費馬大定理是勾股定理的推廣。勾股定理在實數(shù)范圍內(nèi)成立，費馬大定理就是勾股定理在實數(shù)范圍內(nèi)的推廣。將費馬大定理簡單描述如下：

d^n+h^n=p^n，其中，n 為正整數(shù)，當n＝2 時，有整數(shù)解，即 d，h，p 皆為整數(shù)，當 n≥3 時，無整數(shù)解，即d，h，p 不全為整數(shù)。

下面舉一些例子來看一下當 n≥3 時，費大馬定理與勾股定理之間有怎樣的聯(lián)系，進而得出文章開頭給出的結(jié)論。

在 d^n+h^n=p^n 中，設(shè) n＝3 ，則d^3+h^3=p^3，式中，d，h，p不全為整數(shù)。當 d＝3，h＝4 時，得 ?3^3+4^3=p^3，p 不是整數(shù)。得 3^3+4^3=91＝(?91)^3，p＝?91，這是費馬大定理的一個實例，舉這個實例的作用是便于直觀的作比較。

對于式 d^3+h^3=p^3 ， ?作 恒 等 變 換得 ?d*d^2+h*h^2=p*p^2 ，再作恒等 變換得 (√(d*d^2))^2+(√(h*h^2))^2＝(√(p*p^2))^2，可以看出 d^3+h^3=p^3可以寫成勾股定理的形式，當d＝3，h＝4 時，由 (√(d^3))^2+(√(h^3))^2＝(√(p^3))^2 ，得(√(3^3))^2+(√(4^3))^2＝(√91)^2，這是勾股定理的形式，不過它的取值范圍 是 實 數(shù)，而 非 正 整數(shù)，即在直角三角形中，當一個 直 角邊的長度 為√(3^3) ，另一個直角邊的長度為 √(4^3) 時，斜邊的長 度 就 等 于 √91。

對于費馬大定理中，n≥4 時的情況，可以依次類推，都可以寫 成勾 ?股 ?定 ?理的形式，作圖可以驗證它是成立的。

在勾股定理 a^2+b^2=c^2 中，可以引入三個實數(shù)，使這個式子仍然成立。設(shè) L，M，N 是 三 個 任 意 實 數(shù) ，則 L*a^2+M*b^2=N*c^2 成立。例如：4×3^2+10×4^2＝14^2，將這個式子作恒等變換，也寫成勾股定理的表示式是：(√(4*3^2))^2+(√(10*4^2))^2＝14^2，即在一個直角三角形中，一個 直 角邊的長度 為 √(4*3^2)，另一個直角邊的長度為 √(10*4^2) 時，斜邊的長 度 ?等 于 14。而 a^2+b^2=c^2 這個公式是當 L＝M＝N＝1 時的一種形式。

雖然費馬大定理是沒有正整數(shù)解的，它的解可能是一個無理數(shù)，書寫起來很不方便，畢竟還有非常多的無理數(shù)不能寫成類似 √N (N是正整數(shù)) 那樣的簡單形式，但是，通過在恒等式中引入一些系數(shù)，這些系數(shù)都是正整數(shù)，那么，這些恒等式書寫起來就比較方便，看起來也直觀一些。但費馬大定理的解仍然不是正整數(shù)。

我曾經(jīng)在 《探索勾股定理》 一文中提到勾股定理在實數(shù)范圍內(nèi)是成 立 ?的，任意兩個正整數(shù)的加法可以看成 是 勾 股定理的簡寫，例如 3+4=7 是一個加法算式，將它作恒等變換后寫成 √3^2+√4^2＝√7^2，這個等式的意義即，在一個直角三角形中，一個直角邊長度為√3，一個直角邊長度為√4，斜邊長就是√7，簡記為 ?3+4=7，能這樣書寫是由于 √3^2+√4^2＝√7^2 與 3+4=7 是恒等變換。其實在前面對費馬大定理的講述中我一直在用這一方法。即把費馬大定理公式 d^n+h^n=p^n 用恒等變換寫成勾股定理的形式，就能看出勾股定理與費馬大定理之間的聯(lián)系。

下面這張圖就是把費馬大定理恒等變換成勾股定理的形式，并用具體的數(shù)取代公式中的字母，把它們一一畫在了圖中，圖中有我們很熟悉的勾股定理即勾三股四弦五，我把它們統(tǒng)一作到平面坐標系中進行比較。如下圖

