五、V.Pan 發(fā)現(xiàn)一種方法，可以用 132 464 次乘法操作完成 68 x 68 的矩陣相乘，發(fā)現(xiàn)另一種方法，可以用 143 640 次乘法操作完成 70 x 70 的矩陣相乘，還發(fā)現(xiàn)一種方法，可以用155 424次乘法操作完成 72 x 72 的矩陣相乘。當(dāng)用于矩陣相乘的分治算法時(shí)，上述哪種方法會(huì)得到最佳的漸近運(yùn)行時(shí)間?與 Strassen 算法相比，性能如何?

文心一言：

由于矩陣相乘的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n ^ 3)，因此分治算法的時(shí)間復(fù)雜度也為 O(n ^ 3)。因此，這些方法的時(shí)間復(fù)雜度都相同，都是 O(n^3)。

與 Strassen 算法相比，這些方法的性能可能會(huì)較差。Strassen 算法可以在 7 x 7 的矩陣相乘中完成 28 次乘法操作，而在 8 x 8 的矩陣相乘中完成 56 次乘法操作。因此，Strassen 算法的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n^2)，比分治算法要快。

但是，Strassen 算法的推廣并不容易，因此它只適用于小型矩陣相乘問(wèn)題。對(duì)于大型矩陣相乘問(wèn)題，分治算法仍然是廣泛使用的算法之一。

訊飛星火：

為了比較這三種方法的性能，我們可以計(jì)算它們?cè)趫?zhí)行矩陣相乘時(shí)所需的時(shí)間。對(duì)于較小的矩陣，使用分治算法通常比使用 Strassen 算法更高效。因此，我們可以先計(jì)算出 V. Pan 發(fā)現(xiàn)的三種方法在執(zhí)行 68 x 68、70 x 70 和 72 x 72 矩陣相乘時(shí)的漸近運(yùn)行時(shí)間。然后，我們將這些時(shí)間與 Strassen 算法的時(shí)間進(jìn)行比較。V. Pan 發(fā)現(xiàn)的方法：

132464次乘法操作完成68x68矩陣相乘：T(n) = O(n^3)

143640次乘法操作完成70x70矩陣相乘：T(n) = O(n^3)

155424次乘法操作完成72x72矩陣相乘：T(n) = O(n^3)Strassen 算法：

132464次乘法操作完成68x68矩陣相乘：T(n) = O(n^log_2(n)) = O(n^0.959)

143640次乘法操作完成70x70矩陣相乘：T(n) = O(n^log_2(n)) = O(n^0.959)

155424次乘法操作完成72x72矩陣相乘：T(n) = O(n^log_2(n)) = O(n^0.959)從上面的計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)用于矩陣相乘的分治算法時(shí)，上述哪種方法會(huì)得到最佳的漸近運(yùn)行時(shí)間？答案是 V. Pan 發(fā)現(xiàn)的三種方法。與 Strassen 算法相比，它們的性能略低，但仍然非常高效。

華為盤(pán)古：

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，V.Pan 使用了一種迭代算法，其中每一步都使用 132 464 次乘法操作，因此可以很快地找到漸近運(yùn)行時(shí)間。

對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，V.Pan 使用了一種分治算法，其中每一步都使用 143 640 次乘法操作，因此可以更快地找到漸近運(yùn)行時(shí)間。

對(duì)于第三個(gè)問(wèn)題，V.Pan 使用了一種并行算法，其中每一步都使用 155 424 次乘法操作，因此可以更快地找到漸近運(yùn)行時(shí)間。

在漸近運(yùn)行時(shí)間方面，V.Pan 算法的性能與 Strassen 算法相當(dāng)，甚至稍?xún)?yōu)于 Strassen 算法。這是因?yàn)?V.Pan 算法在每一步上都比 Strassen 算法花費(fèi)更少的時(shí)間，因此總運(yùn)行時(shí)間可能會(huì)更短。

綜上所述，使用 132 464 次乘法操作完成 68 x 68 的矩陣相乘，使用 143 640 次乘法操作完成 70 x 70 的矩陣相乘，以及使用 155 424 次乘法操作完成 72 x 72 的矩陣相乘，都可以在不同的時(shí)間復(fù)雜度下找到漸近運(yùn)行時(shí)間。在選擇算法時(shí)，需要考慮任務(wù)的規(guī)模、精度和時(shí)間要求等因素，以選擇最適合的算法。

chatglm：

根據(jù)分治算法的基本思想，將復(fù)雜的問(wèn)題分成多個(gè)子問(wèn)題，并且每個(gè)子問(wèn)題的解法是相對(duì)簡(jiǎn)單的。在這種情況下，Pan 的方法將矩陣相乘問(wèn)題分成了三個(gè)子問(wèn)題，而 Strassen 算法將矩陣相乘問(wèn)題分成了五個(gè)子問(wèn)題。

由于 Pan 的方法需要更少的乘法操作，因此它在分治算法中可能會(huì)得到更好的漸近運(yùn)行時(shí)間。然而，Strassen 算法在理論上具有更好的性能，因?yàn)樗梢詫?wèn)題分成更多的子問(wèn)題，并且每個(gè)子問(wèn)題的解法更加簡(jiǎn)單。

總的來(lái)說(shuō)，Pan 的方法和 Strassen 算法在矩陣相乘問(wèn)題上都具有一定的優(yōu)點(diǎn)和局限性，具體哪種方法最佳取決于具體問(wèn)題的規(guī)模和復(fù)雜度。此外，與 Strassen 算法相比，Pan 的方法可能需要更多的計(jì)算量和存儲(chǔ)空間，因此需要權(quán)衡各種因素來(lái)選擇合適的算法。

chatgpt：

對(duì)于矩陣相乘的分治算法，通常會(huì)采用 Strassen 算法，其時(shí)間復(fù)雜度為 $O(n^{\log_2 7}) \approx O(n^{2.81})$。

在上述三種方法中，第一種方法可以完成 68 x 68 的矩陣相乘，需要進(jìn)行 132464 次乘法操作，平均每個(gè)元素需要進(jìn)行 $\frac{132464}{68^3}\approx 0.00053$ 次乘法操作。第二種方法可以完成 70 x 70 的矩陣相乘，需要進(jìn)行 143640 次乘法操作，平均每個(gè)元素需要進(jìn)行 $\frac{143640}{70^3}\approx 0.0005$ 次乘法操作。第三種方法可以完成 72 x 72 的矩陣相乘，需要進(jìn)行 155424 次乘法操作，平均每個(gè)元素需要進(jìn)行 $\frac{155424}{72^3}\approx 0.00049$ 次乘法操作。

因此，第三種方法的運(yùn)行效率最好，平均每個(gè)元素需要進(jìn)行最少的乘法操作。然而，這些方法的運(yùn)行時(shí)間和 Strassen 算法相比仍然較差。根據(jù) Strassen 算法的時(shí)間復(fù)雜度，當(dāng)矩陣大小 $n\geqslant 2^{k}$ 時(shí)，其時(shí)間復(fù)雜度為 $O(n^{k})$，其中 $k=\log_2 7 \approx 2.81$。因此，當(dāng)矩陣較大時(shí)，Strassen 算法的性能將遠(yuǎn)優(yōu)于這三種方法。

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