【種花家務(wù)·代數(shù)】2-1-06列出方程來解應(yīng)用題『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』
【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』,此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版,并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材,本系列叢書共包含17本,層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平,其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材,很多概念已經(jīng)與如今迥異,因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外,黑字是教材原文,彩字是我寫的注解。
【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》,原因有二:一則,我是雙魚座,有一定程度的偶雙癥,但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實(shí)在令我刺撓,因此就需要加入一本代數(shù),使兩邊能夠?qū)ε计胶?;二則,我認(rèn)為《微積分初步》這本書對“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要,以我的慘痛教訓(xùn)為例,大一高數(shù)第一堂課,我是直接蒙圈,學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識,因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課;而比較生猛的大學(xué)則是直接開課,然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)(例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課)。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》,就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看,不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。
第一章一元一次方程和可以化為一元一次方程的分式方程?
§1-6列出方程來解應(yīng)用題
【01】上一節(jié)里,我們已經(jīng)學(xué)過一元一次方程的解法,現(xiàn)在應(yīng)用解方程的方法來解決一些實(shí)際問題。我們看下面的例子:
例1.某數(shù)的 2 倍減去 1 等于這個數(shù)加上 5,求某數(shù)。
【分析】現(xiàn)在要求某數(shù),我們就用字母 x 表示這個某數(shù),那末,某數(shù)的 2 倍就是 2x;某數(shù)的 2 倍減去 1 就是 2x-1;這個數(shù)加上 5 就是 x+5? 。再根據(jù)已知條件“某數(shù)的 2 倍減去 1 等于這個數(shù)加上 5” 這個相等關(guān)系,就可以列成等式:2x-1=x+5? 。解這個方程,求得 x 的值,就是某數(shù)。
【解】設(shè)某數(shù)是 x? 。那末某數(shù)的 2 倍是 2x,某數(shù)的 2 倍減去 1 是 2x-1;這個數(shù)加上 5 是 x+5? 。
????????因?yàn)槟硵?shù)的 2 倍減去 1 等于這個數(shù)加上 5,所以根據(jù)這個相等關(guān)系,可以列出一個方程:2x-1=x+5? 。
????????解這個方程,2x-x=5+1,∴ x=6? 。
【檢驗(yàn)】某數(shù)的 2 倍減去 1 是 11,某數(shù)加上 5 是 11,恰巧相等,所以 x=6 是本題的解。
????????答:某數(shù)是 6? 。
【注意1】解應(yīng)用題,最后必須寫出答語。
【注意2】為了檢驗(yàn)解題有沒有錯誤,可以把求得的結(jié)果根據(jù)題意加以驗(yàn)算,看是否正確。
【02】從這里可以看出,用代數(shù)方法來解應(yīng)用問題有這樣一個方便,就是,如果用字母表示了問題中要求的量,那末根據(jù)所給的條件(就是題中的數(shù)量關(guān)系),可以寫出與要求的量有關(guān)的一些代數(shù)式;再根據(jù)一個相等關(guān)系,就可以列出一個等式。
例2.某班級學(xué)生合買一樣紀(jì)念品,每人出 6 分,可以多 4 角 8 分;如果每人出 5 分,就不夠 3 分。求這班級學(xué)生的人數(shù)。
【解】設(shè)這班級學(xué)生共有 x 人。
????????因?yàn)槊咳顺?6 分,可以多 4 角 8 分,所以紀(jì)念品的價格是 (6x-48) 分;
????????因?yàn)槊咳顺?5 分,不夠 3 分,所以紀(jì)念品的價格也是 (5x+3) 分。
????????因?yàn)檫@樣紀(jì)念品的價格是一定的,兩種計算方法應(yīng)該相等,所以 6x-48=5x+3? 。
????????解這個方程,6x-5x=3+48,∴ x=51? 。
【檢驗(yàn)】每人出 6 分,那末紀(jì)念品的價格是 51×6-48=258分,就是 2.58 元;每人出 5 分,那末紀(jì)念品的價格是 51×6+3=258分,就是 2.58 元,恰好相等。所以 x=51 是本題的解。
????????答:這班級學(xué)生共有 51 人。
【說明】本題中計算紀(jì)念品價格時有兩種單位,必須化成同一單位。這里為了計算方便起見,避免出現(xiàn)小數(shù),都化成分,得到整數(shù)。
例3.有兩個汽車運(yùn)輸隊(duì),第一隊(duì)有汽車 90 輛,第二隊(duì)有汽車 40 輛?,F(xiàn)在兩隊(duì)有同樣的運(yùn)輸任務(wù),從第一隊(duì)調(diào)多少輛汽車到第二隊(duì),兩隊(duì)汽車的輛數(shù)相等?
