手動(dòng)開(kāi)平方
話題：#數(shù)學(xué)# #算術(shù)#
小石頭/文
大家在小學(xué)數(shù)學(xué)中一定都學(xué)過(guò)四則運(yùn)算的計(jì)算方法，但是說(shuō)到平方根計(jì)算方法，大家就不一定知道了。
實(shí)際上，早在秦朝，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，用算籌開(kāi)平方的方法，這被記載在 《九章算術(shù)》中。后來(lái)，魏晉大數(shù)學(xué)家 劉徽，還在用 一張圖（見(jiàn)圖1）給出了 開(kāi)平方的原理。
接下來(lái)，就讓小石頭 把 手動(dòng)開(kāi)平方的方法 介紹給大家。
■ 問(wèn)題：設(shè) A 是一個(gè)正整數(shù)，求 A的帶余數(shù)平方根，即，求滿足，
A = a2 + r (r ≥ 0)
的 整數(shù) a 和 r ，a 取最大值 。
● 當(dāng) A較小 時(shí)，我們可以從1開(kāi)始，通過(guò)不斷嘗試，找到滿足，
a2≤A＜(a+1)2
的正整數(shù) a，就是所求平方根，然后計(jì)算出余數(shù)，
r = A - a2? ①
● 當(dāng)A較大時(shí)，用①方法，效率低下，這時(shí)可以考慮將 a 分為 a,b 兩部分，設(shè) b 部分的 位數(shù)為 n，則有，
a,b = a10? + b
進(jìn)而，有，
(a,b)2 = (a10? + b)2 = a2102? + 2(a10?)b + b2 = a2102? + ((2a)10? + b)b = a2102? + ((2a),b)b
于是，可以考慮將 A 也分為 A,B 兩部分，B 部分為 2n 位數(shù)，即有，
A,B = A102? + B
這樣，余數(shù)為，
r = A,B - (a,b)2 = (A102? + B) - (a2102? + ((2a),b)b) = (A - a2)102? + B - ((2a),b)b
其中，可以通過(guò)①方法求得 a 以及，
r? = A - a2
于是，有，
r = r?102? + B - ((2a),b)b = r?,B - ((2a),b)b
至此，可以從1開(kāi)始，通過(guò)不斷嘗試，找到使得，
((2a),b)b ≤r?,B＜((2a),(b+1))(b+1)
的 正整數(shù) b，從而 得到 平方根 a,b，最后計(jì)算出 余數(shù)，
r = A,B - (a,b)2 ②
就可以了。
● 如果 A 還要大，則 可以將 a 分為 a,b,c 三部分，讓 b和c 都是 n位，有，
a,b,c = (a,b)10? + c
同時(shí)，將 A 分為 A,B,C 三部分，讓 B 和 C 都是 2n 位，有，
A,B,C = (A,B)102? + B
然后，與上面類(lèi)似，可求得，
r = (A,B - (a,b)2)102? + C - ((2(a,b))10? + b)b
其中，可以通過(guò)②方法，求得 a,b 以及
r? = A,B - (a,b)2?
于是有，
r = r?102? + C - ((2(a,b))10? + c)c = r?,C - ((2(a,b)),c)c?
最后，類(lèi)似②方法，求得 正整數(shù) c，從而得到 平方根 a,b,c 和 余數(shù)，
r = A,B,C - (a,b,c)2?
★ 總結(jié)： 這樣，對(duì)于任意大的正整數(shù) A 都可分為 A?,A?,...,A?，其中 除了 A?（小于等于 2n 位）外，其它 A?,...,A? 都是 2n 位，同時(shí) 將 a 分為 a?,a?,...,a? ，其中 除了? a?（小于等于 2n 位）外，其它? a?,...,a? 都是 n 位，然后，
* 通過(guò)①方法方法 可以 計(jì)算出 a? 以及 r? = A? - a?2；
* 歸納假設(shè)，已經(jīng)計(jì)算出了 a?,...,a??? 以及? r??? = A?,...,A??? - (a?,...,a???)2，于是有，
r? = (A?,...,A??? - (a?,...,a???)2)102? + A? - ((2a?,...,a???),a?)a? = r???,A? - ((2(a?,...,a???)),a?)a??
用 ② 方法，可求得 a? 以及 r?；
通過(guò)歸納的方法，最終這求得，
平方根 a = a?,...,a?
余數(shù) r = r??
■ 問(wèn)題：對(duì)于任意 正小數(shù)A，求平方根a。
☆ 可以將 A 分為 A?,A?,...,A?.A???,A???, ... 其中除A?外，其它部分都是 2n 位數(shù)（小數(shù)位數(shù)若不夠，可以補(bǔ)零），同時(shí) 將 a分為 a?,a?,...,a?.a???,a???,...，其中除a?外，其它部分都是 n 位數(shù)，然后按照 上面的歸納方法，遞歸到 需要的精度的 小數(shù)位數(shù) e 即可，此時(shí)有：
a = a?,a?,...,a?.a???,a???,...,a?
以上，就是手動(dòng)開(kāi)平方的原理。
實(shí)際運(yùn)算中 取 n = 1，并使用豎式進(jìn)行運(yùn)算（見(jiàn)圖2），
具體步驟如下：
⒈ 從小數(shù)點(diǎn)起，向兩邊，將A按照兩位一組，分成 A?,A?,A?,...,A?.A???, ...，其中 A? 可能不足兩位；
⒉ 以 A? 為目標(biāo)， 嘗試 1 到 9，找到 滿足：
◆ 乘方 小于等于 目標(biāo)，即， a?2 ≤ A?；
的 a? 最大值 ，并計(jì)算出余數(shù) r?；
⒊? 將 余數(shù) r? 與 A? 拼在一起得到? r?,A?，以其為目標(biāo)，嘗試 1 到 9，找到 滿足：
◆? 拼接 2×a? 后 乘以 自己 小于等于 目標(biāo)，即，(2×a?),a? × a?? ≤? r?,A? ；
的 a? 的最大值，并計(jì)算出余數(shù) r?；
⒋ 將 余數(shù) r? 與 A? 拼在一起得到 r?,A?，以其為目標(biāo)，嘗試 1 到 9，找到 滿足:
◆? 拼接 2×(a?,a?)? 后 乘以 自己 小于等于 目標(biāo)，即，(2×a?),a? × a?? ≤? ?r?,A?；
?的 a? 的最大值，并計(jì)算出余數(shù) r?；
⒌ ... ...?
...?
□
圖3 是一個(gè)實(shí)際的例子。
最后，用類(lèi)似的原理，還可以 分析出來(lái) 手動(dòng)開(kāi)立方根 的方法，大家有興趣可以自己試一試。
附錄：
以上手動(dòng)開(kāi)平方算法的 JavaScript 代碼描述如下，
（原本是法動(dòng)態(tài)的，結(jié)果字?jǐn)?shù)超了，所以 文章 和 代碼 都寫(xiě)的比較亂，大家湊合看??）
