算術(shù)求積尺之法，如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、圓錐、陽(yáng)馬之類，物形備矣，獨(dú)未有隙積一術(shù)，古法：凡算方積之物，有立方，謂六冪皆方者。其法再自乘則得之。有塹堵，謂如土墻者，兩邊殺，兩頭齊。其法并上下廣，折半以為之廣以直高乘之，以直高以股，以上廣減下廣，余者半之為勾。勾股求弦，以為斜高。有芻童，謂如覆斗者，四面皆殺。其法倍上長(zhǎng)加入下長(zhǎng)，以上廣乘之；倍下長(zhǎng)加入上長(zhǎng)，以下廣乘之；并二位，以高乘之，六而一。隙積者，謂積之有隙者，如累棋、層壇及灑家積罌之類。雖似覆斗，四面皆殺，緣有刻缺及虛隙之處，用芻童法求之，常失于數(shù)少。余思而得之，用爭(zhēng)童法為上位；下位別列：下廣以上廣減之，余者以高乘之，六而一，并入上位。假令積罌：最上行縱橫各二罌，最下行各十二罌，行行相次。先以上二行相次，率至十二，當(dāng)十一行也。以芻童法求之，倍上行長(zhǎng)得四，并入下長(zhǎng)得十六，以上廣乘之，得之三十二；又倍下行長(zhǎng)得二十四，并入上長(zhǎng)，得二十六，以下廣乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下廣十二，以上廣減之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此為罌數(shù)也。芻童求見(jiàn)實(shí)方之積，隙積求見(jiàn)合角不盡，益出羨積也。履畝之法，方圓曲直盡矣，未有會(huì)圓之術(shù)。凡圓田，既能拆之，須使會(huì)之復(fù)圓。古法惟以中破圓法拆之，其失有及三倍者。余別為拆會(huì)之術(shù)，置圓田，徑半之以為弦，又以半徑減去所割數(shù)，余者為股；各自乘，以股除弦，余者開(kāi)方除為勾，倍之為割田之直徑。以所割之?dāng)?shù)自乘倍之，又以圓徑除所得，加入直徑，為割田之弧。再割亦如之，減去已割之弧，則再割之弧也。假令有圓田，徑十步，欲割二步。以半徑為弦，五步自乘得二十五；又以半徑減去所割二步，余三步為股，自乘得九；用減弦外，有十六，開(kāi)平方，除得四步為勾，倍之為所割直徑。以所割之?dāng)?shù)二步自乘為四，倍之得為八，退上一位為四尺，以圓徑除。今圓徑十，已足盈數(shù)，無(wú)可除。只用四尺加入直徑，為所割之孤，凡得圓徑八步四尺也。再割亦依此法。如圓徑二十步求弧數(shù)，則當(dāng)折半，乃所謂以圓徑除之也。此二類皆造微之術(shù)，古書所不到者，漫志于此。?