【解】設(shè)需要從第一隊(duì)調(diào) x 輛汽車到第二隊(duì)。
????????第一隊(duì)原來有 90 輛,調(diào)出 x 輛到第二隊(duì)后,還剩 (90-x) 輛;
????????第二隊(duì)原來有 40 輛,從第一隊(duì)調(diào)來 x 輛后,就有 (40+x) 輛。
????????因?yàn)榻?jīng)過調(diào)動后,兩隊(duì)汽車的輛數(shù)相等,所以 90-x=40+x? 。
????????解這個方程,-2x=-50,2x=50,∴ x=25? 。
【檢驗(yàn)】第一隊(duì)調(diào)出 25 輛,還剩 90-25=65 輛;第二隊(duì)調(diào)進(jìn) 25 輛,就有 40+25=65 輛,恰好相等。
????????答:從第一隊(duì)調(diào) 25 輛汽車到第二隊(duì),兩隊(duì)汽車的輛數(shù)相等。
【說明】檢驗(yàn)可以用心算,不必詳細(xì)寫出來。但是即使不要求寫出,心算的檢驗(yàn)還是十分必要的。
習(xí)題1-6(1)
1、如果從 33 里減去一個數(shù)的 2 倍就得到 7,求這個數(shù)。【13】
2、某數(shù)的 5 倍減去 5 等于這個數(shù)的 4 倍,求某數(shù)?!?】
3、一個數(shù)的 8 倍加上 10 等于它的 10 倍減去 8,求這個數(shù)?!?】
4、某數(shù)的 3 倍減去 9 等于它的 1/3 加上 6,求某數(shù)。 【5又5/8】
5、某數(shù)與 4 的和的平方等于某數(shù)與 6 的差的平方,求某數(shù)。【1】
6、一個數(shù)與 4 的平方和等于這個數(shù)與 2 的和的平方,求這個數(shù)?!?】
7、某機(jī)器制造廠,今年平均每月生產(chǎn)抽水機(jī) 80 臺,比去年平均每月產(chǎn)量的 1.5 倍少 13 臺。去年平均每月生產(chǎn)多少臺?【62臺】
8、一塊長方形場地的周圍共長 180 米。已知這塊場地的寬是 40 米,求這塊場地的長。【50米】
9、甲工廠有某種原料 120 噸,乙工廠有同樣原料 96 噸,現(xiàn)在每天甲廠用原料 15 噸,乙廠用原料 9 噸,多少天以后,兩廠剩下的原料相等?【4天】
10、甲水槽里有水 34 升,乙水槽里有水 8 升,現(xiàn)在向兩個水槽里灌的水,都是每分鐘 2 升,多少分鐘以后,甲槽里的水是乙槽里的水的 3 倍?【2.5分鐘】
11、甲倉存糧 32 噸,乙倉存糧 57 噸。甲倉每天存入 4 噸,乙倉每天存入 9 噸。幾天以后,乙倉的存糧是甲倉的 2 倍?【7天】
例4.一隊(duì)學(xué)生,參加學(xué)農(nóng),用每小時 4 公里的速度步行前去。出發(fā) 20 分鐘后,學(xué)校有緊要事情需告訴隊(duì)長。通訊員騎自行車用每小時 14 公里的速度追上去,通訊員要多少小時才能追上學(xué)生隊(duì)伍?

【解】設(shè)通訊員追上學(xué)生隊(duì)伍需要 x 小時。那末,通訊員每小時走 14 公里,x 小時共走 14x 公里;學(xué)生隊(duì)伍每小時走 4 公里,一共走了小時,走了
公里。
????????因?yàn)樽飞蠈W(xué)生隊(duì)伍的時候,通訊員所走的路程和學(xué)生隊(duì)伍所走的路程相等,所以? 。
????????解這個方程,? 。
????????答:通訊員需要 2/15 小時,就是 8 分鐘才能追上學(xué)生隊(duì)伍。
【說明1】本題中,步行的速度與自行車的速度都是每小時若干公里,而已知的時間卻是 20 分鐘,所以解題時必須化成同一單位。因此,把 20 分鐘化成 20/60 小時。
【說明2】為了清楚地看出題中的數(shù)量關(guān)系,利用圖來表示(圖1·1),可以幫助我們分析理解,列出方程,這是分析應(yīng)用題時一種常用的方法。
例5.一塊農(nóng)田要整地,由甲小隊(duì)獨(dú)做,3 小時可以完成,乙小隊(duì)獨(dú)做 6 小時可以完成,兩小隊(duì)合做,幾小時可以完成?
【解】設(shè)兩小隊(duì)合做 x 小時完成。
????????甲小隊(duì)獨(dú)做,3 小時完成全部工作,那末每小時做全部工作的 1/3,所以 x 小時做了全部工作的 (1/3)x;
????????乙小隊(duì)獨(dú)做,6 小時完成全部工作,那末每小時做全部工作的 1/6,所以 x 小時做了全部工作的?(1/6)x? 。
????????因?yàn)閮尚£?duì)合做 x 小時,全部工作完成,所以? 。
????????解這個方程,2x+x=6,3x=6,∴ x=2? 。
????????答:兩小隊(duì)合做,2小時完成。
【說明】全部工作是一件完整的工程,看做是 1? 。因此,甲小隊(duì)每小時做了全部工作的 1/3,以后類似這樣的工程問題,都可以把全部工程作為 1? 。
例6.有兩個宣傳隊(duì),第一隊(duì)有 32 個人,第二隊(duì)有 19 個人。能不能從第一隊(duì)調(diào)幾個人到第二隊(duì),使兩隊(duì)的人數(shù)相等?
