量子糾纏
量子糾纏，即在量子力學(xué)里，當(dāng)幾個基礎(chǔ)粒子在彼此相互作用后，由于各個粒子所擁有的特性已綜合成為整體性質(zhì)，無法單獨描述各個粒子的性質(zhì)，只能描述整體系統(tǒng)的性質(zhì)，則稱這現(xiàn)象為量子纏結(jié)或量子糾纏（quantum entanglement）。量子糾纏是一種純粹發(fā)生于量子系統(tǒng)的現(xiàn)象；在經(jīng)典力學(xué)里，找不到類似的現(xiàn)象[2]:121。
假若對于兩個相互糾纏的基礎(chǔ)粒子分別測量其物理性質(zhì)，像位置、動量、自旋、偏振等，則會發(fā)現(xiàn)量子關(guān)聯(lián)現(xiàn)象。例如，假設(shè)一個零自旋粒子衰變?yōu)閮蓚€以相反方向移動分離的粒子。沿著某特定方向，對于其中一個粒子測量自旋，假若得到結(jié)果為上旋，則另外一個粒子的自旋必定為下旋，假若得到結(jié)果為下旋，則另外一個粒子的自旋必定為上旋；更特別地是，假設(shè)沿著兩個不同方向分別測量兩個粒子的自旋，則會發(fā)現(xiàn)結(jié)果違反貝爾不等式；除此以外，還會出現(xiàn)貌似佯謬般的現(xiàn)象：當(dāng)對其中一個粒子做測量，另外一個粒子似乎知道測量動作的發(fā)生與結(jié)果，盡管尚未發(fā)現(xiàn)任何傳遞信息的機制，盡管兩個粒子相隔甚遠(yuǎn)。
阿爾伯特·愛因斯坦、鮑里斯·波多爾斯基和納森·羅森于1935年發(fā)表的愛因斯坦-波多爾斯基-羅森佯謬（EPR佯謬）論述到上述現(xiàn)象。埃爾溫·薛丁格稍后也發(fā)表幾篇關(guān)于量子糾纏的論文，并且給出“量子糾纏”這一術(shù)語。愛因斯坦認(rèn)為這種行為違背定域?qū)嵲谡?，稱之為“鬼魅般的超距作用”(spooky action at a distance)，他總結(jié)，量子力學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)表述不具完備性。然而，多年來完成的多個實驗證實量子力學(xué)的反直覺預(yù)言正確無誤?？墒?，這效應(yīng)不能被用來以超光速傳輸經(jīng)典信息，因此并不違反因果律[10]:428。
照射激光束于偏硼酸鋇晶體，會因第二型自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換機制，在兩個圓錐面交集的兩條直線之處，制備出很多偏振相互垂直的糾纏光子對。
量子糾纏是很熱門的研究領(lǐng)域。像光子、電子一類的微觀粒子，或者像分子、巴克明斯特富勒烯、甚至像小鉆石一類的介觀粒子，都可以觀察到量子糾纏現(xiàn)象[11]:263-270[12]。現(xiàn)今，研究焦點已轉(zhuǎn)至應(yīng)用性階段，即在通訊、計算機領(lǐng)域的用途[2]:150，然而，物理學(xué)者仍舊不清楚量子糾纏的基礎(chǔ)機制。
歷史
1935年，在普林斯頓高等研究院，愛因斯坦、博士后羅森、研究員波多爾斯基合作完成論文《物理實在的量子力學(xué)描述能否被認(rèn)為是完備的？》，并且將這篇論文發(fā)表于5月份的《物理評論》[13]:303。這是最早探討量子力學(xué)理論對于強關(guān)聯(lián)系統(tǒng)所做的反直覺預(yù)測的一篇論文。在這篇論文里，他們詳細(xì)表述EPR佯謬，試圖藉著一個思想實驗來論述量子力學(xué)的不完備性質(zhì)。他們并沒有更進一步研究量子糾纏的特性。
薛丁格閱讀完畢EPR論文之后，有很多心得感想，他用德文寫了一封信給愛因斯坦，在這封信里，他最先使用了術(shù)語Verschr?nkung（他自己將之翻譯為“糾纏”），這是為了要形容在EPR思想實驗里，兩個暫時耦合的粒子，不再耦合之后彼此之間仍舊維持的關(guān)聯(lián)[13]:313。不久之后，薛丁格發(fā)表了一篇重要論文，對于“量子糾纏”這術(shù)語給予定義，并且研究探索相關(guān)概念。薛丁格體會到這概念的重要性，他表明，量子糾纏不只是量子力學(xué)的某個很有意思的性質(zhì)，而是量子力學(xué)的特征性質(zhì)；量子糾纏在量子力學(xué)與經(jīng)典思路之間做了一個完全切割。如同愛因斯坦一樣，薛丁格對于量子糾纏的概念并不滿意，因為量子糾纏似乎違反在相對論中對于信息傳遞所設(shè)定的速度極限。后來，愛因斯坦更譏諷量子糾纏為鬼魅般的超距作用。
