi)區(qū)間可一、二階導(dǎo)， （1）若在開(kāi)區(qū)間內(nèi)f''(x)＞0，那么曲線弧y=f（x）在閉區(qū)間上是凹的； （2）若在開(kāi)區(qū)間內(nèi)f''(x)＜0，那么曲線弧y=f（x）在閉區(qū)間上是凸的。 （物極必反） y=f（x）上凹部和凸部的分界點(diǎn)，稱為曲線y=f（x）的拐點(diǎn)（拐點(diǎn)是點(diǎn)）。

步驟 1確定f（x）連續(xù)區(qū)間，求一、二階導(dǎo)； 2求二階導(dǎo)=0及二階導(dǎo)不存在的所有點(diǎn)； 3分區(qū)間討論正負(fù)； 4判斷凹凸性，求拐點(diǎn)。 記：極值點(diǎn)-一階導(dǎo)；拐點(diǎn)-二階導(dǎo)。 ——————————————————— *未考研，泰勒公式暫時(shí)不做考慮，見(jiàn)諒。

——————————————————— 6-不定積分

∫F(x)dx=f(x)+C （C為任意常數(shù)） ∫：積分號(hào)； F(x)：被積函數(shù)；dx：積分變量 F(x)和dx和為被積表達(dá)式。 ***F(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)，稱為F(x)的不定積分（注意：

C勿忘添加！

） 基本積分表

換元積分法

第一換元積分法（湊微分法）（“拿進(jìn)法”） ①把d外邊的某項(xiàng)拿進(jìn)d內(nèi)（變成原函數(shù)） ②湊成基本積分公式 ③注意，d里面的項(xiàng)可隨意加減常數(shù)（C），如dx2可變?yōu)閐x2-1、dx2+3等。 過(guò)程：∫g(x)dx=（恒等變形） ∫f[φ(x)]φ'(x)dx=（湊微分） ∫f[φ(x)]dφ(x)=（令φ(x)=u） ∫f(u)du=（若F'(u)=f(u)） F(u)+C=（回收u=φ(x)） F[φ(x)]+C 第二換元積分法（“換元法”）

被積函數(shù)含有 ①?√（ax+b）、②√（a2-x2）、③√（x2+a2）、④√（x2-a2）、⑤較高分母階 時(shí)可以采用第二換元積分法。 ①設(shè)x=t?換元（n取最小公倍數(shù)）； ②設(shè)x=asint；③設(shè)x=atant；④設(shè)x=asect （②③④可以自行運(yùn)用三角函數(shù)輔助做題&驗(yàn)證） ⑤采用倒代換，x=1/t 分部積分法

作用：逐步化簡(jiǎn)，產(chǎn)生循環(huán)，建立遞推公式。 前提：∫uv'dx難求，∫u'vdx易求。 優(yōu)先：反對(duì)冪指三 ∵（uv）'=u'v+uv'，uv'=（uv）'-u'v ∴∫uv'dx=uv-∫u'vdx或 ∫udv=uv-∫vdu（相乘-交換） 有理函數(shù)與有理函數(shù)的不定積分

有理函數(shù)部分不再贅述。 有理函數(shù)的不定積分

類型

： （1）分母含有因式（x-a）?，則分解為 A1/(x-a)+A2/(x-a)2+...+Ak/(x-a)? （2）分母含有因式（x2+px+q）?，其中p2-4q＜0，則分解為 (M1x+N1)/(x2+px+q)+(M2x+N2)/(x2+px+q)2+...+(Mkx+Nk)/(x2+px+q)?（Mk,Nk都是常數(shù)） 三角函數(shù)有理式的不定積分

萬(wàn)能代換t=tan（x/2），

再使用萬(wàn)能公式即可。 萬(wàn)能公式（設(shè)t＝tan(x/2)）：

sinx=2t/(1+t2)；cosx=(1-t2)/(1+t2)；tanx=2t/(1-t2)