　　算術(shù)中求物體體積的方法，如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、圓錐、陽(yáng)馬等，各種形狀的物體都具備了，只是沒(méi)有隙積術(shù)。古代的算法：凡計(jì)算物體的體積，有立方體，是指六個(gè)面都是正方形的物體，其計(jì)算方法是把一條邊自乘兩次就可以求得了。有塹堵，是指有點(diǎn)像土墻形狀的物體，兩邊是斜的，兩頭的面是垂直的。它的截面面積的算法是：先把上、下底的寬相加，除以二，作為截面的寬，用直高與它相乘就求得了一個(gè)值；再將直高作為股，用上底面的寬減去下底面的寬，所得之差除以二作為勾，用勾股定理算出弦，就是它的斜邊長(zhǎng)。有芻童，是指有點(diǎn)像翻過(guò)來(lái)的方斗形狀，四側(cè)都是斜面。它的計(jì)算方法是：將上底面的長(zhǎng)乘二，與下底面的長(zhǎng)相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長(zhǎng)乘二，與上底面的長(zhǎng)相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一（就求得了它的體積）。隙積，是指堆累起來(lái)而其中有空隙的物體，像堆疊起來(lái)的棋子、分層建造起來(lái)的土壇以及酒館里堆累起來(lái)的酒壇子一類的物體。它們雖像倒扣著的斗，四側(cè)都是斜面，但是由于邊緣存在著一定的殘缺或空隙，如果用芻童法計(jì)算，所得數(shù)量往往比實(shí)際的要少。我想出了一種計(jì)算方法：用芻童法算出它的上位、下位數(shù)值，另外單獨(dú)列出它的下底寬，減去上底寬，將所得之差乘高，取其六分之一，再并入前面的數(shù)目就可以了。假設(shè)有用酒壇子累成的堆垛，最上層的長(zhǎng)、寬都是兩只壇子，最下層的長(zhǎng)、寬都是十二只壇子，一層層交錯(cuò)堆垛好。先從最上層數(shù)起，數(shù)到有十二只壇子的地方，正好是十一層。用芻童法來(lái)計(jì)算，把上層的長(zhǎng)乘二得四，與下層的長(zhǎng)相加得十六，與上層的寬相乘，得三十二；再把下層的長(zhǎng)乘二得二十四，與上層的長(zhǎng)相加得二十六，與下層的寬相乘，得三百一十二；上、下兩數(shù)相加，得三百四十四，乘高得三千七百八十四。另外將下層的寬十二減去上層的寬，得十，與高相乘，得一百一十，與前面的數(shù)字相加，得三千八百九十四；取它的六分之一，得六百四十九。這就是這堆酒壇的數(shù)量。運(yùn)用芻童法算出的是實(shí)方的體積，運(yùn)用隙積法算出的是空缺部分拼合成的體積，也就可以算出多余的體積。丈量土地的方法，方、圓、曲、直的算法都有，不過(guò)沒(méi)有會(huì)圓的算法。凡是圓形的土地，既能夠拆開(kāi)來(lái)，也應(yīng)該能讓它拼合起來(lái)恢復(fù)圓形。古代的算法，只用中破圓法把圓形拆開(kāi)來(lái)計(jì)算，它的誤差有達(dá)三倍之多的。我另外設(shè)計(jì)了一種拆開(kāi)、會(huì)合的計(jì)算方法。假設(shè)有一塊圓形的土地，用它的直徑的一半作為弦，再以半徑減去所割下的弧形的高，用它們的差作為股；弦、股各自平方，用弦的平方減去股的平方，將它們的差開(kāi)平方后作為勾，再乘二，就是所割弧形田的弦長(zhǎng)。把所割的弧形田的高平方，乘二，再除以圓的直徑，所得的商加上弧形的弦長(zhǎng)，便是所割弧形田的弧長(zhǎng)。再割一塊田也像這樣計(jì)算，用總的弧長(zhǎng)減去已割部分的弧長(zhǎng)，就是再割之田的弧長(zhǎng)了。假如有塊圓形的土地，直徑是十步，想使割出的圓弧高二步，就用圓半徑五步作為弦，五步自乘得二十五；又用半徑減去弧形的高二步，它們的差三步作為股，自乘得九；用它與弦二十五相減得十六，開(kāi)平方得四，這就是勾，再乘二，就是弧的弦長(zhǎng)。把圓弧的高二步自乘，得四，再乘二得八，退上一位為四尺，用圓的直徑相除?，F(xiàn)今圓的直徑為十，已經(jīng)滿了整十?dāng)?shù)，不可除。只用四尺加下圓弧直徑，就是所割圓的弧長(zhǎng)，共得圓弧直徑八步四尺。再割一塊圓田，也依照這種方法。如果圓直徑是二十步，要求弧長(zhǎng)，就應(yīng)當(dāng)折半，也就是所說(shuō)的要用圓弧的半徑來(lái)除它。這兩種方法都涉及精確的算法，是古書里沒(méi)有說(shuō)到的，隨筆記錄于此。?