EPR論文很顯然地引起了眾多物理學(xué)者的興趣，啟發(fā)他們探討量子力學(xué)的基礎(chǔ)理論。但是除了這方面以外，物理學(xué)者認(rèn)為這論題與現(xiàn)代量子力學(xué)并沒有甚么牽扯，在之后很長一段時間，物理學(xué)術(shù)界并沒有特別重視這論題，也沒有發(fā)現(xiàn)EPR論文可能有甚么重大瑕疵[2]:38。EPR論文試圖建立定域性隱變量理論來替代量子力學(xué)理論。1964年，約翰·貝爾提出論文表明，對于EPR思想實驗，量子力學(xué)的預(yù)測明顯地不同于定域性隱變量理論。概略而言，假若測量兩個粒子分別沿著不同軸向的自旋，則量子力學(xué)得到的統(tǒng)計關(guān)聯(lián)性結(jié)果比定域性隱變量理論要強很多，貝爾不等式定性地給出這差別，做實驗應(yīng)該可以偵測出這差別。因此，物理學(xué)者做了很多檢試貝爾不等式的實驗。
1972年，約翰·克勞澤與史達(dá)特·弗利曼（Stuart Freedman）首先完成這種檢試實驗。1982年，阿蘭·阿斯佩的博士論文是以這種檢試實驗為題目。他們得到的實驗結(jié)果符合量子力學(xué)的預(yù)測，不符合定域性隱變量理論的預(yù)測，因此證實定域性隱變量理論不成立。但是，至今為止，每一個相關(guān)實驗都存在有漏洞，這造成了實驗的正確性遭到質(zhì)疑，在作總結(jié)之前，還需要完成更多精確的實驗。
這些年來，眾多的卓越研究結(jié)果促成了應(yīng)用這些超強關(guān)聯(lián)來傳遞信息的可能性，從而導(dǎo)致了量子密碼學(xué)的成功發(fā)展，最著名的有查爾斯·貝內(nèi)特（Charles Bennett）與吉勒·布拉薩（Gilles Brassard）發(fā)明的BB84協(xié)議、阿圖爾·艾克特（Artur Eckert）發(fā)明的E91協(xié)議。
2017年6月16日，量子科學(xué)實驗衛(wèi)星墨子號首先成功實現(xiàn)，兩個量子糾纏光子被分發(fā)到相距超過1200公里的距離后，仍可繼續(xù)保持其量子糾纏的狀態(tài)。
2018年4月25日，芬蘭阿爾托大學(xué)教授麥卡·習(xí)嵐帕（Mika Sillanp??）領(lǐng)導(dǎo)的實驗團隊成功地量子糾纏了兩個獨自振動的鼓膜。每個鼓膜的寬度只有15微米，約為頭發(fā)的寬度，是由1015個金屬鋁原子制成。通過超導(dǎo)微波電路，在接近絕對零度（-273°C）下，兩個鼓膜持續(xù)進行了約30分鐘的互動。這實驗演示出巨觀的量子糾纏。
基本概念
EPR佯謬的思想實驗：[10]:421-422
假設(shè)一個零自旋中性π介子衰變成一個電子與一個正電子，這兩個衰變產(chǎn)物各自朝著相反方向移動至區(qū)域A、B。由于量子糾纏，假若位于區(qū)域A的愛麗絲與位于區(qū)域B的鮑勃分別測量粒子沿著同樣軸向的自旋，則愛麗絲會測得上旋若且為若鮑勃會測得下旋，愛麗絲會測得下旋若且為若鮑勃會測得上旋。
假設(shè)一個零自旋中性π介子衰變成一個電子與一個正電子[10]:421-422。這兩個衰變產(chǎn)物各自朝著相反方向移動。電子移動到區(qū)域A，在那里的觀察者“愛麗絲”會觀測電子沿著某特定軸向的自旋；正電子移動到區(qū)域B，在那里的觀察者“鮑勃”也會觀測正電子沿著同樣軸向的自旋。在測量之前，這兩個糾纏粒子共同形成了零自旋的“糾纏態(tài)”?|psi >，是兩個直積態(tài)（product state）的疊加，以狄拉克標(biāo)記表示為
其中，
分別表示粒子的自旋為上旋或下旋。
在圓括弧內(nèi)的第一項
表明，電子的自旋為上旋若且唯若正電子的自旋為下旋；第二項
表明，電子的自旋為下旋若且唯若正電子的自旋為上旋。兩種狀況疊加在一起，每一種狀況都有可能發(fā)生，不能確定到底哪種狀況會發(fā)生，因此，電子與正電子糾纏在一起，形成糾纏態(tài)。假若不做測量，則無法知道這兩個粒子中任何一個粒子的自旋，根據(jù)哥本哈根詮釋，這性質(zhì)并不存在。這單態(tài)的兩個粒子相互反關(guān)聯(lián)，對于兩個粒子的自旋分別做測量，假若電子的自旋為上旋，則正電子的自旋為下旋，反之亦然；假若電子的自旋下旋，則正電子自旋為上旋，反之亦然。量子力學(xué)不能預(yù)測到底是哪一組數(shù)值，但是量子力學(xué)可以預(yù)言，獲得任何一組數(shù)值的概率為50%[10]:421-422。
愛麗絲測量電子的自旋，她可能會得到兩種結(jié)果：上旋或下旋，假若她得到上旋，則根據(jù)哥本哈根詮釋，糾纏態(tài)塌縮為第一個項目所代表的量子態(tài)
，隨后，鮑勃測量正電子的自旋，他會得到下旋的概率為100%；類似地，假若愛麗絲測量的結(jié)果為下旋，則糾纏態(tài)塌縮為第二個項目所代表的量子態(tài)
，隨后鮑勃會測量得到上旋。
設(shè)想一個類比的經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)實驗，將一枚硬幣沿著圓周切成兩半，一半是正面，另一半是反面，將這兩枚半幣分別置入兩個信封，然后隨機交給愛麗絲與鮑勃。假若愛麗絲打開信封，查看她得到的是哪種硬幣，她將無法預(yù)測這結(jié)果，因為得到正面或反面的機率各為50%。鮑勃也會遇到同樣的狀況。可以確定的是，假若愛麗絲得到正面，則鮑勃會得到反面；假若愛麗絲得到反面，則鮑勃會得到正面。這兩個事件完全地反關(guān)聯(lián)。
