第一次數(shù)學危機、無理數(shù)、π
事物是由數(shù)構(gòu)成的，這是畢達哥拉斯派所認為的世界之本原?？赡苡腥藭蓡?，為什么不稱他們學派？很多人不知道的是 ，畢達哥拉斯即是一個數(shù)學學派的創(chuàng)始人，也是一個宗教派別的創(chuàng)始人。畢達哥拉斯宗派產(chǎn)生于人們對深沉的精神宗教的渴望，這種宗教可以提供手段來凈化靈魂并保證它不朽。[1] ?畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)在算數(shù)與幾何之間有一種關(guān)系：作為點的一；一條線段上的兩個端點表示二；三個點（不共線）又可以決定一個平面...... 數(shù)量和大小之間的相關(guān)性對于那些愛為宇宙中的結(jié)構(gòu)和秩序?qū)ふ乙?guī)則的人來說，是一個非常好的安慰。畢達哥拉斯定理就是最好的佐證[2] ?在如此巨大的發(fā)現(xiàn)下，哲學界和科學界似乎都興興向榮，但是一個“異端”出現(xiàn)了......
芝諾悖論所帶來的
當今，芝諾本人的著作早已消失在歷史的長河中，我們當今熟知的（兩分法悖論、阿基里斯悖論、飛矢不動、運動場悖論)則是記載在亞里士多德的《物理學》中，并被亞里士多德與后人成功解釋完畢，但是芝諾悖論從根本上質(zhì)疑并挑戰(zhàn)了畢達哥拉斯學派所一直貫徹的度量和計算方式。并為后續(xù)數(shù)學的發(fā)展，打下了基礎(chǔ)。
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)
把時針撥回現(xiàn)在，當代教育下，為了方便學生們的理解，便引入了“數(shù)軸”這種模型來認識數(shù)。我們最先認識到的數(shù)是自然數(shù)--N *，即0、1、2、3、4......這樣數(shù)下去的0和正整數(shù)。在講述正整數(shù)的概念時，我們又分別引出了兩個和它性質(zhì)各有不同的概念，即負數(shù)（第二次數(shù)系的擴充）和分數(shù)、小數(shù)（第一次數(shù)系的擴充）。我們采用在數(shù)軸上標出點的位置以表示點的大小，隨著負數(shù)和分數(shù)、小數(shù)概念的引入，老師們總會問上一句：”數(shù)軸上的點越來越密， 似乎 ?已經(jīng)將數(shù)軸填滿了，真的填滿了嗎？“
畢達哥拉斯學派，這個曾今輝煌的學派也止步于此，畢達哥拉斯認為：
世界上只存在整數(shù)與分數(shù)，除此之外沒有別的什么數(shù)了。
但就像矛和盾一樣，完美無瑕的畢達哥拉斯定理的矛，終會捅破萬物都是”有理數(shù)“的盾，他的門徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)，當一個正方形的邊長為1時，對角線的長度無法表示成一個分數(shù)的形式。這一發(fā)現(xiàn)，推翻了學派的理論，觸動了整個學派的根基，引起了恐慌。學派封鎖了該項發(fā)現(xiàn)，并嚴厲打壓，但希帕索斯將自己的發(fā)現(xiàn)透露出去。為了躲避極刑的懲罰，他只好出逃。不幸的是，幾年后他被學派忠實信徒認出，葬身赫勒斯旁海峽。
無理數(shù)
從有理數(shù)集 Q ?到實數(shù)集 ?R ? ? ? ? ? ? ? ? ?
那么，有理數(shù)和無理數(shù)的差別到底在哪呢？我們不如返回到畢達哥拉斯的視角，他認為只有整數(shù)和分數(shù)是數(shù)，這已經(jīng)和有理數(shù)的范圍很接近了。應(yīng)為那是還沒有負數(shù)的概念，負數(shù)的概念要到魏晉時期的劉徽才給出準確定義。那么加上負數(shù)的這一部分，我們終于填滿了有理數(shù)域。這里我們直接給出有理數(shù)（λογο?，成比例的數(shù)）的定義：可以表達為兩個整數(shù)比的數(shù)。
有了定義以后我們便可以開始證明為什么根號2不是有理數(shù)了。證明這種有關(guān)定義的問題，又是這種是非問題，很容易就能讓人聯(lián)想到利用反證法。有趣的是，不但證明一個無理數(shù)是無理數(shù)的時候我們需要用到反證法，在我們證明π是超越數(shù)這個命題的時候我們還要用到反證法。興趣濃厚的讀者可以看看這篇科普，從無理數(shù)的定義一直講整理到π是超越數(shù)的證明：如果是真心想弄懂呢，可以把知乎上這個問題下的所有回答都看一遍，我保證你肯定能有所收獲。就算不能學到實打?qū)嵉臄?shù)學知識，也能感悟到人外有人，天外有天嘛，說不定你還能從中找到生活中新的樂趣呢。
而根號2是無理數(shù)的證明過程大家可以參照這個博主的視頻：
在這之后，無理數(shù)和有理數(shù)合稱作實數(shù)，人們將實數(shù)作為一個整體，給出了實數(shù)定義和性質(zhì)，并在之后成為與虛數(shù)相對的數(shù)學概念。
”現(xiàn)在，數(shù)軸上終于被無數(shù)個點充滿了?！袄蠋焸円话銜p松寫意的再加上這句話，但是，怎么填滿的呢？
怎么進行第三次數(shù)系的擴充
今天我們習以為常含無理數(shù)的運算，在一開始，是如何融入之前的體系中去呢？首先要說明的是，我們是在運算法則不變的情況下進行數(shù)系的擴充的，數(shù)系的擴充又如下幾條原則：
①擴充的目的:在原數(shù)集中某種運算不封閉，在擴充后的新數(shù)集中該運算封閉;
②擴充后的集合要擴大:進行的每一次擴充都是從一個較小的原數(shù)集擴充到一個較大的新數(shù)集,且使得原數(shù)集是新數(shù)集的一部分;
③保持原有的運算:進行擴充時,要使原數(shù)集中所能夠進行的運算在新的數(shù)集中有意義,并且當把原數(shù)集中的數(shù)看成新數(shù)集中的數(shù)進行運算時,其結(jié)果應(yīng)與它們在原數(shù)集中所得到的結(jié)果完全相同;
④擴充的最小性與唯一性:要使擴充后的新數(shù)集是原數(shù)集滿足以上的①、②、③原則的最小擴充，并且該擴充是唯一的。
這些東西看起來高深莫測,我來舉幾個例子加深理解吧:
①封閉性是指什么呢?好比有理數(shù)運算的封閉性:有理數(shù)在四則運算下只能得到有理數(shù),等到將數(shù)系擴充到實數(shù)以后,即實數(shù)的四則運算只能得到實數(shù).
