函數(shù)性態(tài)這個(gè)詞我一直沒(méi)找到合適的解釋?zhuān)坪跏呛瘮?shù)在區(qū)間上的一些整體宏觀指標(biāo)，與之相對(duì)我在該系列第一集中提出了在某點(diǎn)處鄰域級(jí)的“函數(shù)狀態(tài)”。本集更函數(shù)性態(tài)

一、結(jié)論庫(kù)

1、極值點(diǎn)的常用命題：

極值點(diǎn)常用的命題，包括1個(gè)定義、1個(gè)必要條件、1組充分條件。

2、拐點(diǎn)的常用命題

拐點(diǎn)的常用命題與極值點(diǎn)的完全對(duì)稱(chēng)。

二、真題演練

1987、一（2）

結(jié)論：

1、x·a^x的n階導(dǎo)數(shù)公式

一階導(dǎo)數(shù)=2^x(1+xln2)，有唯一駐點(diǎn)

2、

不看恒正因子2^x，直線(xiàn)y=1+ln2x的零點(diǎn)-1/ln2為唯一極值點(diǎn)，且正斜率從負(fù)入正，則極小值

1987、五（3）

分?jǐn)?shù)線(xiàn)大家都能看出來(lái)

命題：

1、極值定義（定義為充要級(jí)條件）

2、極限保號(hào)性（性質(zhì)為定理級(jí)條件）

由極限保號(hào)性易得x=a的鄰域內(nèi)f(a)為極大值，僅B入選。答案B

1988、三（2）

命題：極值的2階充分條件

由方程知，y"=2y'-4y,代入x0、y(x0)>0,y'(0)=0知y"<0，由極值2階充分條件知極大值，僅A入選。答案A

1989、二（1）

方法1：

結(jié)論：經(jīng)典函數(shù)x·sin1/x僅有水平漸近線(xiàn)y=1，所以A入選 答案A

方法2：基本方法之漸近線(xiàn)求法

易得該函數(shù)無(wú)鉛直漸近線(xiàn)，所以求趨于正負(fù)無(wú)窮時(shí)函數(shù)的極限值，為常數(shù)，即有水平漸近線(xiàn)

結(jié)論：同側(cè)無(wú)窮，水平漸近線(xiàn)和斜漸近線(xiàn)互斥。

∴有且僅有水平漸近線(xiàn)。僅A入選。答案A

1990、二（4）

結(jié)論：

1、cos的泰勒展開(kāi)（1-cosx~1/2x2）

2、極限保號(hào)性

3、極值定義

因f(x)-f(0)在x=0的鄰域內(nèi)>0，所以f(0)極小。僅D入選，答案D

1991、二（1）

方法：求漸近線(xiàn)的基本方法

（1）考察鉛直漸近線(xiàn)，令函數(shù)表達(dá)式的分母=0，則x=0，分子此時(shí)不為0，所以有鉛直漸近線(xiàn)。AB錯(cuò)誤。

（2）求趨于∞時(shí)函數(shù)的極限值，e指數(shù)衰減至0，即有水平漸近線(xiàn)y=1，C錯(cuò)D對(duì)

僅D入選，答案D

1996、二（2）

結(jié)論：

1、極限保號(hào)性

2、極值點(diǎn)2階充分條件

易得答案B

2002、二（3）

方法1：特例法+排除法。考察y=1/x ·sinx2，可排除ACD

方法2：直接法+導(dǎo)數(shù)定義式+拉格朗日中值定理 易得+∞處導(dǎo)數(shù)存在則必為0

2003、二（3）

結(jié)論：

1、極限保號(hào)性

2、極值的定義

易得f(0,0)=0，則由極值定義，f(x,y)-f(0,0)=xy+(x2+y2)2，在原點(diǎn)處顯然可正可負(fù)，所以非極值

2004、二（8）

命題：導(dǎo)數(shù)的定義式

結(jié)論：極限保號(hào)性

注：經(jīng)典用不上的結(jié)論：

這個(gè)只有連續(xù)，而不能保證區(qū)間（即使是無(wú)窮小的區(qū)間——鄰域）上可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)喪失了表征單調(diào)性的充分性，因?yàn)猷徲蛏蠠o(wú)窮振蕩即摧毀單調(diào)性。充分或充要級(jí)的條件為導(dǎo)數(shù)定義式，由極限保號(hào)性易得x>0的鄰域有f(x)>f(0)，x<0則f(x)<f(0)

2005、一（1）

方法：基本方法之求漸近線(xiàn)之求斜漸近線(xiàn)

（1）（2）分別為求漸近線(xiàn)之鉛直、水平漸近線(xiàn)，（3）求斜漸近線(xiàn)

先求兩側(cè)∞處a=y/x的極限值，易得均為1/2，即兩條斜率相同的斜漸近線(xiàn)。

再求兩側(cè)∞處b=y-ax的極限值，易得均為-1/4，即兩條重合的斜漸近線(xiàn)，所以方程唯一

即y=1/2x-1/4

2006、二（7）

結(jié)論：泰勒展開(kāi)

易得答案A

2007、一（2）

方法：基本方法之漸近線(xiàn)求法

（1）先考察鉛直漸近線(xiàn)，一般所給函數(shù)均為初等函數(shù)，故考察其定義域不連續(xù)點(diǎn)。易得x=0為一條鉛直漸近線(xiàn)。

（2）求水平漸近線(xiàn)。即求兩側(cè)∞處函數(shù)極限值，注意指數(shù)函數(shù)為經(jīng)典的在無(wú)窮點(diǎn)處極限不存在的點(diǎn)，即e^+∞=+∞，e^-∞=0，而1/x兩側(cè)∞均=0，則-∞處有水平漸近線(xiàn)y=0，

（3）因+∞處無(wú)水平漸近線(xiàn)，嘗試求斜漸近線(xiàn)。而根據(jù)函數(shù)形式不必拘泥墨守成規(guī)，x→+∞時(shí)，ln（1+e^x）=ln(e^x)=x即為斜漸近線(xiàn)

故3條漸近線(xiàn)，僅D入選，答案D

2011、一（1）

命題：拐點(diǎn)定義：曲線(xiàn)凹凸性的分界點(diǎn)（定義是充要級(jí)條件）

由題意得又x=1、2、3、4個(gè)可疑點(diǎn)，且求導(dǎo)較為困難，不宜用判定拐點(diǎn)的充分條件。

在區(qū)間[1,2]上，(f(1)+f(2))/2=0,而f((1+2)/2)<0,所以在[1,2]上是凹函數(shù)，依次遍歷各區(qū)間，易得(3,0)為唯一拐點(diǎn)

拐點(diǎn)的求法目前有定義和充分條件兩種

2012、一（1）

方法：基本方法之漸近線(xiàn)求法

結(jié)論：同側(cè)水平漸近線(xiàn)與斜漸近線(xiàn)互斥

前文已述，易得x=1是鉛直漸近線(xiàn)，兩側(cè)無(wú)窮均是水平漸近線(xiàn)y=1，所以易得C

2014、一（1）

方法：基本方法之漸近線(xiàn)求法

易得ABCD均無(wú)水平漸近線(xiàn)，也均無(wú)鉛直漸近線(xiàn)，且BD無(wú)斜漸近線(xiàn)，對(duì)于AC考察斜漸近線(xiàn)，在∞處求y/x的極限，AC皆=1，但limx→∞y-x，A不存在，C存在，故A錯(cuò)C對(duì)，答案C