常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解通式及推導(dǎo)

2023-10-02 11:31 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過 | 我要投稿

很久沒在阿b寫知識類專欄了，今天就來個硬核的~

引子：

之前看到不少的常系數(shù)線性微分方程的題目，如：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26y''%2Bby'%2Bcy%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bx%7D%5C%5C%0A%26y''%2Bby'%2Bcy%3Dx%5E2%5C%5C%0A%26y''%2Bby'%2Bcy%3D%5Csin%20x%0A%5Cend%7Balign%7D$

基本上右邊的函數(shù)都是諸如指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，多項式函數(shù)之類的，過半都采用的是"觀察法"，也就是揣測出特解的形式，然后設(shè)特解待定系數(shù)求之

但是這樣的解法回避不了一個問題：“要依賴于經(jīng)驗/注意力”。我之前見到此類題也是按上述方法解的，直到我遇到了以下的一道題：

$%7B%5Clarge%20%20y''-y%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%7D%20$

前面的步驟都行云流水，直到最后"求特解"的一步卡殼了！??！

于是對于僅依靠自學(xué)的小菜鳥的知識儲備，瞬間遇到了瓶頸。同時也反思得知，這樣僅依靠經(jīng)驗和觀察解此類題范圍是很局限的，因此筆者嘗試把目標(biāo)直接定到了"一般化"上：推導(dǎo)出特解的一般形式！

萬分幸運的是，我成功聊~??！在網(wǎng)上看到的除待定系數(shù)外，有拉普拉斯(Laplace)變換、微分算子法等求解方法，這幾種方法目前沒學(xué)，有待以后再進一步研究。下面采用的是湊積分因子的推導(dǎo)方法，相信下面的這個方法應(yīng)該相較于前面兩種門檻更低些了

正文：

正好前面有講到線性微分方程特征根的講解，筆者的理解思路雖然奇葩了些，但絕對不會太抽象[滑稽]，讀者可以先翻看之前寫過的這篇文章

深探特征根的奧妙

，以便能良好地銜接~

我們同樣采用的是特征根法，來推導(dǎo) $y''%2Bby'%2Bcy%3Df(x)$ 的通解

通解=齊次通解+非齊次特解，而齊次通解用特征根法可求之，前面的專欄也證明過，此處對"齊次通解"不再贅述，把重點放在求特解上~

設(shè)特征方程 $t%5E2%2Bbt%2Bc%3D0$ 的兩根為 $t_1%2Ct_2$ ，那么方程左邊可以拆成以下的形式：

$%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%7B%20y''-t_1y'%7D%7D%20-t_2(%5Ccolor%7BBlue%7D%7B%20y'-t_1y%7D%20)$ ?or $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%7B%20y''-t_2y'%7D%7D%20-t_1(%5Ccolor%7BRed%7D%7B%20y'-t_2y%7D%20)$ ?

這時，相同顏色對應(yīng)的部分，前者恰為后者的導(dǎo)數(shù)

ps:至于為什么可以拆成以上的形式內(nèi)，前面鏈接中的那篇文章也提到了，所以才說看了前篇文章能很好地進行銜接~

于是令 $u%3Dy'-t_1y%2Cv%3Dy'-t_2y$ ?，則有：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Au'-t_2u%3Df(x)%20%5C%5C%0Av'-t_1v%3Df(x)%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

到此應(yīng)該就非常熟悉了，這就是一階線性微分方程了呀，通解已經(jīng)整出公式的了~

湊積分因子得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_2x%7D(u'-t_2u)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_2x%7Df(x)%20%5C%5C%0A%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_1x%7D(v'-t_1v)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_1x%7Df(x)%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

ps:至于怎么個湊法?也是基礎(chǔ)知識了，可以參考一階線性微分方程通解公式的推導(dǎo)，本來也想在此詳細(xì)寫寫的，但擔(dān)心公式數(shù)目超出阿b專欄機制的限制，所以略過了，這個證明網(wǎng)上都有，讀者可自行查閱

即 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A(%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_2x%7Du)'%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_2x%7Df(x)%20%20%5C%5C%0A(%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_1x%7Dv)'%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_1x%7Df(x)%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

