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一、案例介紹

某醫(yī)師測量了15名正常成年人的體重（kg）與CT雙腎總體積（ml）大小，數(shù)據(jù)如下表所示。據(jù)此試分析兩變量是否有關(guān)系？其方向與密切程度如何？

二、問題分析

要分析兩個定量數(shù)據(jù)之間是否有關(guān)系以及關(guān)系的方向和緊密程度，可以使用Pearson相關(guān)分析。使用Pearson相關(guān)分析，需要滿足4個條件。

條件1：兩變量均為定量數(shù)據(jù)。

條件2：兩變量之間存在線性關(guān)系，通常使用散點(diǎn)圖進(jìn)行檢驗(yàn)。

條件3：兩變量均沒有異常值。

條件4：兩變量均符合正態(tài)分布。

在本案例中，體重和雙腎總體積均為定量數(shù)據(jù)，滿足條件1；條件2-4需要分別進(jìn)行檢驗(yàn)。

三、軟件操作及結(jié)果解讀

（1）線性關(guān)系檢驗(yàn)

變量之間的線性關(guān)系通常使用散點(diǎn)圖進(jìn)行檢驗(yàn)。散點(diǎn)圖是通過使用兩組數(shù)據(jù)構(gòu)成的多個坐標(biāo)點(diǎn)，判斷兩變量之間是否存在線性關(guān)系。將數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU系統(tǒng)，在【可視化】模塊選擇【散點(diǎn)圖】，將“雙腎總體積”拖拽到右側(cè)“Y定量”分析框中，將“體重”拖拽到右側(cè)“X定量”分析框中，然后點(diǎn)擊開始分析，操作如下圖：

SPSSAU輸出散點(diǎn)圖如下：

從散點(diǎn)圖可以看出，體重和雙腎總體積之間呈現(xiàn)出明顯的線性關(guān)系，隨著體重的增大，雙腎總體積也不斷增大。所以兩變量滿足條件2 存在線性關(guān)系。

散點(diǎn)圖除了查看是否存在線性關(guān)系，還可以查看是否存在異常值；不過通過散點(diǎn)圖判斷異常值具有很強(qiáng)的主觀性，比如上圖圈出來的點(diǎn)，無法做到準(zhǔn)確判斷，而Pearson相關(guān)系數(shù)易受異常值的影響，所以可以選擇通過其他方式檢驗(yàn)異常值，比如箱線圖。

（2）異常值檢驗(yàn)

使用箱線圖可以直觀識別數(shù)據(jù)的異常值，箱線圖由5個點(diǎn)構(gòu)成，分別是最大觀察值、25%分位數(shù)（Q1）、中位數(shù)、75%分位數(shù)（Q3）、最大觀察值，最大觀察值和最小觀察值的定義如下：

最大觀察值=Q3+1.5IQR，IQR=Q3-Q1

最小觀察值= Q1-1.5IQR，IQR=Q3-Q1

如果數(shù)據(jù)存在異常值——大于最大觀察值或小于最小觀察值，SPSSAU將該點(diǎn)以“原點(diǎn)”形式進(jìn)行展示。

在SPSSAU【可視化】模塊，選擇【箱線圖】，將兩變量均拖拽到右側(cè)“分析項(xiàng)(定量)”中，點(diǎn)擊開始分析，操作如下圖：

SPSSAU輸出體重和雙腎總體積的箱線圖如下：

從箱線圖可以看出，體重和雙腎總體積兩變量均不存在異常值，滿足條件3。

若存在異常值，可以通過異常值匯總表格如下圖，查看具體異常值個數(shù)以及異常值數(shù)字，對異常值進(jìn)行刪除等操作。

（3）正態(tài)性檢驗(yàn)

兩變量均需要滿足正態(tài)性，正態(tài)性可以使用多種方式進(jìn)行檢驗(yàn)，比如直方圖、P-P如/Q-Q圖、峰度/偏度、正態(tài)性檢驗(yàn)等。本案例選擇正態(tài)性檢驗(yàn)。在SPSSAU【通用方法】模塊，選擇【正態(tài)性檢驗(yàn)】，將兩變量拖拽到右側(cè)“分析項(xiàng)(定量)”分析框中，然后點(diǎn)擊開始分析。操作如下圖：