在先前的量子糾纏實驗里，愛麗絲與鮑勃分別測量粒子沿著同樣軸向的自旋，雖然這涉及到量子關(guān)聯(lián)，他們?nèi)耘f會得到與經(jīng)典關(guān)聯(lián)實驗同樣的結(jié)果。怎樣區(qū)分量子關(guān)聯(lián)與經(jīng)典關(guān)聯(lián)？假若愛麗絲與鮑勃分別測量粒子沿著不同軸向的自旋，而不是沿著同樣軸向，然后檢驗實驗數(shù)據(jù)是否遵守貝爾不等式，則他們會發(fā)覺，量子糾纏系統(tǒng)必定違反貝爾不等式，而經(jīng)典物理系統(tǒng)必定遵守貝爾不等式。因此，貝爾不等式乃是一種很靈敏的偵測量子糾纏的工具。量子糾纏實驗所涉及的量子關(guān)聯(lián)現(xiàn)象無法用經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)概念來解釋，在經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)里，找不到類似案例[22]:61-65。
粒子沿著不同軸向的自旋彼此之間是不相容可觀察量，對于這些不相容可觀察量作測量必定不能同時得到明確結(jié)果，這是量子力學(xué)的一個基礎(chǔ)理論。在經(jīng)典力學(xué)里，這基礎(chǔ)理論毫無意義，理論而言，任何粒子性質(zhì)都可以被測量至任意準(zhǔn)確度。貝爾定理意味著一個事實，一個已被實驗檢試的事實，即對兩個不相容可觀察量做測量得到的結(jié)果不遵守貝爾不等式。因此，基礎(chǔ)而言，量子糾纏是個非經(jīng)典現(xiàn)象。
不確定性原理的維持必須倚賴量子糾纏機制。例如，設(shè)想先前的一個零自旋中性π介子衰變案例，兩個衰變產(chǎn)物各自朝著相反方向移動，現(xiàn)在分別測量電子的位置與正電子的動量，假若量子糾纏機制不存在，則可藉著守恒定律預(yù)測兩個粒子各自的位置與動量，這違反了不確定性原理。由于量子糾纏機制，粒子的位置與動量遵守不確定性原理。
從以相對論性速度移動的兩個參考系分別測量兩個糾纏粒子的物理性質(zhì)，盡管在每一個參考系，測量兩個粒子的時間順序不同，獲得的實驗數(shù)據(jù)仍舊違反貝爾不等式，仍舊能夠可靠地復(fù)制出兩個糾纏粒子的量子關(guān)聯(lián)。
數(shù)學(xué)表述
以下各小節(jié)是為那些具有量子力學(xué)正式的數(shù)學(xué)描述的一個良好的工作知識的讀者而寫，包括文章推導(dǎo)中熟悉的形式和理論框架：狄拉克符號(BRA-KET符號)和量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述。本章節(jié)涉及到密度算符概念，若不熟悉密度算符相關(guān)概念，請先閱讀條目密度算符。
嚴(yán)格定義
假設(shè)一個復(fù)合系統(tǒng)是由兩個子系統(tǒng)A、B所組成，這兩個子系統(tǒng)A、B的希爾伯特空間分別為H_A、H_B，則復(fù)合系統(tǒng)的希爾伯特空間H_AB為張量積
設(shè)定子系統(tǒng)A、B的量子態(tài)分別為 |alpha>_A?、|beta>_B，假若復(fù)合系統(tǒng)的量子態(tài) |psi>_AB不能寫為張量積
，則稱這復(fù)合系統(tǒng)為子系統(tǒng)A、B的纏結(jié)系統(tǒng)，兩個子系統(tǒng)A、B相互纏結(jié)。
純態(tài)
假設(shè)一個復(fù)合系統(tǒng)是由兩個不相互作用的子系統(tǒng)A、B所組成，子系統(tǒng)A、B的量子態(tài)分別為?|alpha>_A?、|beta>_B，則復(fù)合系統(tǒng)的量子態(tài)為
這種形式的量子態(tài)稱為直積態(tài)（product state）。量子態(tài) |psi>_AB具有可分性（separability），是“可分態(tài)”。對于子系統(tǒng)A做測量，必定不會影響到子系統(tǒng)B；反之亦然。因此，對于這種復(fù)合系統(tǒng)，測量任意子系統(tǒng)的可觀察量時，不必考慮到另外一個子系統(tǒng)。
假設(shè)子系統(tǒng)A、B相互耦合，則復(fù)合系統(tǒng)的量子態(tài) |psi>_AB不能用單獨一項直積態(tài)表示，必須用多項直積態(tài)的量子疊加表示。量子態(tài) |psi>_AB 不具有可分性，是“糾纏態(tài)”。假設(shè)
{ |alpha_i>_A}?、{ |beta_j>_B}分別為希爾伯特空間H_A、H_B的規(guī)范正交基。在希爾伯特空間