兩邊積分得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_2x%7Du%3D%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_2x%7Df(x)%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%5C%5C%0A%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_1x%7Dv%3D%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_1x%7Df(x)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

由于是求特解，因此右邊的兩個積分取其中一個原函數(shù)即可

把積分因子乘到右邊，然后u,v換回得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ay'-t_1y%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bt_2x%7D%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_2x%7Df(x)%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%5C%5C%0Ay'-t_2y%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bt_1x%7D%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_1x%7Df(x)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

這時將其視為關(guān)于y',y的一元二次方程組，解之即得特解y

大功告成！

對此我們發(fā)現(xiàn)，利用湊積分因子法解 $y''%2Bby'%2Bcy%3Df(x)$ ，關(guān)鍵是解出 $%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_1x%7Df(x)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%2C%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_2x%7Df(x)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20$ 這兩個積分

因此這就是"特解公式"中的重要核心了，這個方法可以推廣到更高階的線性微分方程的求解中(后文會有例題)，也即關(guān)鍵是求出所有不定積分 $%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_kx%7Df(x)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx$ ，其中 $t_k$ 為特征方程的若干個根。

我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，解這種常系數(shù)線性微分方程的題，可以轉(zhuǎn)化為求不定積分 $%5Cboxed%7B%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-t_kx%7Df(x)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D$ 呀！

雖然步驟會有些多，但是是一般化的方法嘛，情有可原！

回到前面的這題 $%7B%5Clarge%20%20y''-y%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%7D%20$

特征方程 $t%5E2-1%3D0%5CRightarrow%20t%3D%5Cpm%201$

于是齊次通解為： $C_1%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bx%7D%2BC_2%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D$

下面再利用上述方法求得特解：

原式變形得： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7By''-y'%7D%7D%20%2B(%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7By'-y%7D%7D%20)%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%20%5C%5C%0A%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7By''%2By'%7D%7D%20-(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7By'%2By%7D%7D%20)%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

湊積分因子得： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5B(%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7By'-y%7D%7D%20)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%5D'%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2B1%7D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%20%20%5C%5C%0A%5B(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7By'-y%7D%7D%20)%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-x%7D%5D'%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2B1%7D%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-x%7D%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

到此，問題轉(zhuǎn)化為求以下兩個不定積分：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AI_1%26%3D%5Cint%20%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2B1%7D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%5Cmathrm%7Bd%7D%20x%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cint%20%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2B1%7D%5Cmathrm%7Bd%7D%20(%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1)%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20(%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

由于是求特解，故+C省略了

$%5Cbegin%7Balign%7D%20I_2%26%3D%5Cint%20%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5C%5C%20%26%3D%5Cint%20%5Cfrac%7B2t%5E2%7D%7B(t%5E2-1)%5E2%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt%20~~%7B%5Ccolor%7BGray%7D%20%7B(t%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%7D)%7D%20%5C%5C%20%20%26%3D%5Cint%20t%20%5Cmathrm%7Bd%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7B1-t%5E2%7D%20)%5C%5C%20%26%3D%5Cfrac%7Bt%7D%7B1-t%5E2%7D%20-%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1-t%5E2%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5C%5C%20%26%3D%5Cfrac%7Bt%7D%7B1-t%5E2%7D%20-%5Ccoth%5E%7B-1%7Dt%5C%5C%20%26%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%7D%20-%5Ccoth%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%5Cend%7Balign%7D$

則 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7By'-y%7D%7D%20%3D%5B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20(%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%7D%5D%5Ccdot%20%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%5C%5C%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7By'%2By%7D%7D%20%3D%5B-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%7D%20-%5Ccoth%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%5D%5Ccdot%20%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bx%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

解關(guān)于y',y的線性方程組并整理得：

$y%3D-%5Cfrac%7B5%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2B2%7D%7B6%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2B1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%5Ccoth%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20$

