運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

崔坤

中國青島即墨，266200，

摘要:數(shù)學(xué)家潘承洞25歲時(shí)提出：“我們可以把這個(gè)問題反過來思考, 已知奇數(shù)N可以表成三個(gè)素?cái)?shù)之和， 假如又能證明這三個(gè)素?cái)?shù)中有一個(gè)非常小，譬如說第一個(gè)素?cái)?shù)可以總?cè)?， 那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想。”，直到2013年才有秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德賀歐夫格特徹底證明了三素?cái)?shù)定理。

關(guān)鍵詞:三素?cái)?shù)定理，奇素?cái)?shù)，加法交換律結(jié)合律

中圖分類號(hào)：O156 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

證明：

根據(jù)2013年秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德·賀歐夫格特（Harald Andrés Helfgott）

已經(jīng)徹底地證明了的三素?cái)?shù)定理：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和，每個(gè)奇素?cái)?shù)都可以重復(fù)使用。它用下列公式表示：Q是每個(gè)≥9的奇數(shù)，奇素?cái)?shù)：q1≥3，q2≥3，q3≥3，則Q=q1+q2+q3 根據(jù)加法交換律結(jié)合律，不妨設(shè)：q1≥q2≥q3≥3，則有推論：Q=3+q1+q2，即每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法做如下證明：

給出首項(xiàng)為9，公差為2的等差數(shù)列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}

Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Qn≥9，n為正整數(shù)）

數(shù)學(xué)歸納法：第一步：當(dāng)n=1時(shí) ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立

第二步：假設(shè) ：n=k時(shí)，Qk=3+qk1+qk2，奇素?cái)?shù)：qk1≥3，qk2≥3,成立。

第三步：當(dāng)n=k+1時(shí),Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2

即：Q（k+1）=5+qk1+qk2,

即任一個(gè)大于等于11的奇數(shù)都是5+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，

從而若偶數(shù)N≥6,則N=qk3+qk4，奇素?cái)?shù)：qk3≥3，qk4≥3

當(dāng)N≥8時(shí)：N+3=Q（k+1）=3+qk3+qk4

即Q（k+1）=3+qk3+qk4,奇素?cái)?shù)：qk3≥3，qk4≥3

綜上所述，對于任意正整數(shù)n命題均成立，

即：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

同時(shí)，每個(gè)大于等于11的奇數(shù)Q=3+p1+p2=5+p3+p4,(p1,p2,p3,p4均為奇素?cái)?shù)）結(jié)論：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，Q=3+q1+q2，

（奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Q≥9）

參考文獻(xiàn)：

[1]Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]

[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]