1.學(xué)問總結(jié)

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，我們要研究函數(shù)

如何研究，使用數(shù)學(xué)界的一個(gè)基本研究方法，叫極限方法；

該方法描述函數(shù)對(duì)定點(diǎn)的無限逼近行為

對(duì)極限進(jìn)行研究，為研究微分和積分的無限逼近行為做鋪墊。

研究函數(shù)連續(xù)性是研究函數(shù)的重點(diǎn)方向

連續(xù)函數(shù)簡而言之是不會(huì)突變的函數(shù)，其圖像既可以是順滑的曲線，也可以是多段折線

2.重點(diǎn)概括：

? ? 1）函數(shù)：復(fù)合函數(shù)、函數(shù)奇偶性（任意函數(shù)都可以寫成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和）、有界性與無界性

? ? 2）極限：極限三性質(zhì)、極限存在兩準(zhǔn)則、無窮小的比較、無窮小量和有界變量之積的極限為無窮小量

? ? 3）連續(xù)：間斷點(diǎn)的分類判斷、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

3.函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：

? ?重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)、函數(shù)奇偶性（任意函數(shù)都可以寫成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和）、有界性與無界性

? ?函數(shù)：數(shù)集x上的每個(gè)數(shù)以某種確定的關(guān)系f都能找到另一個(gè)數(shù)集y上的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，叫y是x的函數(shù)

? ?定義域：x ； 值域 y ；對(duì)應(yīng)法則f；

? ?相同數(shù)集上的數(shù)，按照相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就能得到相同的函數(shù)

? ?復(fù)合函數(shù)：外層函數(shù)的定義域和內(nèi)層函數(shù)的值域要有交集，這樣兩個(gè)函數(shù)組成的函數(shù)叫復(fù)合函數(shù)

? ?復(fù)合函數(shù)定義域：由外層函數(shù)定義域和內(nèi)層函數(shù)定義域共同確定D={x∣x∈Dg,g(x)∈Df}

? ?反函數(shù)：函數(shù)的值域上的數(shù)y唯一對(duì)應(yīng)定義域上的數(shù)x，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下的x和y也滿足y=f（x）這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系就是f-1，這時(shí)以數(shù)集y為定義域構(gòu)成的且對(duì)應(yīng)數(shù)集x的函數(shù)為反函數(shù)x=f-1（y）

? ?有無反函數(shù)的判斷：x與y是否一一對(duì)應(yīng)（一一映射）

? ?單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)

? ?y=f（x），與x=f-1（y）圖像相同，與y=f-1（x）圖像關(guān)于y=x對(duì)稱

? ?初等函數(shù)（這里不細(xì)致展開，作思維導(dǎo)圖再來做）

? ?函數(shù)性質(zhì)：

? ?單調(diào)性：區(qū)間上任意兩點(diǎn)a<b，都有f（a）<f（b），單調(diào)增；都有f（a）>f（b），單調(diào)減；

? ?奇偶性：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)無論x正負(fù)，y都一樣；奇函數(shù)令x=-x，則y=-y。

? （由奇偶性可以推導(dǎo)出一個(gè)結(jié)論：任意函數(shù)都可以寫成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和[函數(shù)本身+0也可能符合，但無意義]）

? ?周期性：T>0，對(duì)于任意x有f（x+T）=f（x），則f（x）為周期函數(shù)，T為最小正周期

? ?有界性：所有函數(shù)指都小于等于某個(gè)臨界值M，則為有界函數(shù)

? ?無界性：存在一個(gè)函數(shù)值為無窮大，則為無界函數(shù)

4.極限知識(shí)點(diǎn)：

? ?重點(diǎn)：極限三性質(zhì)、極限存在兩準(zhǔn)則、無窮小的比較、無窮小量和有界變量之積的極限為無窮小量

? ?數(shù)列極限：數(shù)列Xn隨n無限增大，Xn無限接近a

? ?定義：任意ε>0，存在正整數(shù)N>0，當(dāng)n>N時(shí)，有|Xn-a|<ε，則Xn趨于∞的極限為a

? ?幾何意義：Xn接近極限的點(diǎn)都在a點(diǎn)的ε鄰域內(nèi)，僅前N個(gè)有限的點(diǎn)則在鄰域外（數(shù)列的極限與前N個(gè)點(diǎn)無關(guān)）

? ?數(shù)列極限的充要條件：數(shù)列分出來的奇偶數(shù)列的極限相等且等于數(shù)列的極限

? ?函數(shù)極限

? ?1）自變量趨于無窮

? ? ? 概念：隨x無限增大，函數(shù)無限接近A

? ? ? 定義：任意ε>0，存在X>0，當(dāng)|x|>X時(shí)，有|f（x）-A|<ε，則f（x）的極限為A

? ? ? 函數(shù)極限的充要條件：左右極限存在且相等

? ? ? 推廣：函數(shù)極限存在且為A，即數(shù)列極限存在且為A

? ?2）自變量趨于有限值

? ? ? 概念：隨x無限接近x0，函數(shù)無限接近A

? ? ? 定義：任意ε>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，有|f（x）-A|<ε，則f（x）的極限為A

? ? ? 函數(shù)極限的充要條件：左右極限存在且相等

? ? ? 幾何意義：f（x）在x0鄰域的內(nèi)的點(diǎn)都集中在y=A-ε和y=A+ε兩個(gè)直線之間

? ? ? 函數(shù)極限的充要條件：左右極限存在且相等

? ? ? 注意：函數(shù)極限與x=x0點(diǎn)無關(guān)，與f（x0）無關(guān)

? ?極限三性質(zhì)