【解】設(shè)從第一隊(duì)調(diào) x 個人到第二隊(duì)。那末,
????????第一隊(duì)調(diào)出 x 個人后,還剩 (32-x) 人;
????????第二隊(duì)調(diào)來 x 個人后,就有 (19+x) 人。
????????因?yàn)榻?jīng)過調(diào)動后,兩隊(duì)人數(shù)相等,所以 32-x=19+x? 。
????????解這個方程,-2x=-13,∴ x=13/2=6又1/2? 。
????????驗(yàn)算后,知道 6又1/2 是所列方程的解。
????????但是人數(shù)不可能是分?jǐn)?shù),現(xiàn)在 x=6又1/2 就不符合實(shí)際意義。因此,x=6又1/2?雖然是所列出的方程的解,而對實(shí)際問題講,就沒有意義,所以這個應(yīng)用題沒有解。也就是說,不論從第一隊(duì)調(diào)多少人到第二隊(duì),兩隊(duì)的人數(shù)總不會相等。
【04】通過這個例題,我們可以理解到:列出方程來解應(yīng)用題的時候,從方程所求得的解不一定都符合應(yīng)用題的要求,我們必須根據(jù)實(shí)際意義來判定這個應(yīng)用題有解還是沒有解。
【05】列方程解應(yīng)用題,應(yīng)該檢查求得的未知數(shù)的值是不是合理,如果合理,就寫出答語,如果不合理,就說明應(yīng)用題沒有解。
【06】從上面所講的六個例子,我們可以看到,列出一元一次方程來解應(yīng)用題的一般步驟是:
????????(ⅰ) 仔細(xì)看清題意,看哪些是已知數(shù),哪些是未知數(shù),它們之間有什么關(guān)系。
????????(ⅱ) 選擇一個適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),用字母 x(也可以用其他字母)來表示它。根據(jù)題目里所說的已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系,用 x 的代數(shù)式來表示其他的未知數(shù)。
????????(ⅲ) 利用(ⅱ)中沒有用過的等量關(guān)系,列出方程。
????????(ⅳ)解所得的方程,求出未知數(shù)的值,并且進(jìn)行驗(yàn)算。
????????(ⅴ)根據(jù)方程的根,得出題目里所求的未知數(shù)的值,并且檢查求得的值是不是合理,如果合理,就寫出答語,如果不合理,就說明應(yīng)用題沒有解。
習(xí)題1-6(2)
1、一條街長 1670 米,甲、乙兩個學(xué)生從街的兩頭同時相向而行,甲騎自行車每小時走 21 公里,乙步行,經(jīng)過 4 分鐘后兩人相遇,求乙每小時步行多少公里。【4.05公里】
2、有一架飛機(jī),最多能在空中連續(xù)飛行 4 小時,飛出時候的速度是每小時 600 公里,飛回時候的速度是每小時 550 公里,這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出多少公里就應(yīng)該飛回來?【1147又19/23公里】
3、兩輛卡車裝運(yùn)棉花從產(chǎn)地開往倉庫。第一輛卡車的速度是每小時 40 公里,開出半小時后,第二輛卡車也從產(chǎn)地開出,它的速度是每小時 50 公里,結(jié)果兩車同時到達(dá)倉庫。求產(chǎn)地和倉庫間的距離。【100公里】
4、有甲、乙兩個整數(shù),甲數(shù)比乙數(shù)的 3 倍多 1,已知甲數(shù)是 26,乙數(shù)是多少?[提示:注意甲、乙兩數(shù)都是整數(shù);如果求出的結(jié)果不是整數(shù),應(yīng)該仔細(xì)考慮]【無解】
5、初中一年級甲、乙兩班,甲班有 44 人,乙班有 49 人。在勞動時,為了使兩班人數(shù)相等,乙班應(yīng)該調(diào)多少人到甲班去?【無解】
6、一個正數(shù)的 3 倍加上 16 等于 4? 。求這個正數(shù)。[提示:注意這個數(shù)是正數(shù)]【無解】
7、一件工程,甲隊(duì)單獨(dú)做 10 天可以完成,乙隊(duì)單獨(dú)做 15 天可以完成,兩隊(duì)合做,多少天可以完成?【6天】
8、某工廠在上半年增產(chǎn) 168 萬元,超過原定增產(chǎn)計劃的 2/5? 。這個工廠上半年計劃增產(chǎn)多少元?[提示:本題應(yīng)該用萬元為單位,這樣可使計算簡便]【120萬元】
9、有一個數(shù),減去它的 1/2 與 1/5 之后,剩下的數(shù)是 90? 。求這個數(shù)?!?00】