　　造舍之法，謂之《木經(jīng)》，或云喻皓所撰。凡屋有三分：去聲。自梁以上為上分，地以上為中分，階為下分。凡梁長(zhǎng)幾何，則配極幾何，以為榱等。如梁長(zhǎng)八尺，配極三尺五寸，則廳堂法也，此謂之上分。楹若干尺，則配堂基若干尺，以為榱等。若楹一丈一尺，則階基四尺五寸之類。以至承拱榱桷，皆有定法，謂之中分。階級(jí)有峻、平、慢三等，宮中則以御輦為法：凡自下而登，前竿垂盡臂，后竿展盡臂為峻道；荷輦十二人：前二人曰前竿，次二人曰前絛，又次曰前脅；后一人曰后脅，又后曰后絛，未后曰后竿。輦前隊(duì)長(zhǎng)一人，曰傳倡；后一人，曰報(bào)賽。前竿平肘，后竿平肩，為慢道；前竿垂手，后竿平肩，為平道；此之謂下分。其書三卷。近歳土木之工，益為嚴(yán)善，舊《木經(jīng)》多不用，未有人重為之，亦良工之一業(yè)也。?

　　關(guān)于屋舍的營(yíng)造技術(shù)，有一部專門討論的書籍叫做《木經(jīng)》，有的說(shuō)是喻皓所撰。此書將屋舍建筑概括為“三分”：自梁以上為“上分”，梁以下、地面以上為“中分”，臺(tái)階為“下分”。凡是梁長(zhǎng)多少，則梁到屋頂?shù)拇怪备叨染拖鄳?yīng)地配多少，以此定出比例。如梁長(zhǎng)八尺，梁到屋頂?shù)母叨染团淙呶宕纾@是廳堂的規(guī)格。這叫做“上分”。柱子高若干尺，則堂基就相應(yīng)地配若干尺，也以此定出比例。如柱子高一丈一尺，則堂前大門臺(tái)階的寬度就配四尺五寸之類，以至于斗拱、椽子等都有固定的尺寸，這叫做“中分”。臺(tái)階則有“峻”、“平”、“慢”三種；皇宮內(nèi)是以御輦的出入為標(biāo)準(zhǔn)的：凡是抬御輦自下而上登臺(tái)階，前竿下垂盡手臂之長(zhǎng)，后竿上舉也盡手臂之長(zhǎng)，這樣才能保持平衡的臺(tái)階叫做“峻道”；（抬輦的共有十二人：前二人稱前竿，其次二人稱前絳；又其次二人稱前脅，其后二人稱后脅；再后二人稱后絳，最后二人稱后竿。御輦的前面有隊(duì)長(zhǎng)一人稱傳唱，御輦的后面有一人稱報(bào)賽。）前竿與肘部相平，后竿與肩部相平，這樣才能保持平衡的臺(tái)階叫做“慢道”；前竿下垂盡手臂之長(zhǎng)，后竿與肩部相平，這樣就能保持平衡的臺(tái)階叫做“平道”。這些叫做“下分”。其書共有三卷。近年土木建筑的技術(shù)更為嚴(yán)謹(jǐn)完善了，已多不用舊時(shí)的《木經(jīng)》，然而還沒(méi)有人重新編寫一部這樣的書，這也應(yīng)該是優(yōu)秀的木工信得留意的一項(xiàng)業(yè)內(nèi)之事。?

　　版印書籍，唐人尚未盛為之，自馮瀛王始印五經(jīng)，已后典籍，皆為版本。慶歷中，有布衣畢昇，又為活版。其法用膠泥刻字，薄如錢唇，每字為一印，火燒令堅(jiān)。先設(shè)一鐵版，其上以松脂臘和紙灰之類冒之。欲印則以一鐵范置鐵板上，乃密布字印。滿鐵范為一板，持就火煬之，藥稍镕，則以一平板按其面，則字平如砥。若止印三、二本，未為簡(jiǎn)易；若印數(shù)十百千本，則極為神速。常作二鐵板，一板印刷，一板已自布字。此印者才畢，則第二板已具。更互用之，瞬息可就。每一字皆有數(shù)印，如之、也等字，每字有二十余印，以備一板內(nèi)有重復(fù)者。不用則以紙貼之，每韻為一貼，木格貯之。有奇字素?zé)o備者，旋刻之，以草火燒，瞬息可成。不以木為之者，木理有疏密，沾水則高下不平，兼與藥相粘，不可取。不若燔土，用訖再火令藥熔，以手拂之，其印自落，殊不沾污。昇死，其印為余群從所得，至今保藏。?