? ?有界性：數(shù)列收斂必有界；函數(shù)有極限，則局部有界

? ?保號(hào)性（重點(diǎn)）：極限和極限附近的數(shù)值的正負(fù)性相互決定

? ? ?1）A ＞或＜0，則數(shù)列Xn（或函數(shù)f（x））＞或＜ 0

? ? ?2）數(shù)列Xn（或函數(shù)f（x））≥或≤ 0，則A ≥或≤ 0

? ?極限與無窮小關(guān)系：limf（x）= A 的充要條件是 f（x）= A + α（x），且limα（x）=0

? ?幾何意義：函數(shù)f（x）可分解為變量部分（無窮小函數(shù)α）+ 常數(shù)部分（極限值A(chǔ)）

? ?極限存在兩準(zhǔn)則

? ?夾逼定理：xn≤yn≤zn，且xn和zn的極限等于a，則yn的極限也等于a

? ? （數(shù)列和函數(shù)都有相應(yīng)的夾逼定理）

? ? （題型：專用于求n項(xiàng)和數(shù)列極限）

? ?單調(diào)有界必有極限：

? ? ?1）單調(diào)增且有上界數(shù)列必有極限

? ? ?2）單調(diào)減且有下界數(shù)列必有極限

? ? （題型：專用于求遞推關(guān)系的數(shù)列極限）

? ?無窮小量

? ? ?定義：極限為0的函數(shù)f（x）為無窮小量?

? ? ?比較：

? ? ? ?1）無窮小量之比的極限為0，則分子是分母的高階無窮小

? ? ? ?2）無窮小量之比的極限為無窮大，則分子是分母的低階無窮小

? ? ? ?3）無窮小量之比的極限為常數(shù)，則分子是分母的同階無窮小

? ? ? ?4）無窮小量之比的極限為1，則分子是分母的等價(jià)無窮小

? ? ? ?5）無窮小的階：

? ? ? ?無窮小量與另一個(gè)無窮小量的k次方之比為同階無窮小，則該無窮小量是另一個(gè)無窮小量的k階無窮小

? ? ?性質(zhì):

? ? ? ?1) 有限無窮小量之和仍是無窮小量

? ? ? ?2）有限無窮小量之積仍是無窮小量

? ? ? ?3）無窮小量和有界變量之積的極限為無窮小量

? ?無窮大量：

? ? ? 定義：極限為無窮大的函數(shù)f（x）為無窮大量

? ? ? 比較：當(dāng)x趨向正無窮時(shí)，任意正階lnx 遠(yuǎn)小于 任意正階x 遠(yuǎn)小于 任意a>1的指數(shù)函數(shù)

? ? ? 性質(zhì)：

? ? ? ? 1）有限無窮大量之積仍為無窮大量

? ? ? ? 2）無窮大量與有界變量之和仍為無窮大量

? ? ? 有界變量：函數(shù)值在一定范圍內(nèi)波動(dòng)

? ? ? 無界變量：存在某函數(shù)值接近無窮大

? ? ? 無窮大量必為無界變量，無界變量不一定是無窮大量，但無界變量內(nèi)部一定包含無窮大量

? ? ? 無窮大量和無窮小量互為倒數(shù)關(guān)系

5.函數(shù)連續(xù)性知識(shí)點(diǎn)：

? ? 重點(diǎn)：間斷點(diǎn)的分類判斷、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

? ? 連續(xù)的定義：

? ? ? 1）在點(diǎn)x0處，Δx趨向0，Δy趨向0,則函數(shù)在x0處連續(xù)

? ? ? 2）該點(diǎn)處的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值

? ? 連續(xù)的充要條件：左連續(xù)且右連續(xù)

? ? 間斷點(diǎn)的定義：不連續(xù)的點(diǎn)為間斷點(diǎn)

? ? 分類：

? ? 第一類間斷點(diǎn)：（左右極限存在）

? ? ? 1）可去間斷點(diǎn)：左右極限存在且相等的間斷點(diǎn)

? ? ? 這種就是在連續(xù)函數(shù)上把點(diǎn)挖走，讓它取其他函數(shù)值

? ? ? 2）跳躍間斷點(diǎn)：左右極限存在但不相等的間斷點(diǎn)

? ? ? 這種常見就是分段函數(shù)的斷點(diǎn)

? ? 第二類間斷點(diǎn)：（左右極限至少有一個(gè)不存在）

? ? ? 1）無窮間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)無窮大的間斷點(diǎn)

? ? ? 這種就是屬于有無窮大函數(shù)值的點(diǎn)

? ? ? 2）振蕩間斷點(diǎn)：該點(diǎn)處無定義但鄰域有定義，且該點(diǎn)處左右極限不存在（不是無窮大），且在該點(diǎn)附近函數(shù)值波動(dòng)

? ? ? 標(biāo)志性函數(shù)：sin（1/x）

? ? ?

? ? 初等函數(shù)連續(xù)性：

? ? ? 1）基本初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)

? ? ? 2）函數(shù)的加減乘除四則運(yùn)算保留連續(xù)性

? ? ? 3）函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算保留連續(xù)性

? ? ? 總結(jié)：初等函數(shù)有局部連續(xù)性 —— 要么在定義域上連續(xù)，要么在其某個(gè)定義區(qū)間上連續(xù)

? ? 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

? ? ? 1）最值定理：? ? ?閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大最小值

? ? ? 2）有界性定理：? 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有界（這個(gè)界的數(shù)值就是最大或最小值的數(shù)值）

? ? ? 3）介值定理：? ? ?閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的自變量可以取到介于最大最小值間的任意值

? ? ? 4）零點(diǎn)定理：? ? ?閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)左右兩邊的函數(shù)值異號(hào)

? ? ?（常用于求方程根）