10、某池塘用三合抽水機(jī)抽水,單用第一臺抽水機(jī),3 天就可以全部抽完,單用第二臺抽水機(jī),就需要 4 天,單用第三臺抽水機(jī),需要 6 天。如果三臺同時用,幾天可以全部抽完?[提示三合抽水機(jī)單獨(dú)使用,每天分別抽去全池塘的 1/3,1/4,1/6]【1又1/3天】
11、一人騎自行車從甲人民公社去乙人民公社聯(lián)系工作,工作 1 小時,然后步行回甲社,他來回連工作共花 5 小時,自行車每小時走 12 公里,步行每小時走 5 公里,問甲人民公社距乙人民公社幾公里?【14又2/17公里】
【07】上面幾個應(yīng)用題里,所求的未知數(shù)都只有一個,所以設(shè)這個未知數(shù)后,就可以列出方程來。如果應(yīng)用題里所求的未知數(shù)有兩個或者多于兩個,那末怎樣設(shè)一個未知數(shù),使得仍能列出一元一次方程呢?下面我們舉例來說明。
例7.兩個數(shù)的和是 8,它們的差是 2,求這兩個數(shù)。
【解】設(shè)較大的數(shù)是 x,那末由于兩個數(shù)的和是 8,所以較小的數(shù)是 8-x? 。
????????再根據(jù)題意,“它們的差是2”,可以得到 x-(8-x)=2? 。
????????解這個方程,2x=10,∴ x=5? 。
????????較小的數(shù)是 8-x,將所得的 x 值代入,得 8-x=8-5=3? 。
????????答:這兩個數(shù)是 5 與 3? 。
【注】
????????這個問題也可以設(shè)較小的數(shù)是 x,那末較大的數(shù)是 8-x,再利用差的關(guān)系,可以得到 (8-x)-x=2? 。
????????解這個方程,同樣可以求得兩個數(shù)是 5 與 3? 。
????????還可以設(shè)較大的數(shù)是 x,利用差的關(guān)系,那末較小的數(shù)是 x-2? 。再利用和的關(guān)系列方程,得 x+(x-2)=8? 。
????????也可以設(shè)較小的數(shù)是 x,利用差的關(guān)系,那末較大的數(shù)是 x+2? 。再利用和的關(guān)系列方程,得(x+2)+x=8? 。
????????解這兩個方程,都可以求得兩個數(shù)是 5 與 3? 。
【08】從上面這個例子,我們可以看到:列一元方程來解應(yīng)用題,如果題目中所求的未知數(shù)多于一個,則可用一個字母表示其中任何一個未知數(shù),根據(jù)題中的條件,用這個字母的代數(shù)式來表示其他的未知數(shù),然后,再根據(jù)題中的另外條件,列出方程。
例8.汽車若千輛裝運(yùn)貨物一批。每輛裝 3.5 噸,這批貨物就有 2 噸不能運(yùn)走;每輛裝 4 噸,那末裝完這批貨物后,還可以裝其他貨物 1 噸。汽車有多少輛?這批貨物有多少噸?
【解】設(shè)汽車有 x 輛。
????????按每輛裝 3.5 噸計算,x 輛汽車能裝 3.5x 噸貨物,這批貨物就是 (3.5x+2) 噸;如果按每輛裝 4 噸計算,x 輛汽車可以裝 4x 噸,但是裝了其他貨物 1 噸,所以這批貨物就是 (4x-1) 噸。
????????因?yàn)?3.5x+2 和 4x-1 都表示這批貨物的噸數(shù),應(yīng)該相等的,所以 3.5x+2=4x-1? 。
????????解這個方程,-0.5x=-3,∴ x=6? 。
????????代入 4x-1,得 4x-1=24-1=23? 。
????????答:汽車有 6 輛,這批貨物有 23 噸。
【注】也可以設(shè)這批貨物有 x 噸。那末,如果按每輛裝 3.5 噸計算,汽車就有 (x-2)/3.5 輛;如果按每輛裝 4 噸計算,汽車就有 (x+1)/4 輛。所以列出方程是?(x-2)/3.5=(x+1)/4? 。雖然這應(yīng)用題的解是一樣的,但是這樣列方程比較麻煩,解這個方程比較復(fù)雜,計算的時候也比較困難。
【09】從這個例子,我們可以看到:利用一元方程解應(yīng)用題的時候,如果題目中的未知數(shù)多于一個,用字母表示哪一個未知數(shù),就要看列方程是否容易,列出的方程是否簡單,計算的時候是否簡便來決定。
例9.地球上水面的面積約等于陸地面積的 2又13/29 倍;地球的表面積約等于 5.1 億平方公里,求地球上水面和陸地的面積各是多少。
【解】設(shè)地球上陸地的面積是 x 平方公里.那末,水面的面積是? 平方公里,陸地和水面的總面積是
平方公里。
????????因?yàn)殛懙睾退娴目偯娣e就是地球的表面積 510000000 平方公里,所以? 。
????????那末?? 。
????????答:地球上水面面積是 362100000 平方公里,約 3.6 億平方公里;陸地面積是 147900000 平方公里,約 1.5 億平方公里。