②這一點很好理解了嘛,例如有理數(shù)是實數(shù)的子集咯
③和我們所習慣的那樣,從有理數(shù)發(fā)展到實數(shù)的時候,那加減乘除法則不還是照用嘛.
就是考試題越出越難了(這句劃掉)④這就是告訴你,飯得一口口吃,如果一下從整數(shù)跳到實數(shù),那樣就會有很多數(shù)的定義和性質(zhì)以及一些通性都難以尋覓
第一次數(shù)學危機的結(jié)束
經(jīng)由此役，人們終于算是完全解決了第一次數(shù)學危機，第一次數(shù)學危機帶來的影響是深遠的,它象征著希臘數(shù)學的改變，自此走上完全不同的發(fā)展道路：
幾何學的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學開始在希臘數(shù)學中占有特殊地位。同時也反映出，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學體系。這是數(shù)學思想上的一次革命，是第一次數(shù)學危機的自然產(chǎn)物。
但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄弱。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年。［３］
當然了，此后還會有第二次、第三次數(shù)學危機，他們雖然解決的問題表面上看起來并不相同，但實際上都是直指數(shù)學根本根基的問題。前人的成果推動了數(shù)學的發(fā)展，也同樣為我們提供更復雜的角度，更尖銳的視角去拷問本質(zhì)。用悖論提出問題，促使人們?nèi)セ卮?，讓思考一直在路上。至于提出悖論的人，例如芝諾，唔，由于篇幅原因就不贅述了。不過他的悖論也是第二次數(shù)學危機的由頭呢。
π
兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)說了那么多，終于講到π了，今天是３月１４日，正好是圓周率π的整數(shù)部分和它的小數(shù)點后兩位，所以又稱今天為π日。同時，今天也是愛因斯坦的誕辰以及霍金和馬克思的忌辰。在緬懷思想家和科學家時，我們依舊不能忘記他們所留下的思想和成果，還有科學的精神，那是每一個科學家都共有的。所以，在今天，我們不妨看一看有關(guān)于π的、前人的成果。
π的定義為圓周長與圓直徑之比，這使我們可以直接但不準確地對圓進行測量，抑或?qū)ζ溥M行精確而但卻毫無意義的計算。
π的發(fā)現(xiàn)
人們是怎么發(fā)現(xiàn)π的呢？我們又是怎么知道π近似于3.14...的呢
很可惜，《物理學家》雜志早在2018年8月24日發(fā)文稱：
很遺憾，π的使用時間比歷史上的記載時間還要早，所以，這個問題沒人能解答。
π的計算史和π的計算方法
既然沒有辦法追究其發(fā)現(xiàn)，我們不如去看一看計算π的歷史和一些計算方法吧。在計算π這件事的歷史上，東方人還真的能和西方人打個有來有回。
祖沖之是最早計算出圓周率的人，祖沖之算出圓周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之間，即精確到了小數(shù)點后第7位。
除此之外，劉徽
（沒錯，就是那個精確定義負數(shù)的劉徽)的“割圓法”可以說是古代人解決求圓周率問題的妙計之一，就連阿基米德都使用了這種方法，可惜的是他最終死在了無名士兵的刀下，一顆巨星就此隕落......
現(xiàn)代計算機的出現(xiàn)，大大加快了計算的速度，準確數(shù)字越來越多，前輩們的計算結(jié)果與現(xiàn)在的相比雖然不值一提，但我們不能忘記，沒有他們的計算，就不會有我們的今天。
注：后面的部分會有以計算機算法在圓周率計算上的實現(xiàn)，所以我在此就不再贅述了。
關(guān)于π的各種不可思議
我個人嘛，是一個的忠實粉絲,在這一部分的結(jié)尾，我也不再關(guān)公面前舞大刀了，所以我整理了有關(guān)π的一些很燒腦但是又很有趣的3B1B的視頻，由衷地希望各位讀者們能夠發(fā)自真心的感受到數(shù)學之美
[1]、[2] 西方哲學史 第九版 斯通普夫著
[3]資源來自網(wǎng)絡(luò)