里，這復(fù)合系統(tǒng)的量子態(tài)可以表示為
其中，c_ij是復(fù)系數(shù)。
例如，假設(shè)|0>_A?、|1>_A分別為規(guī)范正交基{?|a_i>_A}的基底向量，|0>_B?、|1>_B分別為規(guī)范正交基{?|b_ j>_B}的基底向量。以下形式的量子態(tài)是一個糾纏態(tài)
現(xiàn)在假設(shè)愛麗絲、鮑勃分別是子系統(tǒng)A、B的觀察者，規(guī)范正交基{?|a_i>_A}的基底向量
|0>_A?、|1>_A為可觀察量O_A的本征態(tài)向量，對應(yīng)的本征值分別為0、1。規(guī)范正交基
{?|b_ j>_B}的基底向量|0>_B?、|1>_B為可觀察量O_B的本征態(tài)向量，對應(yīng)的本征值分別為0、1。假設(shè)愛麗絲測量可觀察量O_A，則結(jié)果可能有兩種結(jié)果，每一種結(jié)果發(fā)生的機率相同，都是50%：
1.愛麗絲測量可觀察量O_A的結(jié)果為0，量子態(tài)塌縮為 |0>_A |1>_B 那么，鮑勃在之后測量可觀察量O_B的結(jié)果為1。
2.愛麗絲測量可觀察量O_A的結(jié)果為1，量子態(tài)塌縮為 |1>_A?|0>_B那么，鮑勃在之后測量可觀察量O_B的結(jié)果為0。
由此可見，愛麗絲對子系統(tǒng)A測量可觀察量O_A這定域動作改變了子系統(tǒng)B，盡管子系統(tǒng)A、B之間可能相隔很長一段距離，這就是兩個子系統(tǒng)量子糾纏的現(xiàn)象。更詳盡內(nèi)容，請參閱EPR佯謬https://www.bilibili.com/read/cv15662283。
由于愛麗絲測量得到的結(jié)果具有隨機性，愛麗絲不知道復(fù)合系統(tǒng)會怎樣塌縮，她不能夠以超光速傳遞這信息給鮑勃，因此，沒有違反因果性（causality）。更詳盡內(nèi)容，請參閱不可通訊定理（no-communication theorem）。
混合態(tài)
混合態(tài)是由幾種純態(tài)依照統(tǒng)計機率組成的量子態(tài)。假設(shè)一個量子系統(tǒng)處于純態(tài)
|psi_1>、|psi_2>、|psi_3>、……的機率分別為w_1、w_2、w_3、……，則這混合態(tài)量子系統(tǒng)的密度算符定義為
注意到所有機率的總和為1：
將先前對于純態(tài)的可分性所做的定義加以延伸，具有可分性的兩體混合態(tài)，其密度算符可以寫為[2]:131-132
其中，w_i是正實值系數(shù)，可以詮釋為機率，rho _i,A是子系統(tǒng)A的一組密度算符，rho _i,B是子系統(tǒng)B的一組密度算符。
假若兩體混合態(tài)可以以上述方程式表示，則這混合態(tài)具有可分性，其量子系統(tǒng)遵守貝爾不等式，不被量子糾纏；否則，這混合態(tài)具有不可分性，是糾纏態(tài)，其量子系統(tǒng)被量子糾纏，但并不一定會違反貝爾不等式[2]:131-132。
一般而言，很不容易辨識任意混合態(tài)量子系統(tǒng)到底是否被量子糾纏。一般兩體案例已被證明為NP困難。對于2*2與3*3案例，佩雷斯-霍羅德基判據(jù)（Peres-Horodecki criterion）是可分性的充要條件。
怎樣做實驗制成混合態(tài)？試想非偏振態(tài)光子是怎樣制成的。一種方法是利用處于動力學(xué)平衡的系統(tǒng)，這系統(tǒng)擁有很多個微觀態(tài)（microstate），伴隨每一個微觀態(tài)都有其發(fā)生的機率（波茲曼因子），它們會因熱力學(xué)漲落（thermal fluctuation）從一個微觀態(tài)變換到另一個微觀態(tài)。熱力學(xué)隨機性可以解釋白熾燈怎樣發(fā)射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性于系統(tǒng)的制備程序，例如，將光束通過表面粗糙的雙折射晶體，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應(yīng)用EPR機制，有些放射性衰變會發(fā)射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統(tǒng)的量子態(tài)為
(|R,L> +|L,R>)/2^0.5；
其中，|R,L>?、|L,R>?分別為右旋圓偏振態(tài)、左旋圓偏振態(tài)。整個系統(tǒng)是處于純態(tài)，但是每一個光子子系統(tǒng)的物理行為如同非偏振態(tài)光子，從分析光子子系統(tǒng)的約化密度算符，可以得到這結(jié)論。
約化密度算符