于是原方程通解為：

$%5Cbbox%5B%23CFF%2C5px%5D%7B%20%5Cbegin%7Balign%7D%20y%26%3DC_1%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2BC_2%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D%5C%5C%20%26-%5Cfrac%7B5%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2B2%7D%7B6%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2B1%7D%5C%5C%20%26-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%5Ccoth%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%20%5Cend%7Balign%7D%7D$

這個方法也可以用在更高階的常系數(shù)線性方程組上，如：

$y'''-6y''%2B11y'-6y%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20$

特征方程 $t%5E3-6t%5E2%2B11t-6%3D0$ 的3根為： $t_1%3D1%2Ct_2%3D2%2Ct_3%3D3$

于是齊次通解為 $C_1%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bx%7D%2BC_2%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B2x%7D%2BC_3%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B3x%7D$

同時原方程可化為：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7By'''-5y''%2B6y'%7D%7D%20-(%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7By''-5y'%2B6y%7D%7D%20)%20%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%5C%5C%20%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7By'''-4y''%2B3y'%7D%7D%20-2(%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%7B%20y''-4y'%2B3y%7D%7D%20)%20%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%20%5C%5C%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7By'''-3y''%2B2y'%7D%7D%20-3(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7By''-3y'%2B2y%7D%7D%20)%20%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

至于為什么能分解成這樣，還是前面的鏈接文章中提及的多項式運算性質(zhì)以及可類比性

湊積分因子得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5B(%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7By''-5y'%2B6y%7D%7D%20)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D%20%5D'%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D%20%20%5C%5C%20%5B(%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%7B%20y''-4y'%2B3y%7D%7D%20)%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-2x%7D%20%5D'%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-2x%7D%20%20%5C%5C%20%5B(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7By''-3y'%2B2y%7D%7D%20)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-3x%7D%20%5D'%20%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-3x%7D%20%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

分別求積分 $%5Cint%20%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2C%5Cint%20%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-2x%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2C%5Cint%20%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%2B1%7D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-3x%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

再將積分因子乘到右邊，最后解3元一次線性方程組即得特解y

運算有些大，且有公式數(shù)目限制，這里就不詳細(xì)解了，通過WA驗證3個積分都是有初等解的，因此原方程一定也是初等解。掌握解題思路即可

掌握了這其中一種普適的方法，我們再上幾道開胃菜

$y''-3y'%2B2y%3D2x%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex$

特征方程為 $t%5E2-3t%2B2%3D0%5CRightarrow%20t_1%3D1%2Ct_2%3D2$

于是齊次通解為 $C_1%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bx%7D%2BC_2%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B2x%7D$

下面求特解，特解如果沒有經(jīng)驗，又瞪不出怎么辦？給爺湊！

同時原方程可化為：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ay''-y'-2(y'-y)%3D2x%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%20%5C%5C%0Ay''-2y'-(y'-2y)%3D2x%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

湊積分因子得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5B(y'-y)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-2x%7D%5D'%3D2x%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D%5C%5C%0A%5B(y'-2y)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D%5D'%3D2x~~~~~~%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

這時，找右邊的函數(shù)對應(yīng)的原函數(shù)，也即求不定積分，這就是分部積分基礎(chǔ)題了吧

兩邊積分得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A(y'-y)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-2x%7D%3D-2(x%2B1)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D%5C%5C%0A(y'-2y)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D%3Dx%5E2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

即 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ay'-y%3D-2(x%2B1)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bx%7D%5C%5C%0Ay'-2y%3Dx%5E2%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bx%7D~~~~~~~~~~~~~~~%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

解關(guān)于y',y的一元二次方程組得特解：

$y%3D(-x%5E2-2x-2)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex$

于是原方程通解為：

$y%3DC_1%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bx%7D%2BC_2%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B2x%7D%2B(-x%5E2-2x-2)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex$

ps:答案寫的是 $y%3DC_1%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bx%7D%2BC_2%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B2x%7D%2B(-x%5E2-2x)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex$ ，跟上面的結(jié)果是等價的，因為C1代表任意常數(shù)，因此后面的-2e^x項可以與前面的C1e^x合并

再來幾道，掌握了核心，我們就可以在戰(zhàn)略上進行藐視了~

$y''-5y'%2B6y%3D(x%2B1)%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B3x%7D$