　　畢昇用雕版印刷書籍，唐朝人還沒(méi)有大規(guī)模采用。至五代時(shí)的馮瀛王才開(kāi)始用雕版印制五經(jīng)，從那以后的各種典籍和圖書都是雕版印刷本了。慶歷年間，有位叫畢昇的平民又創(chuàng)造了活字印版。他的方法是用膠泥刻字，字的厚薄像銅錢的邊緣一般，每個(gè)字制成一個(gè)字模，用火燒烤使它變得堅(jiān)硬。先設(shè)置一塊鐵板，上面用松脂、蠟混合紙灰這一類東西覆蓋住。想要印刷時(shí)，就拿一個(gè)鐵框子放在鐵板上，然后密密地排列好字模。排滿一鐵框就作為一個(gè)印版，拿著它靠近火烘烤；等松脂等物開(kāi)始熔化時(shí)，就拿一塊平板按壓它的表面，于是，排在板上的字模就平整得像磨刀石一樣。如果只印制三兩本書，（這種方法）不能算很簡(jiǎn)便；如果印刷幾十乃至成百上千本書，（這種方法）就顯得特別快捷。印刷時(shí)通常制作兩塊鐵板，一塊正在印刷，另一塊已經(jīng)另外排字模；這一塊剛印完，另一塊已經(jīng)準(zhǔn)備好了。兩塊交替使用，極短的時(shí)間就可以完成。每一個(gè)字都有好多個(gè)字模，像“之”、“也”等字，每個(gè)字有二十多個(gè)字模，用來(lái)防備一塊板里面有重復(fù)出現(xiàn)的字。（字模）不用時(shí)，就用紙條做的標(biāo)簽分類加以標(biāo)示，每個(gè)韻部做一個(gè)標(biāo)簽，用木格把它們儲(chǔ)存起來(lái)。遇到平時(shí)沒(méi)有準(zhǔn)備的生冷之字，隨即把它刻出來(lái)，用草火燒烤，很快可以制成。不拿木頭制作活字模，是因?yàn)槟绢^的紋理有疏有密，沾了水就會(huì)變得高低不平，加上容易與藥物互相粘連，不能（重新把字模）取下來(lái)。不如用膠泥燒制字模，使用完畢后，再次用火烘烤，使藥物熔化，用手一抹，那些字模就會(huì)自行脫落，一點(diǎn)也不會(huì)被藥物弄臟。畢昇死后，他的字模被我的堂房兄弟和侄子們得到了，到現(xiàn)在還珍藏著。?

　　淮南人衛(wèi)樸精于歷術(shù)，一行之流也?！洞呵铩啡瘴g三十六，諸歷通驗(yàn)，密者不過(guò)得二十六、七，唯一行得二十九；樸乃得三十五，唯莊公十八年一蝕，今古算皆不入蝕法，疑前史誤耳。自夏仲康五年癸巳歳，至熙寧六年癸丑，凡三千二百一年，書傳所載日食，凡四百七十五。眾歷考驗(yàn)，雖各有得失，而樸所得為多。樸能不用算，推古今日月蝕，但口誦乘除，不差一算。凡大歷悉是算數(shù)，令人就耳一讀，即能暗誦；傍通歷則縱橫誦之。嘗令人寫歷書，寫訖，令附耳讀之，有差一算者，讀至其處，則曰：“此誤某字?！逼渚绱?。大乘除皆不下照位，運(yùn)籌如飛，人眼不能逐。人有故移其一算者，樸自上至下，手循一遍，至移算處，則撥正而去。熙寧中撰《奉元?dú)v》，以無(wú)候簿，未能盡其術(shù)。自言得六七而已，然已密于他歷。?