【注】這個問題中,如果我們設(shè)水面面積是 x 平方公里,那末陸地面積就是??平方公里,這樣列出的方程是
? 。但是列出這個方程和解這個方程就都比較麻煩。
習(xí)題1-6(3)
1、甲、乙兩數(shù)的和是 10,甲數(shù)的 2 倍等于乙數(shù)的 3 倍,求這兩個數(shù)。【6,4】
2、買甲、乙兩種筆記本共 20 本,共用 4.8 元。甲種本每本 0.3 元,乙種本每本 0.2 元,兩種筆記本各買了多少?【甲種8本,乙種12本】
3、某班師生自制教具,一共做得數(shù)學(xué)和物理教具 144 件,其中數(shù)學(xué)教具是物理教具的 1/2,問數(shù)學(xué)和物理教具各有多少件?【數(shù)學(xué)教具48件,物理教具96件】
4、
(1) 某幼兒園買大小凳子 16 張,一共 44 元。大的每張 5 元,小的每張 2 元,大小凳子各買多少張?【大凳4張,小凳12張】
(2) 買大小凳子 15 張,一共 44 元。大的每張 5 元,小的每張 2 元,大小凳子各買多少張?【無解】
5、長江比黃河長 955 公里,長江和黃河共長 10645 公里,長江和黃河各長多少公里?【長江5800公里,黃河4845公里】
6、某果園原種有桃樹和李樹共 25 棵。現(xiàn)在計劃再種桃樹 9 棵,李樹 5 棵,那末桃樹就比李樹多 17 棵。原來桃樹和李樹各有多少棵?【桃樹19棵,李樹6棵】
7、第一個正方形的邊長比第二個多 10 厘米,它的面積比第二個多 400 平方厘米,兩個正方形的邊長各是多少?【25厘米,15厘米】
8、煤油連桶重 8 公斤,從桶中用去了一半煤油以后,連桶重 4.5 公斤。煤油和空桶各重多少公斤?【煤油7公斤,桶1公斤】
9.、在 155 米的長度內(nèi)裝設(shè) 25 根水管,一部分水管每根長 5 米,另一部分每根長 8 米,兩種水管各要多少根?【15根,10根】
10、有貨物一批,共重 39 噸,由載重 6 噸和 7.5 噸的駁船一次運(yùn)走,已知載重 6 噸比載重 7.5 噸的駁船多 2 只,兩種駁船各有多少只?【6噸船4只,7.5噸船2只】
11、用化肥若干斤給一塊麥田追肥,每畝用 6 斤,還差 17 斤,每畝用 5 斤,就多 3 斤。這塊麥田有多少畝?用化肥多少斤?【20畝,103斤】
12、一個工人接到加工一批零件的任務(wù),要求在規(guī)定時間內(nèi)完成。他打算每小時做 10 個,就可以超過任務(wù) 3 個,每小時做 11 個,就可以提前 1 小時完成。他加工的零件是多少個?規(guī)定多少小時完成?【77個,8小時】
13、三個數(shù)的平均數(shù)是 8.6? 。其中第一個數(shù)是 9.1,第二個數(shù)比第一個數(shù)小 0.8,求第三個數(shù)?!?.4】
14、用兩架掘土機(jī)掘土,第一架掘土機(jī)比第二架掘土機(jī)每小時多掘土 40 立方米。第一架工作 16 小時,第二架工作 24 小時,共掘土 8640 立方米。每架掘土機(jī)每小時可以掘土多少?【240立方米,200立方米】
15、兩個水池共貯水 30 噸,現(xiàn)在甲池用去水 8 噸,乙池注進(jìn)水 10 噸,這樣,甲池的水就比乙池的水少 12 噸。原來兩個水池各有水多少噸?【甲池18噸,乙池12噸】
16、一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的 1/4,在第二次旅程中用去余下的汽油的 1/5,這樣油箱里還剩汽油 6 升,油箱里原來有汽油多少升?【10升】
17、一條鐵絲,第一次用去了它的一半少 1 米,第二次用去了剩下的一半多 1 米,結(jié)果還剩 2.5 米。這條鐵絲原有多少長?【12米】
例10.甲、乙兩車站相距 159 公里。一列慢車以每小時 36 公里的速度從甲站開往乙站。出發(fā)后 1 小時,一列快車以每小時 46 公里的速度從乙站開往甲站??燔囬_出幾小時后才與慢車相遇?

【解】設(shè)快車開出 x 小時后與慢車相遇。那末快車從開出到與慢車相遇走了 46x 公里;慢車從開出到與快車相遇共走了 (1+x) 小時,所以它共走了 36(1+x) 公里。
????????因?yàn)閮闪熊囎酉嘞蚨校较嘤鰰r它們所走的路程的和就是甲、乙兩車站間的距離(圖1·2),所以 46x+36(1+x)=159? 。解這個方程,46 x+36+36 x=159,82 x=123,∴ x=1.5? 。
????????答:快車開出 1.5 小時后與慢車相遇。
例11.某體育場的一條環(huán)行跑道長 400 米,甲練習(xí)長跑,平均每分鐘跑 250 米,乙練習(xí)自行車,平均每分鐘走 550 米。兩人同時從同地同向出發(fā),經(jīng)過多少分鐘后兩人又相遇?