特征根： $t_1%3D2%2Ct_2%3D3$

根據(jù)上文的分析，此題可轉(zhuǎn)化了核心積分：

$%5Cint%20(x%2B1)%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B3x%7D%5Ccdot%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-2x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2C%5Cint%20(x%2B1)%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B3x%7D%5Ccdot%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-3x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

$y''-2y'%2B5y%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx%7D%5Csin%202x$

特征根： $t_1%3D1%2B2i%2Ct_2%3D1-2i$

根據(jù)上文的分析，此題可轉(zhuǎn)化了核心積分：

$%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx%7D%5Csin%202x%5Ccdot%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B(-1-2i)x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2C%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx%7D%5Csin%202x%5Ccdot%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B(-1%2B2i)x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

ps:對于指數(shù)混三角的情形，可以用歐拉公式化為全部指數(shù)再取實部，不過這也就牽扯到復(fù)積分了~

$y'''-2y''%2B9y'-18y%3Dx%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B2x%7D%2B%5Csin%203x$

復(fù)雜度加倍了！不過不用擔(dān)心，還是常系數(shù)線性微分方程，同樣藐視~[滑稽]

特征根： $t_1%3D2%2Ct_2%3D3i%2Ct_3%3D-3i$

根據(jù)上文的分析，此題可轉(zhuǎn)化了核心積分：

$%5Cbegin%7Balign%7D%20%26%5Cint%20(x%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B2x%7D%2B%5Csin%203x)%5Ccdot%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-2x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5C%5C%20%26%5Cint%20(x%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B2x%7D%2B%5Csin%203x)%5Ccdot%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-3ix%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5C%5C%20%26%5Cint%20(x%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B2x%7D%2B%5Csin%203x)%5Ccdot%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B3ix%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%5Cend%7Balign%7D$

總結(jié)以及拓展：

利用湊積分因子法，探索出了常系數(shù)線性微分方程的一般解法，這是筆者探索以來較大的成果之一(當(dāng)然前面鏈接中的文章的構(gòu)思更是經(jīng)過了較久的構(gòu)思才得以想出)

不足：

這個方法伴隨著前面那篇專欄遺留的問題也到此也還尚未解決，也就是當(dāng)特征根出現(xiàn)重根的特殊情況?？磥?#34;科研"的道路總是坎坷的，好不容易攻破了一扇壁壘又出來一座小丘，因此也先把問題遺留于此，望以后能解決掉這種特殊情況。

畢竟也是自行探索的，所以會遇到各種尚未解決問題，也望讀者能諒解。倘若再解決了這種特殊情況，那么這種方法就能成熟地應(yīng)用于所有常系數(shù)線性微分方程的求解中了。

當(dāng)然可能有其他大神也已經(jīng)將該法完備歸納了，也不出奇~

拓展：

另外，對于此類題，拉普拉斯變換、微分算子法也是很好的方法，感興趣的網(wǎng)友可自行查閱資料了解~

另外，又翻看了兩年前寫的一篇專欄：

待定系數(shù)法背后的底層數(shù)學(xué)邏輯

這篇文章通過"形式分析"歸納出對于 $%5Cint%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7Bax%7D%5Csin%20bxP(x)%5Cmathrm%7Bd%7Dx$ 類積分的原函數(shù)通式，不得不說數(shù)學(xué)真的是個靠腦的科目[滑稽]，既需要充足的運算基礎(chǔ)，又需要強大的分析邏輯。

這篇文章的評論區(qū)有一網(wǎng)友提及了"微分方程"一詞，在現(xiàn)在看來還真有一些聯(lián)系了！

一開始我提到了大部分都是用"待定系數(shù)"的方法，那么通過與上述法的融合，同樣可以依靠"邏輯推理"準(zhǔn)確地分析出特解的形式而擺脫"注意力"的依賴了，這個聯(lián)系的話有空再出一篇文章進行講解，這次的成果分享就先到此結(jié)束~

? ? Q.E.D

標(biāo)簽：

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常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解通式及推導(dǎo)

引子：

正文：

總結(jié)以及拓展：