技巧總結(jié)|立竿頂端影子軌跡速判規(guī)律

核心速覽：優(yōu)美的“立竿見影”軌跡

在大家最常見的非極晝地區(qū)，立竿頂端影子軌跡規(guī)律為：

①直射點在北半球時，軌跡為開口朝南的一支雙曲線；

②直射點在赤道時，軌跡為一條東西向直線；

③直射點在南半球時，軌跡為開口朝北的一支雙曲線。

雙曲線開口朝向取決于直射點所在半球，與直射點所在半球方向相反。

同學們可根據(jù)竿影軌跡形態(tài)快速判斷直射點所在半球與季節(jié)。

一、? “竿影軌跡”的錯誤亂象

“立竿見影”觀測是一項很重要的實踐活動，常被作為地理中地球運動類知識考察的命題情景素材。但在很多教輔資料、試題及地理課堂教學中，立竿頂端影子軌跡繪制存在很多主觀隨意性，出現(xiàn)了不少不嚴謹甚至明顯錯誤的圖像。而這些錯誤圖像，又被當做正確的規(guī)律總結(jié)記憶，進而造成了錯誤的持續(xù)傳播。例如下列很多師生很熟悉的軌跡圖像。

二、? 近年來“竿影軌跡”部分研究

錯誤存在的同時，也有教師通過實踐觀測以及計算模擬等方法，總結(jié)出了竿影軌跡的科學形態(tài)，并在雜志上撰寫發(fā)表了相關(guān)文章。例如：

1.2010年數(shù)學汪和平老師在《探究日影運動軌跡》中通過數(shù)學計算，給出了影子軌跡方程的表達式，同時討論分析了軌跡曲線的地理意義，給出了軌跡直線、雙曲線、拋物線、橢圓和圓五種形態(tài)[1]。

2.2013年吳濟廉老師在《影端軌跡周年變化的實踐與分析——以北溫帶地區(qū)為例》文中總結(jié)，除二分日之外，其余日期的軌跡圖都是雙曲線中的一條（圖4），并且在校園觀測實踐中也驗證了上述結(jié)論（如下表）[2]。

3.2014年崔亞飛老師（本文作者）也在《秋分日校園日影軌跡觀測實踐及思考》文中通過校園觀測實踐總結(jié)：秋分日天津地區(qū)日影軌跡為一條東西向直線（圖5），并通過天文軟件模擬出天津地區(qū)二分二至日日影軌跡圖像，清晰顯示為雙曲線和直線（圖6）[3]。

4.葛云保先生在《誰見過地球繞著太陽轉(zhuǎn)》一書（圖7）中也給出了北溫帶二分二至日立竿影子掃描出的圖案，也為雙曲線和直線（圖8）[4]。

5.2022年鐘華老師在《信息技術(shù)在地球運動試題解析中的應用——以“竿影軌跡”為例》中通過編程軟件圖像模擬（圖8、9），更全面地呈現(xiàn)了直線、雙曲線、拋物線、橢圓和圓五種軌跡形態(tài)[5]。

對太陽和影子的觀測是古代天文觀測的重要內(nèi)容，所以立竿影子軌跡規(guī)律以及計算方法在天文學上都是科學結(jié)論和公式，也是各類天文軟件的運行的底層原理，只不過對于師生來說天文學比較難，因看不懂而陌生。在地理學科中，前輩的地理教師憑借經(jīng)驗簡化處理，進而概括出了不符合實際但很容易理解的錯誤規(guī)律，且廣泛傳播。其實，“立竿見影”軌跡規(guī)律概括起來不僅不復雜，并且圖像還絲滑優(yōu)美。

三、??優(yōu)美的“立竿見影”軌跡

在師生最常見的非極晝區(qū)域，立竿頂端影子軌跡特征概括為：

直射點在北半球時，軌跡為開口朝南的一支雙曲線；

直射點在赤道時，軌跡為一條東西向直線；

直射點在南半球時，軌跡為開口朝北的一支雙曲線。

雙曲線開口朝向取決于直射點所在半球，與直射點所在半球方向相反。

同學們可根據(jù)竿影軌跡形態(tài)快速判斷直射點所在半球與季節(jié)。

圖10中顯示立竿高度為1m時，45°N上二分二至日立竿頂端影子軌跡的示意圖，其中紅色虛線代表夏至日和冬至日日出日落方位。

對于一年中的其它日期，軌跡曲線介于冬至和夏至日曲線之間，越接近二至日，曲率越大；越接近春秋分，曲率越小，越接近直線。

如果考慮到高緯度極晝的特殊情況，地理位置從非極晝區(qū)域--極晝邊界--極晝區(qū)域--極點移動，軌跡曲線則呈現(xiàn)雙曲線--拋物線--橢圓--正圓的過渡變化。