【解】設(shè)經(jīng)過 x 分鐘后兩人又相遇。那末兩人相遇時,甲走了 250x 米,乙走了 550x 米。
????????因?yàn)閮扇藦某霭l(fā)后到再相遇,乙必須比甲多走一圈的路程(圖1·3),就是乙比甲多走 400 米。這就是說,乙所走的路程比甲所走的路程多 400 米,所以 550x-250x=400? 。
????????解這個方程,300x=400,∴ x=4/3=1又1/3? 。
????????答:經(jīng)過 1又1/3 分鐘后兩人又相遇。
習(xí)題1-6(4)
1、甲、乙兩人騎自行車,同時從相距 45 公里的兩地相向而行,2 小時后相遇。已知甲比乙每小時多走 2.5 公里,甲、乙兩人每小時各走多少公里??【甲12.5公里,乙10公里】
2、甲、乙兩人練習(xí)短距離賽跑,甲每秒鐘跑 7 米,乙每秒鐘跑 6.5 米。
(1)如果甲讓乙先跑 5 米,幾秒鐘后可以追及乙?【10秒】
(2)如果甲讓乙先跑 1 秒鐘,幾秒鐘后可以追及乙?【13秒】
3、某市舉行環(huán)城自行車競賽,最快的人在出發(fā)后 35 分鐘遇到最慢的人。已知最慢的人的速度是最快的人的速度的 5/7,環(huán)城一周是 6 公里,兩人的速度各是多少?【(3/5)公里/分,(3/7)公里/分】
4、甲、乙兩個運(yùn)動員在田徑場競走,環(huán)跑道一周是 400 米,乙的速度平均每分鐘 80 米,甲的速度是乙的 1又1/4,現(xiàn)在甲在乙的前面 100米,多少分鐘以后兩人才能相遇?【15分鐘】
5、一個通訊員騎自行車在規(guī)定時間內(nèi)把信件送到某地.他每小時走 15 公里,可以早到 24 分鐘;如果每小時走 12 公里,就要遲到 15 分鐘.原定的時間是多少?他去某地的路程有多遠(yuǎn)?【3小時,39公里】
6、工人甲接到做 120 個零件的任務(wù),工作 1 小時后,因?yàn)橐崆巴瓿?,調(diào)來工人乙與甲合作,再做 3 小時就完成。已知乙每小時比甲能多做 5 個零件,求甲、乙兩工人每小時各做多少個零件?!炯?5個,乙20個】
例12.某化學(xué)實(shí)驗(yàn)室有兩種不同濃度的酒精,甲種的濃度是 90%,乙種的濃度是 76%? 。現(xiàn)在要配成濃度是 85% 的酒精 12 升,兩種酒精應(yīng)該各取多少升?
【解】設(shè)甲種酒精取 x 升,那末乙種酒精取 (12-x) 升。
????????在 x 升濃度是 90% 的酒精里,含有純酒精即 (90/100)x 升;
????????在 (12-x) 升濃度是 75% 的酒精里,含有純酒精 (75/100)(12-x)?升;
????????在12升 濃度是 85% 的酒精星,含有純酒?(85/100)×12 升。
????????因?yàn)榧?、乙兩種酒精里所含純酒精的總量,應(yīng)該等于濃度是 85% 的 12 升酒精里所含純酒精的量,所以? 。
????????解這個方程,90x+900-75x=1020,15x-120,∴ x=8? 。
????????代入12-x,得 12-x=12-8=4? 。
????????答:甲種酒精應(yīng)取 8 升,乙種酒精應(yīng)取 4 升。
習(xí)題1-6(5)
1、有含鹽 20% 的鹽水 150 公斤,要使鹽水含鹽 5%,需要加水多少公斤?【450公斤】
2、有 700 克含碘 15% 的碘酒(碘溶解在酒精里就成碘酒),應(yīng)該加入多少克純酒精,才能得到含碘 2% 的碘酒?【4550克】
3、有含藥 85% 的農(nóng)藥 5 斤,應(yīng)該加入多少斤水,才能配成含藥 2% 的農(nóng)藥?【207.5斤】
4、有銀和銅的合金 200 克,其中含銀 2 份,含銅 3 份?,F(xiàn)在要改變合金的成分,使它成為含銀 3 份,含銅 7 份,應(yīng)該再加入銅多少?[提示合銀 2 份,含銅 3 份,就是合金里 2/5 是銀,3/5 是銅]【66又2/3克】
5、某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組原來女同學(xué)的人數(shù)占全組人數(shù)的 1/3,后來加入了 4 個女同學(xué),女同學(xué)的人數(shù)就占全組人數(shù)的 1/2,問該小組原來有多少個同學(xué)?【12人】
6、有兩種合金,第一種含金 90%,第二種含金 80%? ?,F(xiàn)在要制成含金 82.5% 的合金 240 克,應(yīng)該每種各取多少克?【第一種60克,第二種180克】
7、甲種鐵礦石含鐵的百分?jǐn)?shù)是乙種鐵礦石含鐵的百分?jǐn)?shù)的 1.5 倍。甲種礦石 5 份與乙種礦石 3 份混合成的礦石含鐵 52.5%,求各種礦石含鐵的百分?jǐn)?shù)。【甲種60%,乙種40%】
