二維旋轉(zhuǎn)

3D 旋轉(zhuǎn)

1.兩個旋轉(zhuǎn)矩陣的合成R1R2還是一個旋轉(zhuǎn)矩陣

2.一般R1R2≠R2R1

行列式det ( R ) = 1檢測(?)=1個對于所有旋轉(zhuǎn)矩陣。

1. 旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置是它的逆矩陣：R噸=R? 1?噸=??1個， 或者RR噸=R噸R =我??噸=?噸?=我.

2. 向量范數(shù)在旋轉(zhuǎn)下是不變的。

第 1 步：計算三個點的法向量

一步是計算任意系統(tǒng)和控制系統(tǒng)中由三點形成的平面的法向量。法向量，n, 被定義為垂直于平面的矢量，如圖C-11a所示。它可以通過使用等式計算。(C-44)，點 1 到點 2 的向量 ( p 12 ) 與點 1 到點 3 的向量 ( p 13 ) 的叉積。法向量相對于原點的分量如圖C-11b所示。

為了獲得最佳結(jié)果，應(yīng)選擇用于計算法向量的三個點，以便它們具有三點所有可能組合中最強的幾何配置。這可以通過選擇最不共線的三個點來實現(xiàn)。最不共線的點是那些形成具有最大高度h 的三角形的點，h是從最長邊到不在該邊的點的垂直距離。這在圖 C-12中進行了說明。高度的平方公式——其中a是三角形最長邊的長度——如方程式 1 所示。（C-45）。

(C-45)

圖 C-12由三個點組成的三角形的高度h

第 2 步：使用法向量計算傾斜和方位角

法向量從任意坐標(biāo)和控制坐標(biāo)的傾斜度是它們與垂直方向（即負(fù)z軸）的角度的大小。法向量的方位角是它投影到x - y平面上的方位角。這些角度的值可以使用方程式計算。(C-46)和(C-47)來自圖C-11b所示的法向量的分量。請注意，方程式中必須使用整圓反正切。(C-47)以獲得適當(dāng)?shù)南笙蕖?/p>

(C-46)

(C-47)

第 3 步：旋轉(zhuǎn)兩個系統(tǒng)中的點

對于任意坐標(biāo)系和控制坐標(biāo)系，形成旋轉(zhuǎn)矩陣，其中傾斜和方位角是在步驟 2 中計算的那些，擺動設(shè)置為零。方程式 (D-28)可用于執(zhí)行此操作。然后可以將這些矩陣應(yīng)用于兩個系統(tǒng)中的兩個點，導(dǎo)致點之間的線是水平的，即具有相等的z值。

第 4 步：計算公共線的擺動

使用步驟 3 中的旋轉(zhuǎn)點計算旋轉(zhuǎn)線的方位角。這些線的方位角差是將旋轉(zhuǎn)的任意系統(tǒng)與旋轉(zhuǎn)的控制系統(tǒng)對齊所需的擺動。這個中間擺動是使用等式計算的。(C-48)。

(C-48)

第 5 步：將兩個傾斜角、兩個方位角和一個擺動組合成一個旋轉(zhuǎn)矩陣以獲得 Omega、Phi 和 Kappa

使用步驟 3 中任意系統(tǒng)的傾斜和方位角以及在步驟 4 中找到的擺動形成旋轉(zhuǎn)矩陣 M a。同樣，在步驟 3 中找到的控制系統(tǒng)的傾斜和方位角（擺動設(shè)置為零）用于形成M c。為了形成整體旋轉(zhuǎn)矩陣，我們將M c乘以M a的轉(zhuǎn)置，如等式 1 所示。(C-49)。

(C-49)

然后可以使用第 1 節(jié)中描述的方法從M中獲得旋轉(zhuǎn)參數(shù) omega、phi 和 kappa 。D-10。

示例 C-4

需要初始近似來求解從近距離立體模型到物體空間系統(tǒng)的 3D 共形坐標(biāo)變換。給定以下控制和任意坐標(biāo)，找到所有七個變換參數(shù)的初始近似值：

Point

(Control) X, m

(Control) Y, m

(Control) Z, m

(Arbitrary) x, mm

(Arbitrary) y, mm

(Arbitrary) z, mm

101

620,466.563

96,132.223

7.050

–89.956

22.278

–80.038

102

620,447.868

96,128.214

7.669

–91.672

26.623

–16.375

103

620,450.483

96,110.658

5.331

–33.237

15.477

–10.528

104

620,460.222

96,155.033

6.250

–168.921

24.411

–77.641

解決方案可以使用以下步驟找到轉(zhuǎn)換參數(shù)的解決方案：

步驟1：首先，方程式。(C-45)用于查找最佳幾何配置點。構(gòu)成高度最大的三角形的點是101、102和104，在控制坐標(biāo)中h = 15.303 m。因此，選擇這些點來計算變換參數(shù)的初始近似值。任意坐標(biāo)的法向量，na是使用等式找到的。（C-44）。

同樣，控制坐標(biāo)的法向量，nc , 如下：

第2步：使用等式計算每個法線矢量的傾斜和方位角。(C-46)和(C-47)：

第 3 步：使用方程式中的方法形成兩個旋轉(zhuǎn)矩陣。D-28以及在步驟 2 中找到的傾斜和方位角（擺動設(shè)置為零）。然后將矩陣應(yīng)用于兩個系統(tǒng)中的點 101 和 102，產(chǎn)生兩對點的坐標(biāo)，這些點與x - y平面水平。

任意系統(tǒng)中的第101和102點：

控制系統(tǒng)中的101和102點：

步驟4：旋轉(zhuǎn)線之間的擺動，即步驟 3 中旋轉(zhuǎn)點之間的方位角差異，使用等式計算。(C-48)。

第 5 步：旋轉(zhuǎn)矩陣M c與步驟 3 中控制坐標(biāo)上使用的相同。M a是使用步驟 2 中的傾斜a和方位角a以及步驟 4 中計算的擺動形成的。這些用于計算整體旋轉(zhuǎn)矩陣。

在第二節(jié)中描述的方法。然后使用D-11獲得ω、?和κ。

可以通過取兩個坐標(biāo)系中每對公共點之間距離的平均比率來獲得比例的近似值，這導(dǎo)致s = 0.2997。平移的近似值可以通過取平均值找到

使用所有公共點，結(jié)果T X = –620,450.008 m，T Y = 96,100.010 m，T Z = 1.185 m。

使用這些初始近似值，對變換參數(shù)的第一次迭代修正是

這些小的修正表明初始近似值非常接近最終值。

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