約化密度算符的點子最先由保羅·狄拉克于1930年提出。假設(shè)由兩個子系統(tǒng)A、B所組成的復(fù)合系統(tǒng)，其量子態(tài)為純態(tài)|psi>，其密度算符為rho =|psi> <psi|
這密度算符也是投影算符，能夠?qū)?fù)合系統(tǒng)的希爾伯特空間H_AB里的任意量子態(tài)|phi>投影到量子態(tài)|psi>：rho |phi > =|psi > <psi | phi >。
取密度算符rho對于子系統(tǒng)B的偏跡數(shù)，可以得到子系統(tǒng)A的約化密度算符rho _A：
例如，先前提到的糾纏態(tài)
，其子系統(tǒng)A的約化密度算符為
這公式演示出，子系統(tǒng)A的約化密度算符rho _A為混合態(tài)。
馮紐曼熵
在量子統(tǒng)計力學(xué)（quantum statistical mechanics）里，馮紐曼熵（von Neumann entropy）是經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)關(guān)于熵概念的延伸。對于約化密度矩陣為{\displaystyle \rho _{A}}
的糾纏態(tài)，馮紐曼熵的定義為[30]:301
其中，omega _i是約化密度矩陣rho _A的第i個本征態(tài)的本征值。從這形式可以推論馮紐曼熵與經(jīng)典信息論里的夏農(nóng)熵相關(guān)。
由于一個被定義在A部份的算符O_A的期望值是
可以視每一個本征值omega _i為處于本征態(tài)?|omega _i>的機率。若O_A=1是單位矩陣，則可發(fā)現(xiàn)所有的機率omega _i總和為1。
從定義的數(shù)學(xué)形式來看，假若探測到第i個本征態(tài)的機率為omega _i=0，則貢獻的馮紐曼熵為
假若rho _A是一個純態(tài)，則只有其中一個本征態(tài)|omega _i>被探測到的機率為omega _i=1，其他的本征值都是零，所以純態(tài)的馮紐曼熵為1Log 1=0
因此從數(shù)學(xué)而言，馮紐曼熵的下極限為零。馮紐曼熵愈大表示omega _i的機率分布愈平均，所以對于一個N*N的約化密度矩陣， 每一個本征態(tài)出現(xiàn)的機率都是1/N，馮紐曼熵是
馮紐曼熵可以被視為量子系統(tǒng)無序現(xiàn)象的一種度量，純態(tài)的馮紐曼熵最小，數(shù)值為0
，而完全隨機混合態(tài)則的馮紐曼熵最大，數(shù)值為Log N。
倫伊熵
倫伊熵（Rényi entropy）以匈牙利數(shù)學(xué)家倫伊·阿爾弗雷德命名，可視為馮紐曼熵的一種推廣。定義為
其中alpha>=0是一個實數(shù)。當(dāng)取極限alpha-> 1?時，倫伊熵就是馮紐曼熵。
量子糾纏度量
對于兩體純態(tài)系統(tǒng)，糾纏度量S(rho)（豎軸）與任意本征值omega _i（橫軸）的關(guān)系曲線。當(dāng)本征值為0.5時，糾纏度量最大，這純態(tài)是最大糾纏態(tài)。
量子糾纏與量子系統(tǒng)失序現(xiàn)象、量子信息喪失程度密切相關(guān)。量子糾纏越大，則子系統(tǒng)越失序，量子信息喪失越多；反之，量子糾纏越小，子系統(tǒng)越有序，量子信息喪失越少。因此，馮紐曼熵可以用來定量地描述量子糾纏，另外，還有其它種度量也可以定量地描述量子糾纏。對于兩體復(fù)合系統(tǒng)，這些糾纏度量較常遵守的幾個規(guī)則為[31][2]:129-130
糾纏度量必須映射從密度算符至正實數(shù)。
假若整個復(fù)合系統(tǒng)不處于糾纏態(tài)，則糾纏度量必須為零。
對于純態(tài)復(fù)合系統(tǒng)，糾纏度量必需約化為馮紐曼熵。
對于命定性的定域運算與經(jīng)典通訊（local operation and classical communication）變換，糾纏度量不會增加。
對于兩體純態(tài)|psi>_AB，根據(jù)施密特分解（Schimidt decomposition）[2]:129-130
其中，S_A、S_B分別為子系統(tǒng)A、B的馮紐曼熵，omega _i是先前提到的子系統(tǒng)A約化密度算符的幾個本征值之一。
所以，整個復(fù)合系統(tǒng)的糾纏度量S(rho)可以設(shè)定為任意子系統(tǒng)A或B的馮紐曼熵：
對于兩體純態(tài)|psi>_AB，假若子系統(tǒng)的約化密度矩陣是對角矩陣
，則這兩體純態(tài)具有最大可能的糾纏度量S(rho)=Log N，但是它的子系統(tǒng)也完全失序，并且無法預(yù)測對于子系統(tǒng)做測量得到的結(jié)果，只能預(yù)測兩個子系統(tǒng)之間的量子關(guān)聯(lián)。 順帶一題，一個N*N的對稱矩陣，每個矩陣元皆以亂數(shù)決定形成一個隨機矩陣，對角化之后得到的N個本征值并不等于1/N，而是一個半圓分布，因此隨機矩陣的馮紐曼熵并不是Log N。對于兩體純態(tài)，馮紐曼熵和倫伊熵都能夠量度量子糾纏，因為它能夠滿足某些量度量子糾纏必須遵守的判據(jù)。雖然如此，但是馮紐曼熵具有熱力學(xué)熵的相加性，倫伊熵則沒有熱力學(xué)熵的相加性。