8、金放在水里稱,要減輕本身重量的 1/19,銀放在水里稱,要減輕本身重量的 1/10,一塊金和銀的合金重 530 克,在水里稱減輕重量 35 克。這塊合金里含有金和銀各多少克?【金380克,銀150克】
例13.一艘輪船在甲、乙兩地之間航行,順流行駛需要 4 小時,逆流行駛需要 5 小時,已知水流的速度是每小時 2 公里,求兩地之間的距離。
【分析】要解這個題目,首先要理解順流里航行的速度,逆流里航行的速度,靜水里航行的速度和水流的速度之間的關(guān)系。就是說,順流里航行的速度是靜水里航行的速度加上水流的速度,逆流里航行的速度是靜水里航行的速度減去水流的速度?,F(xiàn)在用兩種方法來解這個題目。
【解1】設(shè)甲、乙兩地之間的距離是 x 公里。那末:
????????順流里的速度是每小時 x/4 公里,已知水流的速度是每小時 2 公里,所以靜水里的速度是每小時公里;
????????逆流里的速度是每小時 x/5 公里,水流速度是每小時 2 公里,所以靜水里的速度是每小時公里。
????????因?yàn)殪o水里的速度是相同的,所以? 。5x-40=4x+40,∴ x=80? 。
????????答:甲、乙兩地之間的距離是 80 公里。
【解2】設(shè)輪船在靜水里航行的速度是每小時 x 公里。那末:
????????順流里航行的速度是每小時 (x+2) 公里;
????????逆流里航行的速度是每小時?(x-2)?公里;
????????順流航行 4 小時,共走 4(x+2) 公里;
????????逆流航行 5 小時,共走 5(x-2) 公里。
????????因?yàn)榧?、乙兩地之間的距離是一定的,所以 4(x+2)=5(x-2)? 。
????????4x+8=5x-10,-x=-18,∴ x=18? 。
????????用 x=18 代入4(x+2),得 4(x+2)=4×20=80? 。
????????答:甲、乙兩地之間的距離是 80 公里。
【10】從這個例子的兩種解法,我們可以看到:在列方程解應(yīng)用題時,有時不直接設(shè) x 表示題中所要求的未知數(shù),而可間接設(shè) x 表示題中另外一個未知數(shù),通過這個未知數(shù)的值再求出題中所要求的結(jié)果。應(yīng)用這種方法,有時比較容易列出方程,解出結(jié)果來。
例14.一個兩位數(shù),它的十位上的數(shù)比個位上的數(shù)小 3,十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和等于這個兩位數(shù)的?1/4,求這個兩位數(shù)。
【解】設(shè)十位上的數(shù)是 x,那末,個位上的數(shù)是 x+3,這個兩位數(shù)是 10x+(x+3),十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和是 x+(x+3)? 。
????????根據(jù)題意,得?? 。
????????解這個方程,,8x+12=11x+3,-3x=-9,∴ x=3? 。
????????代入 x+3,得 x+3=3+3=6? 。
????????答:這個兩位數(shù)是 36? 。
【說明】用代數(shù)式表示兩位數(shù)要特別注意。例如,兩位數(shù) 54,實(shí)際上表示 5×10+4,因?yàn)槭簧系臄?shù) 1,就表示 10,2 表示 20 等等。一般地說,如果十位上的數(shù)是 a,個位上的數(shù)是 b,那末這個兩位數(shù)是 10a+b,不能寫成 ab 的形式。因?yàn)榇鷶?shù)式 ab 只表示 a 與 b 的乘積,它和 10a+b 所表示的意義是絕然不同的。決不能因?yàn)閮晌粩?shù) 54 寫成 “54” 的形式而產(chǎn)生誤會。同樣,如果有一個三位數(shù),它的百位上的數(shù)是 x,十位上的數(shù)是 y,個位上的數(shù)是 z,那末,這個三位數(shù)應(yīng)該寫成 100x+10y+z? 。
【11】在這個問題里,如果直接設(shè)所求的兩位數(shù)是 x,顯然,就不好列式。因此,我們才設(shè)十位上的數(shù)是 x? 。本題也可以設(shè)個位上的數(shù)是 x,解法由讀者自行完成。
例15.已知長方形的周長是 30 厘米,長比寬多 3 厘米,求這長方形的面積。
【分析】這個題目,如果用 x 來表示長方形的面積,列式就比較困難。但是我們知道,如果知道了長方形的長和寬,就可以計算出它的面積,所以可以設(shè)長方形的寬是 x 厘米。
【解】設(shè)長方形的寬是 x 厘米,那末它的長是 (x+3) 厘米。
