//上次我們使用Mathematica數(shù)值模擬了自由剛體的轉(zhuǎn)動過程。

//這里我們介紹相對完整的理論分析。

之前已經(jīng)提過，對于固連在剛體上的Oxyz坐標(biāo)系，角速度滿足的微分方程組：

結(jié)合歐拉運動學(xué)方程

原則上可解非對稱陀螺的運動。但是直接暴力求解相當(dāng)困難，這里我們可以首先寫出角動量和能量積分。總能量守恒：

雖然在固連在剛體的Oxyz系，角動量方向會變化，但模長仍然不變：

可以把動能也用角動量分量表示：

為了進(jìn)一步推進(jìn)，我們引入相空間：坐標(biāo)軸為角動量的三個分量，與真實空間沒有關(guān)系。相空間的每個點表示剛體的角動量矢量的一個值。

我們注意到，角動量積分在相空間是一個半徑L的球面，而能量積分則得到一個橢球面。球面和橢球面的交線就是剛體的整個運動過程中，角動量必須處在的相空間中的曲線。不同的曲線代表不同初值下剛體的運動。

我們不妨改變球面半徑(這相當(dāng)于改變初值)，得到橢球面和不同球面的交線族：

不難根據(jù)目前的結(jié)果做出一些推斷：

結(jié)論1 非對稱陀螺的運動總是周期性的，這是因為前面得到的交線總是封閉曲線。

結(jié)論2 (Dzhanibekov定理)非對稱陀螺繞轉(zhuǎn)動慣量最大、最小的軸轉(zhuǎn)動在微擾下穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。從上圖就可以看出，曲線族在其中兩個主軸附近均能形成閉合曲線，這意味著當(dāng)初始角動量在這兩個軸附近時，整個運動過程角動量都只會指向軸附近，體現(xiàn)為穩(wěn)定轉(zhuǎn)動；而在剩下一個軸附近所有曲線都遠(yuǎn)離這個軸，所以任意微擾都會導(dǎo)致Dzhanibekov效應(yīng)。

繼續(xù)，我們嘗試對方程進(jìn)行求解。直接從能量和角動量積分中暴力消去其中兩個角速度：

然后代入

得到...

然后，分離變量，積罷！

當(dāng)然，這是一個橢圓積分...還是稍微處理一下吧，不妨設(shè). 定義幾個量如下：

然后，就能得到...

這是橢圓積分的標(biāo)準(zhǔn)形式，得到雅可比橢圓函數(shù)：

再然后，就可以寫出

其中，.

前面已經(jīng)定義了tau，所以就解完了。

以及，非對稱陀螺運動的周期是

其中，

所以，解這玩意還真麻煩...

后面該進(jìn)入分析力學(xué)了...點個關(guān)注即可持續(xù)獲取最新白給級物理筆記！