SPSSAU輸出正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果如下：

從上表可知，針對體重、雙腎總體積進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，樣本量為15<50，所以使用Shapiro-Wlik正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果，具體來看，體重、雙腎總體積正態(tài)性檢驗(yàn)對應(yīng)p值均大于0.05，未呈現(xiàn)出顯著性，說明接受原假設(shè)（原假設(shè)為數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布），即兩變量均服從正態(tài)分布，滿足條件4。

綜上所述，本案例數(shù)據(jù)滿足使用Pearson相關(guān)分析的條件，可以進(jìn)行Pearson相關(guān)分析。

（4）Pearson相關(guān)分析

①相關(guān)系數(shù)計算

Pearson相關(guān)分析使用相關(guān)系數(shù)描述變量之間的相關(guān)關(guān)系，Pearson相關(guān)系數(shù)取值范圍為[-1,1]，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，說明變量之間相關(guān)性越強(qiáng)；絕對值越接近0，相關(guān)性越弱。相關(guān)系數(shù)大于0，代表變量之間存在正相關(guān)；相關(guān)系數(shù)小于0，代表負(fù)相關(guān)。

Pearson相關(guān)系數(shù)的計算公式如下：

r=rac{sum(X-overline{X})(Y-overline{Y})}{sqrt{sum(X-overline{X})^2}sqrt{sum(Y-overline{Y})^2}}

overline{X}=(43+74+51+…+54)/15=59.53

overline{Y}=(217.22+316.18+…+266.104)/15=266.104

sum(X-overline{X})(Y-overline{Y})=(43-59.53)*(217.22-266.104)+(74-59.53)*(316.18-266.104)+…+(54-59.53)*(252.08-266.104)=6301.038

sqrt{sum(X-overline{X})^2}=2555.733

sqrt{sum(Y-overline{Y})^2}=20270.495

r=rac{6301.038}{sqrt{2555.733}sqrt{20270.495}}=0.8754

所以，手工計算得到體重和雙腎總體積的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.8754，說明兩變量之間存在高度正相關(guān)關(guān)系。

接下來，介紹如何使用軟件快速計算相關(guān)系數(shù)。

②軟件計算

在SPSSAU【通用方法】模塊，選擇【相關(guān)分析】，將“體重”拖拽到右側(cè)“分析項(xiàng)X”分析框中，將“雙腎總體積”拖拽到右側(cè)“分析項(xiàng)Y”分析框中，選擇“Pearson相關(guān)系數(shù)”，然后點(diǎn)擊開始分析，操作如下圖：

SPSSAU輸出Pearson相關(guān)分析結(jié)果如下：

從上表可以看出，體重和雙腎總體積之間相關(guān)系數(shù)為0.8754，p<0.0,5，說明兩變量存在顯著正相關(guān)關(guān)系，即體重與雙腎總體積之間存在高度正相關(guān)關(guān)系。

四、結(jié)論

本案例研究體重與雙腎總體積之間的關(guān)系情況，經(jīng)檢驗(yàn)，兩變量均滿足Pearson相關(guān)分析需要滿足的4個條件。使用Pearson相關(guān)分析得到，體重與雙腎總體積之間的相關(guān)系數(shù)為0.8754，p<0.05，說明兩變量之間存在顯著正相關(guān)關(guān)系，即體重越大，雙腎總體積越大。

五、知識小貼士

數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)性怎么辦？

經(jīng)過正態(tài)性檢驗(yàn)，如果兩個變量不符合正態(tài)分布，有以下三種選擇：

①使用Spearman相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析。

②對不服從正態(tài)分布的變量進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，如取對數(shù)等操作，對變換后的數(shù)據(jù)再進(jìn)行檢驗(yàn)。

③繼續(xù)使用Pearson相關(guān)分析，如果對數(shù)據(jù)要求不是太嚴(yán)格，Pearson相關(guān)系數(shù)對不服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)具有一定抗性，可繼續(xù)使用。