(警告：本篇數(shù)學(xué)含量極高)(本系列非原創(chuàng))

此文將以數(shù)學(xué)方法找出鏈狀烷烴數(shù)量的遞推方法。為此，我們將問題拆解為四部分：

1.烷基計數(shù)

2.標(biāo)C的烷烴計數(shù)

3.標(biāo)鍵的烷烴計數(shù)

4.烷烴計數(shù)

本篇討論的是part 1：一個烷基CnH2n+1的同分異構(gòu)體(我們不嚴(yán)格地借用這個詞)的數(shù)量有多少個?

對于n較小的情形，我們可以直接計數(shù)(或背誦)：

n＝1，2，3，4，5……時，

“n基”的數(shù)量An＝1，1，2，4，8……

但當(dāng)n很大時，計數(shù)就變得困難了。我們需要找到一種有效的計算方法(雖然它們其實(shí)很少派上用場)：

對于一個n基，我們關(guān)注自由端的C原子，會發(fā)現(xiàn)它連著3個烷基。(或一個H原子，我們將它視作0個C的烷基，A0＝1)

如果三者分別為a基，b基，c基(不妨設(shè)a≤b≤c)

那么當(dāng)a＜b＜c時，An＝AaAbAc.這個結(jié)論用乘法原理是顯而易見的。

當(dāng)a＜b＝c時，An＝Aa(1/2)Ab(Ab+1)，這個結(jié)論稍顯復(fù)雜，證明如下：

只需證b,c可取的情形有Ab(Ab+1)/2種。

已知b,c均能取Ab種，但結(jié)論不是Ab2，這是因?yàn)?span id="s0sssss00s" class="color-blue-02">有些情形是重復(fù)的。

我們把全部情形編號為1,2,3……Ab，假如b取情形1，c取情形2，是一種情形。假如b取情形2，c取情形1，則又是一種。但二者顯然是重復(fù)的。如何解決這個問題呢?

我們不妨設(shè)編號較大者為b，較小的為c，這樣一來，它們就不能交換編號了。(注意二者可以同時取同一種情形)于是：

當(dāng)b取1，c可取1，共1種

b取2，c可取1，2，共2種

……

b取Ab，c可取1，2，……Ab，共Ab種

總的情形數(shù)就有1+2+……+Ab＝Ab(Ab+1)/2，證完。

第三種情況是a＝b＝c時，An＝1/6Aa(Aa+1)(Aa+2)

這個結(jié)論要更為復(fù)雜了，不過上述思路仍適用：

設(shè)編號最大者為a，次大者為b，最小者為c

當(dāng)a取到i，b,c都有i種取法，和前面類似，可知此時有i(i+1)/2種情形?？偳樾尉褪牵?/span>

∑i(i+1)/2＝1/2(∑i2+∑i)(∑符號的定義見注釋)

＝Aa(Aa+1)(2Aa+1)/12+Aa(Aa+1)/4

＝1/6Aa(Aa+1)(Aa+2)，證完

至此，我們完全解決了烷基的計數(shù)問題。下面舉幾例：

我們熟悉的n＝4(丁基)：

果然A4＝4，看來我們的理論是禁得起檢驗(yàn)的。

那我們試著把口訣往下算一步：

課后作業(yè)：

1.復(fù)述一遍推導(dǎo)過程，有利于加深理解。

2.試計算A7，鞏固所學(xué)。

3.思考題：

我們知道A7對應(yīng)了C7H15Cl的個數(shù)，那么：

C7H14Cl2的個數(shù)是多少?C7H14ClBr呢?(也許是將來的番外)

————————樸實(shí)無華的分割線——————————

注釋：求和符號∑，用于簡寫多項(xiàng)式求和。意義為：

好的，今天的有(組)機(jī)(合)化(計)學(xué)(數(shù))小課堂就到這里，順祝學(xué)習(xí)進(jìn)步！( ˙?˙ )