　　淮南人衛(wèi)樸精通歷法，在這方面是不亞于唐僧一行的人物。《春秋》一書中記載了三十六次日食，歷代歷法學(xué)者通加驗(yàn)證，一般認(rèn)為所記與實(shí)際天象密合的不過(guò)有二十六七次，只有一行證明有二十九次；而衛(wèi)樸則證明有三十五次，只有莊公十八年的一次日食，與古今學(xué)者對(duì)日食發(fā)生日期的推算都不合，懷疑是《春秋》記錯(cuò)了。從夏代仲康五年癸巳歲到宋代熙寧六年癸丑歲，凡三千二百零一年，各種書籍所記載的日食共有四百七十五次，以往各種歷法的推考檢驗(yàn)雖各有得失，而衛(wèi)樸所得出的合乎實(shí)際的結(jié)論要較前人為多。衛(wèi)樸不用計(jì)算工具就能夠推算古今的日月食，加減乘除都只用口算，卻一個(gè)數(shù)都不會(huì)錯(cuò)。凡是正式制定的歷法書，全都是一大堆計(jì)算程序和數(shù)字，衛(wèi)樸叫人在耳邊讀一遍，就能夠背下來(lái)；對(duì)于歷表和各種年表，他也都能縱橫背誦。他曾讓人抄寫歷書，抄寫完畢后，叫抄寫的人貼著他的耳朵讀一遍，有哪個(gè)地方錯(cuò)了一個(gè)數(shù)，讀到那地方時(shí)，他就說(shuō)“某字抄錯(cuò)了”，他的學(xué)問(wèn)竟能精湛到這樣的程度。他用算籌運(yùn)算時(shí)，很大數(shù)字的乘除都不用一步一步擺下去，只照著數(shù)位運(yùn)籌如飛，人的眼睛都跟不上。有人曾故意移動(dòng)了他的一只算籌，他從上到下用手摸了一遍，到被移動(dòng)的地方，又隨手撥正而離開(kāi)。熙寧年間制定《奉元?dú)v》，因?yàn)闆](méi)有實(shí)際的觀測(cè)記錄，衛(wèi)樸未能全部發(fā)揮他的才能和知識(shí)，他自己也說(shuō)這部歷法的可靠性大約只有六七成，然而已比其他歷法要精密一些。?

　　錢氏據(jù)兩浙時(shí)，于杭州梵天寺建一木塔，方兩三級(jí)，錢帥登之，患其塔動(dòng)。匠師云：“未布瓦，上輕，故如此。”方以瓦布之，而動(dòng)如初。無(wú)可奈何，密使其妻見(jiàn)喻皓之妻，賂以金釵，問(wèn)塔動(dòng)之因。皓笑日：“此易耳。但逐層布板訖，便實(shí)釘之，則不動(dòng)矣?！苯硯熑缙溲裕於?。蓋釘板上下彌束，六幕相聯(lián)如胠篋。人履其板，六幕相持，自不能動(dòng)。人皆伏其精練。

　　錢氏王朝統(tǒng)治兩浙時(shí)，在杭州梵天寺修建一座木塔，才建了兩三層時(shí)，錢帥登上木塔，嫌它晃動(dòng)。工匠說(shuō)：“還沒(méi)有蓋瓦，上面輕，所以才會(huì)這樣?！庇谑窃谏厦嫔w了瓦，但是木塔還是像當(dāng)初一樣晃動(dòng)。實(shí)在沒(méi)有辦法了，工匠就暗地里讓妻子去見(jiàn)喻皓的妻子，給她送了金釵，求她向喻皓打聽(tīng)木塔晃動(dòng)的原因。喻皓笑著說(shuō)：“這個(gè)容易啊，只要逐層鋪上木板，用釘子釘牢，就不會(huì)晃動(dòng)了。”工匠按他說(shuō)的（去做），塔身于是穩(wěn)定了。因?yàn)獒斃?/span>木板以后，各層上下更加緊密連接，上、下、左、右、前、后六面互相連接，就像一只箱子。人踩上去，上下及周邊四面互相支撐，當(dāng)然不會(huì)晃動(dòng)。人們都佩服喻皓技藝精熟。

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