至于混合態(tài)，目前量度量子糾纏并沒有好的方法。
量子糾纏與不可分性
假設(shè)一個量子系統(tǒng)是由幾個處于量子糾纏的子系統(tǒng)組成，而整體系統(tǒng)所具有的某種物理性質(zhì)，子系統(tǒng)不能私自具有，這時，不能夠?qū)ψ酉到y(tǒng)給定這種物理性質(zhì)，只能對整體系統(tǒng)給定這種物理性質(zhì)，它具有“不可分性”。不可分性不一定與空間有關(guān)，處于同一區(qū)域的幾個物理系統(tǒng)，只要彼此之間沒有任何糾纏，則它們各自可擁有自己的物理性質(zhì)。物理學(xué)者艾雪·佩雷斯給出不可分性的數(shù)學(xué)定義式，可以計算出整體系統(tǒng)到底具有可分性還是不可分性。假設(shè)整體系統(tǒng)具有不可分性，并且這不可分性與空間無關(guān)，則可將它的幾個子系統(tǒng)分離至兩個相隔遙遠(yuǎn)的區(qū)域，這動作凸顯出不可分性與定域性的不同──雖然幾個子系統(tǒng)分別處于兩個相隔遙遠(yuǎn)的區(qū)域，仍舊不可將它們個別處理。在EPR佯謬?yán)铮捎趦蓚€粒子分別處于兩個相隔遙遠(yuǎn)的區(qū)域，整體系統(tǒng)被認(rèn)為具有可分性，但因量子糾纏，整體系統(tǒng)實際具有不可分性，整體系統(tǒng)所具有明確的自旋z分量，兩個粒子各自都不具有[2]:52-53。
應(yīng)用
量子糾纏是一種物理資源，如同時間、能量、動量等等，能夠萃取與轉(zhuǎn)換。應(yīng)用量子糾纏的機制于量子信息學(xué)，很多平常不可行的事務(wù)都可以達(dá)成：
量子密鑰分發(fā)能夠使通信雙方共同擁有一個隨機、安全的密鑰，來加密和解密信息，從而保證通信安全。在量子密鑰分發(fā)機制里，給定兩個處于量子糾纏的粒子，假設(shè)通信雙方各自接受到其中一個粒子，由于測量其中任意一個粒子會摧毀這對粒子的量子糾纏，任何竊聽動作都會被通信雙方偵測發(fā)覺。
密集編碼（superdense coding）應(yīng)用量子糾纏機制來傳送信息，每兩個經(jīng)典位元的信息，只需要用到一個量子位元，這科技可以使傳送效率加倍。
量子隱形傳態(tài)應(yīng)用先前發(fā)送點與接收點分享的兩個量子糾纏子系統(tǒng)與一些經(jīng)典通訊技術(shù)來傳送量子態(tài)或量子信息（編碼為量子態(tài)）從發(fā)送點至相隔遙遠(yuǎn)距離的接收點。
量子算法（quantum algorithm）的速度時常會勝過對應(yīng)的經(jīng)典算法很多。但是，在量子算法里，量子糾纏所扮演的角色，物理學(xué)者尚未達(dá)成共識。有些物理學(xué)者認(rèn)為，量子糾纏對于量子算法的快速運算貢獻很大，但是，只倚賴量子糾纏并無法達(dá)成快速運算[32]:93。
在量子計算機體系結(jié)構(gòu)里，量子糾纏扮演了很重要的角色。例如，在一次性量子計算機（one-way quantum computer）的方法里，必須先制備出一個多體糾纏態(tài)，通常是圖形態(tài)（graph state）或簇態(tài)（cluster state），然后藉著一系列的測量來計算出結(jié)果。
不同種類的糾纏態(tài)
以下列出一些常遇到的糾纏態(tài)：
貝爾態(tài)（Bell state）有兩個量子位元?|>_A、?|>_B：
這四個純態(tài)都是最大糾纏態(tài)（根據(jù)馮紐曼熵計算），它們共同形成規(guī)范正交基在兩個量子位元的希爾伯特空間里。貝爾定理主要使用貝爾態(tài)來做出重要論述。
GHZ態(tài)（GHZ state）的量子位元數(shù)M大于2，以方程式表示為
假若M=2，這方程式約化為貝爾態(tài)|Phi ^+>的方程式。通常，GHZ態(tài)的量子位元數(shù)為M=3，是一種特別的三體系統(tǒng)。量子三元（qutrit）是量子位元的推廣。量子三元的三個基態(tài)分別為|0>、|1>、|2>。自旋為1的粒子，其自旋自由度有三，所對應(yīng)的本征值為+1, 0, -1，此種粒子可用來制備量子三元。
NOON態(tài)（NOON state）是兩個項目的量子疊加，一個項目是N個粒子處于量子態(tài)a與0個粒子處于量子態(tài)b，另一個項目是0個粒子處于量子態(tài)a與N個粒子處于量子態(tài)b：
在量子計量學(xué)（quantum metrology）里，光學(xué)干涉儀利用NOON態(tài)來準(zhǔn)確地量度相位[34]:23-26。
