為了鞏固前一節(jié)的知識，我們先花一節(jié)的篇幅研究一下場的性質。設有場

且、均可微?，F在考慮平面上某點，它在映射后的像為?，F在我們在輸入點基礎上作增量，則輸出點成為

當增量足夠小，我們能寫出上式中函數的微分：

于是輸出點的增量為：

這說明在輸入增量足夠小時，輸出的增量可以看作輸入增量的線性變換，上述矩陣叫做Jacobi矩陣。（請記住上面的這個式子，后面有重要用途）

也就是說，如果我們考慮平面上一小塊區(qū)域，在映射之后，它就像是進行了一次線性變換一般，這完全類似于一元可導函數。我們知道，如果考慮一元可導函數，還記得那個重要的式子么？這說明它作用在數軸上就像是把數軸上各個部分按不同的比例進行拉扯，這個比例就是它的導數。原本的一段線段在映射后仍是一段線段，但它已經被拉扯過了。事實上，如果我們在這個基礎上考慮數軸上等距分布且相近的幾點：

這里兩兩之間的距離可以看作“微小增量”。則映射后它們看起來還是等距分布，只是這個"距"可能和原本不同：

看起來就像是被拉扯了一般。

我們在學習行列式（determinant）和線性變換時知道，行列式的值就是空間的伸縮程度。因此，我們利用其行列式

這個二元函數就可以計算出空間各點附近區(qū)域在映射下的伸縮程度。上述行列式叫做Jacobi行列式，可能有同學已經看出它就是教科書里多重積分換元時莫名其妙用到的一個重要行列式。經過本節(jié)的幾何解釋，讀者可以大概感受到為什么多重積分換元需要用到這個式子了。