????????因?yàn)殚L方形的周長等于 2[x+(x+3)] 厘米,所以 2[x+(x+3)]=30? 。
????????解這個方程,2x+3=15,2x=12,∴ x=6? 。
????????所以 x+3=9? ,x(x+3)=6×9=54? 。
????????答:長方形的面積是 54 平方厘米。
【說明】要注意面積單位和長度單位的寫法。例如,本題的面積應(yīng)該用“平方厘米”表示,不要錯誤地寫成“厘米”。
例16.一個愛國衛(wèi)生檢查工作組共有成員 30 人,根據(jù)任務(wù)的大小,要分成三個小隊(duì),使甲、乙、丙三小隊(duì)的人數(shù)的比是 2:3:5,求各小隊(duì)的人數(shù)。
【分析】這個題目要求三個未知數(shù);如果我們用字母 x 來表示其中一個小隊(duì)的人數(shù),用 x 的代數(shù)式來表示其余兩小隊(duì)的人數(shù),就比較麻煩。我們知道,2:3:5 是從甲小隊(duì)人數(shù):乙小隊(duì)人數(shù):丙小隊(duì)人數(shù)中約去三個小隊(duì)人數(shù)的最大公約數(shù)得到的,所以我們可以用 x 表示這個最大公約數(shù)。這樣,三個小隊(duì)的人數(shù)就分別是 2x,3x,5x,那末列方程就比較容易了。
【解】設(shè)三個小隊(duì)人數(shù)的最大公約數(shù)是 x? 。那末,甲隊(duì)有 2x 人,乙隊(duì)有 3x 人,丙隊(duì)有 5x 人。
????????因?yàn)槿M的人數(shù)是 30 人,所以 2x+3x+5x=30? 。
????????解這個方程,10x=30,∴ x=3? 。
????????所以 2x=6;3x=9;5x=15? 。
????????答:甲隊(duì)有 6 人,乙隊(duì)有 9 人,丙隊(duì)有 15 人。
習(xí)題1-6(6)
1、一艘輪船,航行于甲、乙兩地之間,順?biāo)?3 小時,逆水要 3.5 小時,已知輪船在靜水里航行的速度是每小時 26 公里,求水流的速度。【2公里/時】
2、三個連續(xù)整數(shù)的和是 15,它們的積是多少?[提示:象 2,3,4 或者 7,8,9 等就是三個連續(xù)整數(shù)。連續(xù)整數(shù)的特點(diǎn)是相鄰兩個數(shù)的差等于 1]【120】
3、一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)是個位上的數(shù)的 2 倍,如果把十位上的數(shù)和個位上的數(shù)對調(diào),那末得到的數(shù)就比原數(shù)小 36? 。求原來的兩位數(shù)? ?!?4】
4、一個三位數(shù),個位上的數(shù),十位上的數(shù)與百位上的數(shù)的和是 15,百位上的數(shù)比十位上的數(shù)多 5,個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的 3 倍。求這個三位數(shù)?!?26】
5、三個連續(xù)偶數(shù)的和比其中最大的一個大 10,這三個連續(xù)偶數(shù)的和等于多少?[提示:象 2,4,6 或者 8,10,12 就是三個連續(xù)偶數(shù)。連續(xù)偶數(shù)的特點(diǎn)是相鄰兩個數(shù)的差等于 2,并且每個數(shù)都能被 2 整除]【18】
6、長方形的長是寬的 2 倍。如果寬增加 3 厘米,那末長方形的面積就增加 24 平方厘米。這個長方形原來的面積是多少?【32平方厘米】
7、如果一個長方形的長減少 4 厘米,而寬增加 7 厘米,就成了一個正方形,并且這個正方形的面積比長方形的面積大 100 平方厘米。求這個長方形的長和寬。【28厘米,17厘米】
8、因加工需要在長方形鐵板的中央開一個正方形的口,口一邊的長比鐵板的長少 8 厘米,比鐵板的寬少 3 厘米,這樣,鐵板的面積就剩下 68 平方厘米。求原來鐵板的面積。【84平方厘米】

9、收割一塊麥地,每小時收割 4 畝,預(yù)計若干小時完成。收割了 2/3 以后,改用新式農(nóng)具,工作效率是高到原來的 1又1/2 倍,因此比視定時間提早 1 小時完成。這塊麥地的面積是多少?【36畝】
10、把面積是 16 畝的土地分成兩部分,試種兩種新品種的小麥。要使兩部分面積的比等于 3:5,求每一部分的面積?!?畝,10畝】
11、有一種絕熱的泥料,它的組成物石棉絲、耐火粘土、細(xì)磨熟料的重量的比是 3:7:10? ?,F(xiàn)在要配成 3000 公斤的絕熱泥料,三種原料各需要多少公斤?【450公斤,1050公斤,1500公斤】