糾纏系統(tǒng)的制備
Ca40激發(fā)態(tài)的兩種衰變路徑，其分別對應(yīng)的兩個量子態(tài)由于量子疊加，衰變過程中發(fā)射的兩個光子被糾纏在一起。在此圖中，淡綠色、淡藍(lán)色波形線分別表示551.3nm波長與422.7nm波長的光子，j是總角量子數(shù)，m是磁量子數(shù)。
量子糾纏通常是因為亞原子粒子直接耦合而產(chǎn)生的。早期，原子級聯(lián)就是用來制備糾纏態(tài)的一種方法。例如，處于激發(fā)態(tài)的鈣原子，會先后發(fā)射出兩個光子，因此衰變至基態(tài)。假若第一個光子具有左旋圓偏振，則第二個光子具有左旋圓偏振；假若第一個光子具有右旋圓偏振，則第二個光子具有右旋圓偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有左旋圓偏振，哪個光子具有右旋圓偏振。因此這兩個光子被糾纏在一起，糾纏態(tài)為分別描述這兩種組合的兩個直積態(tài)的疊加：
|L>_1 |L>_2+|R>_1 |R>_2)/2^0.5；
其中，|L>、|R>分別是左旋圓偏振態(tài)、右旋圓偏振態(tài)，下標(biāo)1、2分別標(biāo)示第一個、第二個光子[35]:18-19。
現(xiàn)今最常用的方法之一是自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換。這自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換方法的一種實現(xiàn)是照射激光束于偏硼酸鋇晶體（beta-barium borate crystal，一種非線性晶體），大多數(shù)光子會穿透過晶體，只有少數(shù)光子，會因第二型自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換，生成一對一對的孿生光子。這些孿生光子對的直線軌道分別包含于兩個圓錐面，如引言段落的繪圖所示，一個圓錐面包含水平偏振軌道，另一個圓錐面包含垂直偏振軌道，而兩個圓錐面的交集是兩條直線，軌道為這兩條直線的兩個光子可以具有水平偏振或垂直偏振，假若一個具有水平偏振，則另一個具有垂直偏振；假若一個具有垂直偏振，則另一個具有水平偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有水平偏振，哪個光子具有垂直偏振，因此，這兩個偏振相互垂直的光子糾纏在一起，糾纏態(tài)為
|H>_1 |V>_2+|V>_1 |H>_2/2^0.5；
其中，|H>是水平偏振，|V>是垂直偏振[36]:205。
在凝聚態(tài)量子計算機里，最具有潛力的候選之一是量子點科技。量子點是一種半導(dǎo)體奈米晶體，能夠束縛激子于微小三維空間內(nèi)。激子是一對電子與電洞因靜電庫侖作用相互吸引而構(gòu)成的束縛態(tài)。假若電子與電洞復(fù)合，造成激子衰變，過剩能量會以光子形式發(fā)射釋出。在量子點里，也可能找到雙激子（biexciton），這是由兩個電子與兩個電洞組成的束縛態(tài)。雙激子會先發(fā)射一個光子，衰變成一個激子，然后再發(fā)射一個光子，衰變至基態(tài)。假若第一個光子具有水平偏振，則第二個光子也具有水平偏振，否則，兩個光子都具有垂直偏振。這兩種過程疊加而生成一對偏振糾纏的光子，其糾纏態(tài)為
|H>_1 |H>_2+|V>_1 |V>_2/2^0.5??[35]:20-21[37]。
在光學(xué)諧振腔內(nèi)，里德伯原子會因拉比振動發(fā)射或吸收光子的機制，應(yīng)用這機制來交換光子，兩個或三個里德伯原子可以形成糾纏態(tài)。
幾個囚禁在離子阱內(nèi)的囚禁離子可以被糾纏在一起。給定離子的兩個內(nèi)態(tài)分別為基態(tài)?|g>與激發(fā)態(tài)?|e>，每一種內(nèi)態(tài)都有其特定的內(nèi)能。囚禁在諧振子位勢內(nèi)的離子會擁有離散的振動能級n
與對應(yīng)的振動能態(tài)?|n>。照射邊帶頻率（sandband frequency）Omega土omega _n?激光于離子，可以將內(nèi)態(tài)與振動能級態(tài)糾纏在一起，糾纏態(tài)為|g,n>+|e,n土1>；其中，Omega是?|g>與|e>之間的拉比頻率，omega _n是振動能級?n?與?n土1之間的頻率差。
時間奧秘
