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【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)64】每天三道題(數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù))

2020-11-07 08:56 作者:躺坑老碧的學(xué)習(xí)瞎記  | 我要投稿

預(yù)備知識(shí):

  1. 設(shè)lim an=a,若a>0,an>0,則lim an^(1/n)=1;

  2. lim(1+1/n)^n=e.

  3. 公式:(axb)^2+(ab)^2=a^2b^2;

  4. 雙重向量積:給定空間三向量,先作其中兩個(gè)向量的向量積,再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積,那么最后的結(jié)果仍然是一向量,叫做所給三向量的雙重向量積。例如(axb)xc就是三向量ab,c的一個(gè)雙重向量積;

  5. 性質(zhì):(axb)xc是和a,b共面且垂直于c的向量;

  6. axb)xc=(acb-(bca

  7. 拉格朗日恒等式:(axb)(a'xb')=(aa')(bb')-(ab')(ba');

  8. axb)x(a'xb')=(ab,b')a'-(a,b,a')b'=(a,a',b')b-(b,a',b')a;

  9. axb,cxdexf)=(a,bd)(c,ef)-(ab,c)(d,e,f);

  10. 右手系/左手系:設(shè)有不共面的三個(gè)向量a,b,c,將它們移到同一始點(diǎn),則a,b決定一個(gè)平面,而c指向平面的一旁,將右手四指并攏與拇指分開,使四指向掌心彎曲的方向,表示從a的方向經(jīng)過小于平角的轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到b的方向,此時(shí)若拇指方向與c方向指向平面的同一旁,則稱向量組{ab,c}構(gòu)成右手系,否則稱為左手系;

  11. 直角標(biāo)架/直角坐標(biāo)系:設(shè)i,j,k是空間中以O(shè)為起點(diǎn)的三個(gè)向量,它們兩兩垂直并且都是單位向量,則O;i,j,k稱為空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的直角標(biāo)架或直角坐標(biāo)系,記為{O;ij,k};

    右手直角標(biāo)架/右手直角坐標(biāo)系:如果向量i,jk成右手系,那么{O;ij,k}稱為一個(gè)右手架標(biāo)或右手直角坐標(biāo)系;否則稱為左手直角架標(biāo)或左手直角坐標(biāo)系;

    直角坐標(biāo)系的基向量:我們把i,jk稱為該直角坐標(biāo)系的基向量;

  12. 仿射架標(biāo)/仿射坐標(biāo)系:如果我們不要求i,jk單位長(zhǎng)度且兩兩正交,只要求它們不共面,那么{O;i,j,k}稱為空間一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射架標(biāo)或仿射坐標(biāo)系;

    右手仿射架標(biāo)/右手仿射坐標(biāo)系:如果向量i,j,k成右手系,那么{O;i,jk}稱為一個(gè)右手仿射架標(biāo)或右手仿射坐標(biāo)系;否則稱為左手仿射架標(biāo)或左手直仿射坐標(biāo)系;

    仿射坐標(biāo)系的基向量:我們把i,j,k稱為該仿射坐標(biāo)系的基向量;

  13. 坐標(biāo):O;i,j,k是空間的一個(gè)仿射坐標(biāo)系(直角坐標(biāo)系),則任意一個(gè)向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk,稱(x,y,z)為向量v在該坐標(biāo)系{O;i,jk}下的坐標(biāo),記為v=(x,y,z);

    點(diǎn)的坐標(biāo):設(shè){O;i,j,k}是空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射坐標(biāo)系(直角坐標(biāo)系),規(guī)定P點(diǎn)的坐標(biāo)為向量OP的坐標(biāo),向量OP成為P點(diǎn)的定位向量或矢徑,若P點(diǎn)的坐標(biāo)為{x,y,z},記為P(x,y,z);

  14. 坐標(biāo)軸/坐標(biāo)平面/卦限:ij,k所在的直線通常成為坐標(biāo)軸或分別成為x,y,z軸,每?jī)筛鴺?biāo)軸所決定的平面稱為坐標(biāo)平面或xOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面,3個(gè)坐標(biāo)平面把空間分割成8個(gè)部分,稱為該坐標(biāo)系的8個(gè)卦限.