四、??竿影軌跡規(guī)律的可視化

利用計算機技術(shù)實現(xiàn)軌跡圖像表達，更有助于大家理解上述規(guī)律，下面提供兩個輔助工具。大家可以自己操作實踐，任意設(shè)置參數(shù)，看圖像的變化或者參考下方視頻。

1.幾何畫板實現(xiàn)圖像可視化

這是2015年天津市耀華中學高一九班的孫雨辰同學的作品。他利用幾何畫板軟件實現(xiàn)了太陽視運動軌跡、立竿頂端影子軌跡圖像的繪制。你可以調(diào)節(jié)直射點緯度、所在點緯度、竿長等參數(shù)，觀察軌跡的變化，立體直觀形象。本文件你可以掃描二維碼獲取，自己操作體驗。

戳一戳下方蝸牛為你準備的視頻講解，揮手和錯誤的日影軌跡告別，牽手優(yōu)美的日影曲線吧。

2.Desmos網(wǎng)頁編程可視化表達

這是浙江省春暉中學鐘華老師的學生陳皓塏同學的作品。他利用網(wǎng)頁編程實現(xiàn)了立竿頂端影子軌跡圖像的科學繪制。你可以調(diào)節(jié)直射點緯度、所在點緯度、竿長等參數(shù)，觀察軌跡的變化，平面坐標中繪制圖像，科學準確。你可以掃描二維碼自己操作一下。

五、??關(guān)于錯誤認知產(chǎn)生原因的思考

▼紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。在我和學生們2014年做秋分日觀測實踐之前，我也從來沒有意識到以前的認知是錯誤的。無論是自己中學時代的做題解題，還是教學生涯的前幾年的授課和交流，均沒有對此產(chǎn)生異議，甚至也從未查閱過相關(guān)的資料，都是代代”心口相傳“的經(jīng)驗。這可能是目前部分地理教師、學生、試題命制者依舊所處的狀態(tài)。

反思一下，我覺得以下兩個因素可能是造成錯誤認知的主因。

1.定量分析思維的短板

我們在總結(jié)地理規(guī)律時，多用的是定性分析思維。例如太陽高度和影子長短的是相反的關(guān)系，我們多關(guān)注長短變化，但是對長度具體數(shù)值，卻很模糊。二者之間的函數(shù)關(guān)系，也是我們平時學習的短板，因此我們僅是根據(jù)長短關(guān)系，信手繪制了圖像。例如前文圖1的軌跡是符合一天中影子由長變短，正午最短，然后由變長的規(guī)律的，但是在中午前后卻出現(xiàn)了兩個峰值。這種奇怪的”突變“，不是什么特殊規(guī)律，而單單是圖像畫錯了而已。

2.對于日出日落時影子的理想化處理

高中地理對于日出日落太陽方位學習的較多，所以我們看到日影軌跡兩端，就想當然地認為是日出日落時候的影子。例如我們在總結(jié)北溫帶春秋分規(guī)律時，就常說日出時影子最長朝向正西，正午時影子最短朝北，日落時影子最長朝向正東。但是對于影子的長短并沒有數(shù)值的概念，因此就很容易繪制出下面”看似正確“的錯誤圖像。

同樣當我們看像時，也很容易根據(jù)兩側(cè)影子方位，推測出日出東北日落西北，進而做出是夏至日附近的圖像的錯誤判斷。而實際上，才是春秋日附近的影子軌跡。

日出日落時，太陽高度角基本為零，物體影子理論無限長，此時根本就看不到影子頂端。只有當太陽有一定高度，物體明顯的影子才會出現(xiàn)在我們的可觀測范圍內(nèi)，此時影子朝向就不是日出日落方位的反方向了。所以，我們能觀測到的軌跡，只是其中的一部分，兩端不能代表日出日落的影子位置。