我先簡單介紹一下這張圖，在平面直角坐標系中，原點是 O(0,0)。其余各點坐標分別是：

A(3,4)，B(√(3^3),√(4^3))，C(6,8)， D(√(4*3^2),√(10*4^2))。

每一點的坐標都對應(yīng)著勾股定理，即橫坐標的平方加縱坐標的平方等于另外一個數(shù)的平方，其中，具有正整數(shù)解的勾股定理是費馬大定理的一種特殊形式，或者說，費馬大定理是勾股定理在實數(shù)范圍內(nèi)的推廣。

從圖中可以看出，⊿AOE，⊿BOF，⊿COG，⊿DOH 這些直角三角形都是相似三角形，因此，對應(yīng)邊都是存在比例關(guān)系的。其中，⊿COG 的兩條直角邊分別是⊿AOE 對應(yīng)直角邊的兩倍，即給定一個勾股數(shù)(3,4,5)，對應(yīng)圖中的 A 點，將其中的每一個數(shù)乘以2，即得到另外一個勾股數(shù)(6,8,10)，對應(yīng)圖中的 C 點。A點與 C 點在一條直線上，因此，這些勾股數(shù)之間存在線性關(guān)系。即設(shè) (a,b,c) 是勾股數(shù)，則對于任意實數(shù) N，(N*a,N*b,N*c)也是勾股數(shù)。

圖中所有的直角三角形都是相似三角形，因此，這些不同直角三角形所代表的勾股數(shù)之間也是存在關(guān)聯(lián)的。

⊿AOE 對應(yīng)的勾股數(shù)是 (3,4,5)

⊿COG 對應(yīng)的勾股數(shù)是(6,8,10)

⊿BOF 對應(yīng)的勾股數(shù)是(√(3^3),√(4^3),√91)

⊿DOH 對應(yīng)的勾股數(shù)是(√(4*3^2),√(10*4^2),14)

這些不同的勾股數(shù)之間的關(guān)系是種線性關(guān)系，對費馬大定理作恒等變換的過程正是基于這一線性關(guān)系實現(xiàn)的。我在《探索勾股定理》 一文中提到，任一個勾股數(shù)都與一個復(fù)數(shù)相對應(yīng)，具有這種對應(yīng)的任意兩個復(fù)數(shù)相乘的結(jié)果仍然對應(yīng)著一個勾股數(shù)，因此，滿足這一條件的運算應(yīng)該構(gòu)成一個乘法群。

勾股定理不僅在平面坐標系中成立，在三維空間直角坐標系中也成立，即a^2+b^2+c^2=d^2，乃至在任意維坐標系中都成立，即a?2 +a?2+a?2+…+a?2＝k2，式中 a?，a?，a?…a?，k 皆為實數(shù)。因此，在任意維空間中，都存在著相似的線性關(guān)系。例如在三維空間中給定一勾股數(shù)(12,15,16,5)，對應(yīng)下式

12^2+15^2+16^2＝5^2。同樣的，在三維空間中，當 n ＞2的正整數(shù)時，a^n+b^n+c^n=d^n，也沒有正整數(shù)解。例如，12^3+15^3+16^3≈95.91。在更高的維度中，勾股定理仍然成立，費馬大定理也成立。

14*2^5+18*3^5+6*4^5+2*5^5+2*6^5＝8^5 ，這是在更高維度中成立的勾股定理，通過恒等變換，把它變?yōu)槠椒胶偷男问?，即可確定勾股數(shù)。請注意，2^5+3^5+4^5+5^5+6^5 是不等于8^5，說明它符合費馬大定理，而只要在這個式子中加上一些系數(shù)，它兩邊就變得相等了，這些系數(shù)是線性關(guān)系的一種反映。

如果在費馬大定理公式中引入一些系數(shù)，把它變成如下的樣子

M*d^n+F*h^n=Q*p^n，式中，M，F(xiàn)，Q 為任意正整數(shù)，其它字母含義如費馬大定理所示。那么，當M＝F＝Q＝1時，即公式 a^n+b^n＝c^n。當 M＝F＝Q＝1 且 n＝2 時，即公式

a^2+b^2＝c^2，便是勾股定理的一般表示式。

對于 n 維空間中的費馬大定理則寫成下式

q?*a?? +q?*a??+q?*a??+…+q?*a??＝m*k?，q?，q?，q?…q?，m 皆是系數(shù)。

同樣的，所有字母的取值一如二維費馬大定理的要求，當 n＞2 且取正整數(shù)時，沒有正整數(shù)解。當 n＝2 時，公式變?yōu)?/p>

? ? q?*a?2 +q?*a?2+q?*a?2+…+q?*a?2＝m*k2

當q?＝q?＝q?＝…＝q?＝1，且 a＝2時

? ? a?2 +a?2+a?2+…+a?2＝k2，這便是勾股定理更一般的形式。