  15. 矩陣乘法運(yùn)算律——

    a.結(jié)合律:(AB)C=A(BC)

    b.左分配律:A(B+C)=AB+AC

    c.右分配律:(B+C)D=BD+CD

    d.若A是n級(jí)矩陣,單位矩陣為E,則有:AE=EA=A

    e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足:k(AB)=(kA)B=A(kB)

    f.可逆方陣:設(shè)A為n階方陣,若存在n階方陣B,使AB=BA=E,則稱B為A的逆方陣,而稱A為可逆方陣。

  16. 矩陣A可逆的充要條件:|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。

  17. 矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足:|AB|=|A||B|;

  18. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣,如果AB=E,那么A與B都是可逆矩陣,并且A^(-1)=B,B^(-1)=A。

  19. A的伴隨矩陣A*滿足:A*=|A|A^(-1)

  20. E(i,j)為單位矩陣i,j行對(duì)調(diào)——

    方陣A可逆,A對(duì)調(diào)i,j行成B矩陣:B=E(i,j)A

    方陣A可逆,A對(duì)調(diào)i,j列成B矩陣:B=AE(i,j)

  21. 矩陣的轉(zhuǎn)置:把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記作A',|A'|=|A|。

  22. 定義:設(shè)A為方陣,若A'=A,則稱A為對(duì)稱矩陣,若A'=-A,則稱A為反/斜對(duì)稱矩陣。

  23. 定義:如果AB=BA,則稱A與B可交換。

  24. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    (A+B)'=A'+B'

    (kA)'=kA'

    (AB)'=B'A'

  25. 定理:如果A可逆,那么A'也可逆,并且(A')^(-1)=(A^(-1))'。

參考資料:

  1. 《數(shù)學(xué)分析》(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編)

  2. 《空間解析幾何》(高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著)

  3. 《高等代數(shù)題解精粹》(錢吉林?編著)

數(shù)學(xué)分析——

例題(來(lái)自《數(shù)學(xué)分析(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編)》)——

利用lim(1+1/n)^n=e求下述極限:lim(1+1/n^2)^n.

解:

  1. (1+1/n^2)^n

    =[(1+1/n^2)^(n^2)]^(1/n);

  2. (1+1/n^2)^(n^2)>0,lim(1+1/n^2)^(n^2)=e>0;

  3. 由1,2:lim(1+1/n^2)^n=lim[(1+1/n^2)^(n^2)]^(1/n)=1.

解析幾何——

例題(來(lái)自《空間解析幾何(高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著)》)——

已知a=(a1,a2,a3),求|a|.

解:

  1. a=(a1,a2,a3),即a=a1i+a2j+a3k;

  2. |a|

    =(a^2)^(1/2)

    =[(a1i+a2j+a3k)^2]^(1/2)

    =(a1a1i^2+a1a2ij+a1a3ik+a2a1ij+a2a2j^2+a2a3jk+a3a1ik+a3a2jk+a3a3k^2)^(1/2)

    =(a1^2i^2++a2^2j^2+a3^2k^2)^(1/2)

    =(a1^2++a2^2+a3^2)^(1/2),即向量的長(zhǎng)度等于它的坐標(biāo)的平方和的平方根。

高等代數(shù)——

例題(來(lái)自《高等代數(shù)題解精粹(錢吉林?編著)》)——

已知矩陣A,B,且2A^(-1)B=B-4E,證明:矩陣A-2E可逆.

證:

  1. 2A^(-1)B=B-4E,

    則2B=AB-4A;

  2. (A-2E)(B-4E)=8E,

    即(A-2E)(B-4E)/8=E;

  3. 矩陣A-2E可逆,(A-2E)^(-1)=(B-4E)/8.

到這里!


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