4月19號(hào)講那個(gè)題的時(shí)候。想到了很多，講完題之后說(shuō)了一些話，但是剪輯的時(shí)候又覺(jué)得放在視頻里不太好，就單獨(dú)拿出來(lái)寫(xiě)專(zhuān)欄了。

先說(shuō)一下4月19號(hào)那個(gè)題：

其實(shí)這個(gè)題我把它想復(fù)雜了，人家問(wèn)的是球與平面所截得的曲線長(zhǎng)，我理解是球與那個(gè)三角形所截得的曲線長(zhǎng)了。

那么由這個(gè)題目我就聯(lián)想到了2023-01-20的題目，這個(gè)題目的交線就不是一個(gè)整圓，而是幾段弧長(zhǎng)，所以是要確定圓心的位置的：

所以從一開(kāi)始，向量法我就不看好，因?yàn)槲蚁胝业綀A心的位置……

然后我就開(kāi)始思考幾何方法了，畢竟在b站做了這么多立體幾何的題目了，我向來(lái)都是提倡先用幾何法做題，而不是拿到題目就建系。

這些技術(shù)細(xì)節(jié)就不多說(shuō)了，總之就是我最后還是用了補(bǔ)全法：

那用到補(bǔ)全法，就引出來(lái)了一個(gè)問(wèn)題：

在立體幾何分類(lèi)中，補(bǔ)全法是否可以單獨(dú)拿出來(lái)作為一個(gè)題型？

下個(gè)月即將更新的每日一題立體幾何分類(lèi)是這么分的：

但是這里面的一些題目，也用到了補(bǔ)全法，比如前幾天剛講的滁州二模的一個(gè)特殊體體積的題目：

這本來(lái)不是什么大不了的事兒，但是我就想嘮叨嘮叨。

補(bǔ)全法可以出現(xiàn)在外接球題型中，比如我們常見(jiàn)的墻角模型求外接球，原理其實(shí)就是把墻角模型補(bǔ)成了長(zhǎng)方體。

還有對(duì)棱相等的三棱錐，也是補(bǔ)成長(zhǎng)方體，之前講的那個(gè)浙江高考真題就是這么做的：

但是這個(gè)題目分類(lèi)分到了“非常規(guī)方法解線面角、二面角”中。

還有講大題的線面角的時(shí)候，也曾用過(guò)補(bǔ)全法優(yōu)化計(jì)算：

我們?cè)谶x修三學(xué)過(guò)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，那么可以看出來(lái)我這里的分類(lèi)其實(shí)是用了兩套標(biāo)準(zhǔn)的：

“外接球”“最值問(wèn)題”“截面交線問(wèn)題”“證明題”這些分類(lèi)是按照題目要解決的問(wèn)題分類(lèi)的。

“幾何法解線面角二面角”、“非常規(guī)方法解線面角二面角”是按照解決問(wèn)題的方法分類(lèi)的。

如果把“補(bǔ)全法”單獨(dú)做一個(gè)分類(lèi)，自然是按照后者的思路分類(lèi)。

補(bǔ)全法不單獨(dú)拿出來(lái)講，我們講題的思路就變成了：

“你看，解決外接球問(wèn)題是要用到很多種方法來(lái)做的”。

補(bǔ)全法單獨(dú)拿出來(lái)講，我們講課的思路就變成了：

“你看，這個(gè)方法是可以解決這么多問(wèn)題的”。

說(shuō)了這么多題目細(xì)節(jié)，到現(xiàn)在可以點(diǎn)題了：

我們?cè)趯W(xué)新課的時(shí)候，墻角模型是非常容易接受的東西，這個(gè)補(bǔ)全法的原理也是對(duì)應(yīng)著課本上“組合體”的定義。

那為什么到了高三一輪復(fù)習(xí)的時(shí)候，怎么就變得這么難了呢，為什么我做題的時(shí)候就想不到補(bǔ)全呢？

要解答這個(gè)問(wèn)題，可以拿一個(gè)更為典型的知識(shí)點(diǎn)來(lái)類(lèi)比——基本不等式。

我們高一的時(shí)候?qū)W基本不等式，就那么幾個(gè)變形方法，就那么幾種考察形式。題目就是純粹的不等式題目。

但是學(xué)過(guò)兩年高中數(shù)學(xué)之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，基本不等式可以出現(xiàn)在任何最值題目中：解三角形、解析幾何、導(dǎo)數(shù)……

不能說(shuō)你在做圓錐曲線最值問(wèn)題的時(shí)候，你沒(méi)想到最后那步求最值是可以配湊均值不等式的，就單純是因?yàn)槟銓W(xué)基本不等式的時(shí)候，沒(méi)學(xué)明白。

回到立體幾何這里也是一樣的，我們知道長(zhǎng)方體上加一個(gè)正方體，或者長(zhǎng)方體里挖一個(gè)正方體，都叫做組合體，但是我們學(xué)新課的時(shí)候，很少會(huì)做到需要還原本來(lái)形狀的技巧。所以當(dāng)一輪二輪的做到上面那些題的時(shí)候，你想不到把幾何體補(bǔ)全的方法，也是正常的。

只能說(shuō)當(dāng)時(shí)學(xué)新課時(shí)理解的深刻程度是還有進(jìn)步空間的。

所以這里主要還是一個(gè)銜接的問(wèn)題，我們學(xué)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，只是單純學(xué)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的題目的話，那么對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解是很單薄、很淺見(jiàn)的。一輪復(fù)習(xí)的時(shí)候，一個(gè)知識(shí)點(diǎn)可能有好多種考法，這些考法都會(huì)了，理解自然也就深刻了。

當(dāng)然還有一個(gè)問(wèn)題就是高考數(shù)學(xué)的深度太深了，很多題目都是綜合題目，對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)的要求很高。但是這個(gè)問(wèn)題是我們所不能解決的，所以不討論這個(gè)。

那么既然如此，假如你現(xiàn)在是一個(gè)高一高二學(xué)生的話，就得意識(shí)到這個(gè)事兒，那就是一輪復(fù)習(xí)并不是讓你從頭再學(xué)一遍基礎(chǔ)的，而是在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上再提高，把很多可關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)，理解的更深刻一些。

所以不要妄想高一高二輕松一點(diǎn)，反正還有高三一輪復(fù)習(xí)，到時(shí)候再努力就行了。

實(shí)際上你高一高二學(xué)得沒(méi)那么好的話，到了高三也沒(méi)時(shí)間精力學(xué)難題、綜合題的。

要想高三能突破，高一高二的基礎(chǔ)必須打牢，打好基礎(chǔ)意味著你在學(xué)新課時(shí)的考試，那些典型的壓軸題，你得會(huì)個(gè)60%以上。

如果高一高二時(shí)，遇到壓軸題就直接跳過(guò)，那么哪怕你每次考試都能基礎(chǔ)分滿(mǎn)分，即110分左右，這也是不夠你在高三突破130的。

所以高一高二的同學(xué)們，現(xiàn)在就開(kāi)始努力起來(lái)，不要幻想一輪復(fù)習(xí)能讓你脫胎換骨，先把自己當(dāng)做是普通人看待，而不是把自己當(dāng)做可以一年之內(nèi)、半年之內(nèi)逆襲的那種神仙。