六、?太陽歷廣場--太陽運行規(guī)律的科普設(shè)施

太陽歷廣場是根據(jù)太陽周日視運動和周年視運動特征而實地設(shè)計和建造的具有實實在在測量、演示功能的大型地面廣場，既可以作為天文科普設(shè)施，又可以作為地理教具，還可以作為城市的科學創(chuàng)意建筑。近些年來，一些中國城市和學校，都修建了規(guī)模不等的太陽歷廣場（圖17、18、19 ） 。通過太陽歷廣場，人們可以更直觀地體會到影子的運行規(guī)律。

以中國某校學校太陽歷廣場（圖20）為例，對太陽歷廣場做基本介紹。

1.9根石柱

中間的石柱是當于“立竿見影”中的竿，其頂端影子會落入地面紅色區(qū)域。正北和正南方2根石柱指示南北方向。剩余6根石柱代表二分二至日的日出日落方位，如圖20所示。

需要提醒的是：
（1）夏至日日出日落的石柱位置，在紅色區(qū)域內(nèi)，不在區(qū)域的北部邊界處；冬至日日出日落的石柱位置，在紅色區(qū)域外，不在區(qū)域的南部邊界處。其中的原理課參考圖7和圖10中的虛線示意，虛線的意義可類比雙曲線的漸近線。
（2）夏至日日出、冬至日日落和立竿石柱位置理論上在一條直線上；
? ? ? ? 冬至日日出、夏至日日落和立竿石柱位置理論上也在一條直線上；
（3）春秋分的石柱與中間石柱理論上在一條線上。

2.紅色區(qū)域
紅色區(qū)域代表竿頂端影子可能落入的區(qū)域。區(qū)域內(nèi)會有精確的線條。以北京某地太陽歷廣場平面圖（圖21）為例，包括5條竿頂端影子軌跡，分別代表冬至、立春（立冬）、春分（秋分）、立夏（立秋）和冬至；和若干條大致放射狀的時刻線，二者的交點就是當日此時刻影子所在的位置。當然精確的話，還可以設(shè)計更多的日期，比如把二十四節(jié)氣都畫上去。

從這個示意圖中，你也可以進一步觀察一下二分二至日，影子軌跡的直線和雙曲線形態(tài)，還可以印證日日出日落方向石柱的位置特點。

3.黑色區(qū)域

正午時刻正南方的石柱的頂端影子會落入黑色區(qū)域，黑色區(qū)域地面有刻度和日期（二十四節(jié)氣），觀測正午時影子的長短變化來確定季節(jié)的變化。相當于中國古代的天文觀測儀器“圭表”（如圖X），黑色區(qū)域的刻度為“圭”，垂直于地面的石柱為“表”。

七、?小結(jié)

理論上，

東西向直線：全球各地春秋分日日影軌跡形態(tài)；
開口朝南或北的雙曲線：太陽直射北半球或南半球時，全球各地非極晝區(qū)的日影軌跡形態(tài)；
開口朝南或北的拋物線：太陽直射北半球或南半球時，極晝非極晝區(qū)分界緯線上日影軌跡形態(tài)；
橢圓：全球極晝區(qū)域日影軌跡形態(tài)；
正圓；極點極晝時日影軌跡形態(tài)。

一種形態(tài)都對應著一種情景，根據(jù)形態(tài)我們可以快速確定所在地緯度，太陽直射半球等基本信息。

雙曲線、拋物線、橢圓和正圓的過渡，讓日影軌跡充滿著數(shù)學的優(yōu)美感。

參考文獻：

[1]汪和平.探究日影運動軌跡[J].中學數(shù)學月刊,2010(09):29-30.

[2]吳濟廉.影端軌跡周年變化的實踐與分析——以北溫帶地區(qū)為例[J].地理教學,2013(10):57-59.

[3]崔亞飛.秋分日校園日影軌跡觀測實踐及思考[J].地理教學,2014(01):53-55.

[4]葛云保. 誰見過地球繞著太陽轉(zhuǎn)[M]. 科學出版社, 2015.

[5]鐘華,汪為青,張文軍,鐘文芳.信息技術(shù)在地球運動試題解析中的應用——以“竿影軌跡”為例[J].地理教育,2022(12):36-39.

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