歐幾里得117、西奧多羅斯為什么證到17就不證了呢？

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2017年3月30日，網(wǎng)友發(fā)表名為《如何證明存在一種不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)？》的文章。

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文章內(nèi)容：

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我們證明了根號(hào)2是無(wú)理數(shù)。根號(hào)3呢？根號(hào)5呢？

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

…無(wú)、理、無(wú)理數(shù)：見《歐幾里得27》…

…我們證明了根號(hào)2是無(wú)理數(shù)：見《歐幾里得116》…

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你可能偶爾看到過，Theodorus（通常譯為西奧多羅斯）曾證明它們也是無(wú)理數(shù)。但Theodorus試圖證明17的平方根是無(wú)理數(shù)時(shí)卻沒有繼續(xù)證下去了。

…西奧多羅斯（約公元前465一前399）：希臘數(shù)學(xué)家。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員。

哲學(xué)家柏拉圖和數(shù)學(xué)家泰特托斯的數(shù)學(xué)老師。曾學(xué)習(xí)過幾何學(xué)、天文學(xué)、和聲學(xué)、算術(shù)。與大哲學(xué)家蘇格拉底交往甚密…

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你可以在網(wǎng)上看到，Theodorus對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)之一就是“證明了3到17的非平方數(shù)的根是無(wú)理數(shù)”。這給后人留下了一個(gè)疑問：怪了，為什么證到17就不證了呢？

…平方數(shù)：又稱完全平方數(shù)。指可以寫成某個(gè)整數(shù)的平方的數(shù)。如9 =3×3，9就是平方數(shù)…

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一位俄國(guó)的數(shù)學(xué)歷史家“猜”到了原因。

他猜測(cè)，當(dāng)時(shí)Theodorus就是用類似上面的方法證明的。比如，要證明根號(hào)x不是有理數(shù)，于是設(shè)√x=p/q。

√x=p/q兩邊平方，轉(zhuǎn)化一下，得p2=xq2（p的平方=x·q的平方）。

我們已經(jīng)證過x=2的情況了，剩下來(lái)的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。如果x是奇數(shù)且p/q已經(jīng)不能再約分，那么顯然p和q都是奇數(shù)。

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一個(gè)奇數(shù)2n+1的平方應(yīng)該等于4（n^2+n）+1，即8·n（n+1）/2 + 1。

…^：乘方…

…n^2：n的平方…

…（2n+1）^2=（2n+1）×（2n+1）=4n^2+2n+2n+1=4n^2+4n+1=4（n^2+n）+1=4n（n+1）+1= 8·n（n+1）/2 + 1…

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其中n（n+1）/2肯定是一個(gè)整數(shù)。

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…（2n+1）^2=8·n（n+1）/2 + 1，n（n+1）/2是一個(gè)整數(shù)。

證明：

∵?n，n+1為連續(xù)自然數(shù)

∴?n，n+1為一奇一偶

∴ n（n+1）是偶數(shù)（奇數(shù)乘以偶數(shù)得偶數(shù)）

∴ n（n+1）能被2整除

∴ n（n+1）/2是整數(shù)…

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如果p=2k+1，q=2m+1，把它們代進(jìn)p^2==xq^2，有8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1。

…p=2k+1，q=2m+1，代入p^2==xq^2得：（2k+1）^2=x（2m+1）^2

（2k+1）^2=x（2m+1）^2兩邊化簡(jiǎn)：

4k2+4k+1=x（4m2+4m+1）

?8·k（k+1）/2 + 1=x[8·m（m+1）/2 + 1]

?8·k（k+1）/2 + 1=x·8·m（m+1）/2 + x

兩邊同時(shí)減1：

8·k（k+1）/2 =x·8·m（m+1）/2 + x-1

兩邊同時(shí)減x·8·m（m+1）/2 ：

8·k（k+1）/2-x·8·m（m+1）/2=x-1

提取公因式：

8[k（k+1）/2–x·m（m+1）/2]=x-1…

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于是x-1必須是8的倍數(shù)。

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如果當(dāng)時(shí)Theodorus（西奧多羅斯）是這么證明的，那么他可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：如果x-1不能被8整除，那么√x就不可能被表示成p/q，即√x不是有理數(shù)。

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好了，現(xiàn)在3、5、7、11、13減去1后都不是8的倍數(shù)，它們的平方根一定不是有理數(shù)。

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在x=9時(shí)發(fā)生了一次例外，但9是一個(gè)平方數(shù)。

…x=9時(shí)發(fā)生了一次例外：x=9時(shí)，x-1=9-1=8，是8的倍數(shù)。

根據(jù)“x-1不是8的倍數(shù)時(shí)，√x是無(wú)理數(shù)”，無(wú)法判斷√9的平方根是無(wú)理數(shù)，還是不是無(wú)理數(shù)。

“我們知道，√9的平方根是3，不是無(wú)理數(shù)。所以‘√9的平方根是無(wú)理數(shù)，還是不是無(wú)理數(shù)’不需要再判斷?！敝袑W(xué)生說。

“因此，西奧多羅斯得以越過9，繼續(xù)證下去?！敝袑W(xué)生接著說。

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而當(dāng)x=17時(shí)，這種證明方法沒辦法解釋了，于是Theodorus就此打住。

…x=17時(shí)，x-1=17-1=16，是8的倍數(shù)。

根據(jù)“x-1不是8的倍數(shù)時(shí)，√x是無(wú)理數(shù)”，無(wú)法判斷√17的平方根是無(wú)理數(shù)，還是不是無(wú)理數(shù)。

“從17開始，‘x-1不是8的倍數(shù)時(shí)，√x是無(wú)理數(shù)’這種證明方法開始失效…西奧多羅斯無(wú)法繼續(xù)證下去…所以他就此打住?！敝袑W(xué)生說。

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“0的平方根是0，1是平方根是1，2的平方根（√2）已被證明是無(wú)理數(shù)，4、9、16…是平方數(shù)，它們的平方根是已知的數(shù)…”另一位中學(xué)生說，“西奧多羅斯打算尋找剩下的數(shù)的平方根。”

“剩下的數(shù)是：3、6、7、8…”中學(xué)生接著說。

“如果剩下的數(shù)的平方根不能用整數(shù)之比表示出來(lái)…那它們就和√2一樣，是無(wú)理數(shù)?！敝袑W(xué)生繼續(xù)說。

“西奧多羅斯曾嘗試證明它們是無(wú)理數(shù)，并成功證明‘3到17的非平方數(shù)的根是無(wú)理數(shù)’?！敝袑W(xué)生最后說。

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“畢達(dá)哥拉斯時(shí)代根本沒有發(fā)展出代數(shù)這門學(xué)科來(lái)，它們掌握的只是純粹的幾何。因此，Hippasus（西奧多羅斯）當(dāng)時(shí)的證明不可能像我們現(xiàn)在這樣搞點(diǎn)什么奇數(shù)x偶數(shù)y之類的高科技東西。

請(qǐng)看下集《歐幾里得118、平、面、平面，平面幾何，完全用平面幾何知識(shí)證明結(jié)論》”

若不知曉歷史，便看不清未來(lái)

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