無窮冪塔

2022-04-02 00:36 作者:子瞻Louis 0人讀過 | 我要投稿

高德納箭號

在數(shù)學(xué)中，有的地方會給運算定義一個“級”，比如加法是一級運算，乘法是二級，冪是三級，那么為了推廣到更高級，將冪寫為以下形式

$x%5Cuparrow%20n%3A%3D%5Cunderbrace%7Bx%5Ccdot%5Cdots%5Ccdot%20x%5Ccdot%20x%7D_%7Bn%E4%B8%AA%7D%3Dx%5En$

由此可以定義四級運算：

$x%5Cuparrow%5Cuparrow%20n%3A%3D%5Cunderbrace%7Bx%5Cuparrow%20%5Cdots%20%5Cuparrow%20x%5Cuparrow%20x%7D_%7Bn%E4%B8%AA%7D$

到這里更高級的運算不就出來了？（當(dāng)然這樣的定義僅能解釋n為整數(shù)的情況）

這種表示法稱為高德納箭號表示法，雖然這與本期內(nèi)容關(guān)系不大，但這種表示法在計算機數(shù)學(xué)中可能會被遇到，因此還是值得一提的，下面就進入正題了

無窮冪塔

冪塔，顧名思義就是用冪堆起來的塔，也就是

$x%5Cuparrow%5Cuparrow%20n%3Dx%5E%7Bx%5E%7B%5Cdots%5E%7Bx%7D%7D%7D$

令? $n%5Cto%5Cinfty$ ?就成了無窮冪塔，下面我們將會研究使得它收斂的x的范圍，由于考慮x取復(fù)數(shù)的話有點麻煩，所以本期僅僅討論x取正實數(shù)的情況。觀察上式，其實它就是由以下定義的數(shù)列? $%5C%7Ba_n%5C%7D$ 趨于無窮的結(jié)果：

$a_1%3Dx%2Ca_%7Bn%2B1%7D%3Dx%5E%7Ba_n%7D%3Dx%5Cuparrow%5Cuparrow%20n$

據(jù)此可以來構(gòu)造函數(shù) $f(a_n)%3A%3Dx%5E%7Ba_n%7D%3Dx_%7Bn%2B1%7D$ 來進行迭代，

第一步?先來討論x>1的情況：

不難發(fā)現(xiàn)，若一直迭代下去，那么? $%5C%7Ba_n%5C%7D$ ?就會收斂到? $f(a)$ ?與直線? $y%3Dx$ ?的第一個交點，因此便可以將? $%5C%7Ba_n%5C%7D$ ?的收斂性轉(zhuǎn)化為求以下函數(shù)的零點問題：

$Z_x(a)%3A%3Dx%5Ea-a%2C%5Cquad%20(x%3E1)$

那么就先來找到它的單調(diào)區(qū)間吧，

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20a%7DZ_x(a)%3Dx%5Ea%5Cln%20x-1$

于是便可得到（細節(jié)略去）：

$a%3E-%5Cfrac%7B%5Cln%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20x%7D$ ?時， $Z_x(a)$ ?遞增

$a%3C-%5Cfrac%7B%5Cln%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20x%7D$ 時， $Z_x(a)$ ?遞減

$Z_x(a)$ ?在? $a%3D-%5Cfrac%7B%5Cln%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20x%7D$ 時取最小值，又有? $Z_x(0)%3D1%2CZ_x(%2B%5Cinfty)%3E0$ ，因此要讓該函數(shù)有零點只需要令其最小值小于零，即

$Z_x%5Cleft(-%5Cfrac%7B%5Cln%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20x%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%2B%5Cln%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20x%7D%3C0$

解得?? $x%3Ce%5E%7Be%5E%7B-1%7D%7D$ ，再結(jié)合先前假設(shè)的? $x%3E1$ ?以及當(dāng) $x%3D1$ 時冪塔顯然收斂，可初步得到一個令? $a_n$ ?收斂的x的區(qū)間：

$x%5Cin%5Cleft%5B1%2Ce%5E%7Be%5E%7B-1%7D%7D%5Cright%5D$

第二步?當(dāng)? $0%3Cx%3C1$ ?時:

從該圖中可以得知，當(dāng)? $0%3Cx%3C1$ ?時似乎? $%5C%7Ba_n%5C%7D$ ?總是收斂的，但是其實在圖中也可以看出當(dāng)角標(biāo)n是奇數(shù)時? $a_n$ ?在? $y%3Dx$ ?的左邊，而n是偶數(shù)時則在右邊，根據(jù)序列收斂的充要條件是其奇數(shù)子列和偶數(shù)子列收斂到相同極限，需要考慮這兩個子列? $%5C%7Ba_%7B2n-1%7D%5C%7D%2C%5C%7Ba_%7B2n%7D%5C%7D$ ?（若是忽略掉了這個問題，就會得到了一個錯誤的收斂區(qū)間? $x%5Cin(0%2Ce%5E%7Be%5E%7B-1%7D%7D%5D$ ）

令? $u_n%3Da_%7B2n-1%7D%2Cv_n%3Da_%7B2n%7D%2Cg(a)%3Dx%5E%7Bx%5Ea%7D$

于是便有

$u_1%3Dx%2Cu_%7Bn%2B1%7D%3Dg(u_n)$

$v_1%3Dx%5Ex%2Cv_%7Bn%2B1%7D%3Dg(v_n)$

觀察其圖像：

發(fā)現(xiàn)? $0%3Cx%3C1$ ?時? $g(a)$ ?與直線? $y%3Dx$ 總有交點，因此進過無窮次迭代后并不會趨于無窮，但是，若它們的交點不止一個，它們的極限就會不相等，

因此再次將問題轉(zhuǎn)化為了一個函數(shù)的零點問題：

$W_x(a)%3Dx%5E%7Bx%5Ea%7D-a$

因為? $W_x(0)%3Dx%3E0%2CW_x(%2B%5Cinfty)%3C0$ ?，因此當(dāng)它遞減時必有有唯一零點，對a求導(dǎo)，得

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20a%7DW_x(a)%3Dx%5E%7Bx%5Ea%2Ba%7D%5Cln%5E2x-1%3Dx%5E%7Bx%5Ea%7D%5Cln%20x%5E%7Bx%5Ea%7D%5Cln%20x-1$

令上式等于零，記? $y%3D%5Cln%20x%5E%7Bx%5Ea%7D$ ?，有

（#） $ye%5Ey%3D%5Cfrac1%7B%5Cln%20x%7D$

不難求得左式的最小值為? $-e%5E%7B-1%7D$ ?，由此令

$%5Cfrac1%7B%5Cln%20x%7D%3C-e%5E%7B-1%7D$

解得?? $x%3Ee%5E%7B-e%7D$ ，于是便推出? $x%5Cin%5Cleft(e%5E%7B-e%7D%2C1%5Cright)$ ?時， $W_x(a)$ ?遞減，即它有唯一零點，然后考慮?? $x%3De%5E%7B-e%7D$ ? ，此時方程（#）有唯一解

? $y%3D-1%3D-e%5Ccdot%20e%5E%7B-ae%7D$

解得? $a%3De%5E%7B-1%7D$ ，代入得

? $W_%7Be%5E%7B-e%7D%7D(e%5E%7B-1%7D)%3D0$ ?

即它的最小值為零，所以此時同樣有唯一零點，

接著考慮? $x%5Cin%5Cleft(0%2Ce%5E%7B-e%7D%5Cright)$ ?，此時方程（#）有兩個解，記這兩個解為? $z_1%2Cz_2$ ，當(dāng)

$z_1%3Cy%3D%5Cln%20x%5E%7Bx%5Ea%7D%3Cz_2$

時， $W_x(a)$ ?遞減，反之遞增， $%5Cln%20x%5E%7Bx%5Ea%7D$ ?當(dāng)? $0%3Cx%3C1$ ?又是遞增的，因此有

$%5Cfrac%7B%5Cln%20%5Cfrac%7Bz_1%7D%7B%5Cln%20x%7D%7D%7B%5Cln%20x%7D%3Ca%3C%5Cfrac%7B%5Cln%20%5Cfrac%7Bz_2%7D%7B%5Cln%20x%7D%7D%7B%5Cln%20x%7D$ ?

時， $W_x(a)$ ?遞減，但是

$W_x%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cln%20%5Cfrac%7Bz_1%7D%7B%5Cln%20x%7D%7D%7B%5Cln%20x%7D%5Cright)%3De%5E%7Bz_1%7D-%5Cfrac%7B%5Cln%20%5Cfrac%7Bz_1%7D%7B%5Cln%20x%7D%7D%7B%5Cln%20x%7D%3C0$

$W_x%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cln%5Cfrac%7Bz_2%7D%7B%5Cln%20x%7D%7D%7B%5Cln%20x%7D%5Cright)%3De%5E%7Bz_2%7D-%5Cfrac%7B%5Cln%5Cfrac%7Bz_2%7D%7B%5Cln%20x%7D%7D%7B%5Cln%20x%7D%3E0$