亞瑟·愛丁頓認(rèn)為，能量的緩慢散布是時間流向不可逆反的證據(jù)。但是，從基本的物理定律，并無法觀測到時間流向；順著時間流向或逆著時間流向，這些物理定律都能同樣成立，這引起物理學(xué)者極大的困惑，他們只能從熱力學(xué)的統(tǒng)計分布給出時間流向的理論論述。物理學(xué)者賽斯·勞埃德（Seth Lloyd）在1988年博士論文里猜想，量子糾纏是時間流向的源頭；時間的流向是關(guān)聯(lián)遞加的方向，這機制源自于量子糾纏。起初，這點子并未受到學(xué)術(shù)界重視。后來，越來越多物理學(xué)者在這方面有所突破，他們發(fā)現(xiàn)了時間流向的更基礎(chǔ)源頭，微觀粒子彼此相互作用產(chǎn)生量子糾纏，因此形成能量散布與平衡的現(xiàn)象，關(guān)于微觀粒子的信息通過量子糾纏機制，從一至十、從十至百，逐步泄露到整個環(huán)境，因此顯示出時間流向。
有些物理學(xué)者主張，時間是一種從量子糾纏衍生出來的凸顯現(xiàn)象。于1960年代提出的惠勒－德威特方程式嘗試將量子力學(xué)與廣義相對論連結(jié)在一起，但是，這方程式并沒有將時間納入考量，因此引發(fā)了時間問題（problem of time）。直到1983年為止，這是學(xué)術(shù)界一大難題。在那年，檔恩·佩吉（Don Page）與威廉·烏特斯（William Wooters）找到一個建基于量子糾纏現(xiàn)象的解答，說明怎樣用量子糾纏來測量時間。
2013年，義大利都靈的國立計量研究院（Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica）實驗團隊完成實驗檢試佩吉與烏特斯的點子，證實這點子值得進一步研究。
蟲洞
洛倫茲蟲洞（史瓦西蟲洞）的電腦繪圖。
將兩個黑洞糾纏在一起，然后再將它們分離，就可制成一個蟲洞連結(jié)在它們之間。2013年，史丹福大學(xué)教授李奧納特·色斯金與普林斯頓高等研究院教授胡安·馬爾達(dá)西那共同提出了ER=EPR猜想，認(rèn)為兩個量子糾纏的粒子彼此之間的連結(jié)是一個蟲洞。將這論述加以延伸，物理學(xué)者質(zhì)疑，蟲洞的連結(jié)與量子糾纏的連結(jié)是同一種現(xiàn)象，只有系統(tǒng)的尺寸如同天壤之別。類似地從弦理論來檢視，糾纏兩個夸克也會有同樣的作用。
這些理論結(jié)果為一些新理論提供支持。這些新理論表明，引力與它的物理性質(zhì)不是基礎(chǔ)的，而是來自于量子糾纏。雖然量子力學(xué)正確地描述在微觀層次的相互作用，它尚未能夠解釋引力。量子引力理論應(yīng)該能夠演示出古典引力不是基礎(chǔ)的，就如同阿爾伯特·愛因斯坦所提議，而是從更基礎(chǔ)的量子現(xiàn)象產(chǎn)生。
施溫格效應(yīng)（Schwinger effect）從真空生成的糾纏粒子對，處于電場的作用下，可以被捕獲，不讓它們湮滅回真空。這些被捕獲的粒子相互糾纏，可以映射到閔可夫斯基時空。閔可夫斯基時空的意思為三維的空間和一維的時間，也被人們常誤會為四維空間。與之不同，有些物理學(xué)者認(rèn)為，引力存在于第五維。按照愛因斯坦的定律，將時空彎曲與變形。
根據(jù)全息原理（holographic principle），所有在第五維的事件可以變換為在其它四維的事件，因此，在糾纏粒子被生成的同時，蟲洞也被生成。更基礎(chǔ)地，這論述建議，引力與它彎曲時空的能力來自于量子糾纏。
案例
以兩顆向相反方向移動但速率相同的電子為例，即使一顆行至太陽邊，一顆行至冥王星邊，在如此遙遠(yuǎn)的距離下，它們?nèi)员Ｓ嘘P(guān)聯(lián)性（correlation）；亦即當(dāng)其中一顆被操作（例如量子測量）而狀態(tài)發(fā)生變化，另一顆也會即時發(fā)生相應(yīng)的狀態(tài)變化。如此現(xiàn)象導(dǎo)致了鬼魅似的超距作用之猜疑，仿佛兩顆電子擁有超光速的秘密通信一般，似與狹義相對論中所謂的定域性原理相違背。這也是當(dāng)初阿爾伯特·愛因斯坦與同僚玻理斯·波多斯基、納森·羅森于1935年提出的EPR佯謬來質(zhì)疑量子力學(xué)完備性的理由。
具有量子纏結(jié)的兩顆電子——電子1和電子2，其自旋性質(zhì)之纏結(jié)態(tài)可以下面式子為例：
無法寫成
，即兩個量子態(tài)的張量積。 下標(biāo)1和2表示這是電子1和電子2的量子態(tài)，采取?|0>表示自旋的z方向分量向上，|1>表示自旋的z方向分量向下。
太陽邊的科學(xué)家決定對電子1做投影式量子測量，其測到的隨機性結(jié)果不是?|0>就是?|1>。當(dāng)其測量結(jié)果顯示為狀態(tài)?|0>，則冥王星的科學(xué)家在此之后，或很近、或較遠(yuǎn)的時間點對電子2做測量，必定會測到?|0>的狀態(tài)。因為投影式量子測量已經(jīng)將原先量子態(tài)
|00>_12+|11>_12)/2^0.5
選擇性地塌縮到?|00>_12，也可寫成?|0>_1|0>_2?或
。這樣，可以從電子1狀態(tài)是?|0>知道選擇到?|00>這一邊。
注意到：
已經(jīng)是兩個成員系統(tǒng)各自量子態(tài)的張量積，所以測量后狀態(tài)已非纏結(jié)態(tài)。
