2023廣東中考最后一題居然考察到了簡單的三角函數(shù)恒等變換。下面用最簡單的方法直線思維從已知條件到結(jié)果求解（幾乎不做輔助線）：

鋪墊：

對于任意角θ，恒有(sinθ)^2+(cosθ)^2=1

角的正切函數(shù)恒有：tanθ=sinθ/cosθ

解答：

(1)22.5°（△OCF≌△OAE，∠EOF=45°）

(2)過A做x軸垂線AH交x軸于H

則：∠AOH=∠FOH-∠FOA=90°-∠FOA=∠COA-∠FOA=∠FOC

又有∠OCF=∠OHA=90°

?△OCF∽△OHA

?FC/AH=OC/OH

?FC=AH*OC/OH=AH*OA/OH=3*√(3^2+4^2)/4=15/4

(3)不失一般性，令OA=OC=1，設(shè)AO與x軸正半軸的夾角為θ

則：A(cosθ,sinθ)

∠COF=90°-∠FOE=θ

則：C(-sinθ,cosθ)

由(2)中的結(jié)論，F(xiàn)C=AH*OA/OH=sinθ*1/cosθ=tanθ

OF=√(OC^2+CF^2)=√(1^2+(tanθ)^2)=1/cosθ

則：F(0,1/cosθ)

接下來求點(diǎn)N的坐標(biāo)：

AC的方程：y-sinθ=(cosθ-sinθ)/(-sinθ-cosθ)*(x-cosθ)

OE的方程：y=x

聯(lián)立解得：

x=1/(2cos(θ))

y=1/(2cos(θ))

則：N(1/cos(2θ),1/cos(2θ))

則：S=S1-S2=1/2*OF*xN-1/2*OC*CF

=1/2*1/cosθ*1/(2cos(θ))-1/2*1*tanθ

=1/(4(cosθ)^2)-1/2*tanθ

有了θ與S的關(guān)系，但題目已知條件為n，所以還需要求出θ與n的關(guān)系：

AN的距離為：

√((cosθ-1/(2cosθ))^2+(sinθ-1/(2cosθ))^2)=n

兩邊平方并化簡得：

1/(2(cosθ)^2)-tanθ=n^2

所以S=1/(4(cosθ)^2)-1/2*tanθ=n^2/2

關(guān)于此題的討論：

廣東中考對于三角函數(shù)的一些計(jì)算已經(jīng)達(dá)到了熟練要求的程度。這已經(jīng)超過以前數(shù)學(xué)競賽的要求了，但學(xué)生別無選擇只能掌握。