最近有粉絲問我為什么沒有通用的求解五次方程的公式

為什么沒有通用的求解五次方程的公式是一個(gè)復(fù)雜而深?yuàn)W的話題，需要一些高等代數(shù)和數(shù)論的知識(shí)。盡管如此，我將盡力以通俗易懂的方式為您解釋，并提供一個(gè)大致的證明過程。

首先，我們需要了解一下方程的次數(shù)是如何定義的。方程的次數(shù)是指方程中最高次冪的指數(shù)。例如，一個(gè)五次方程的最高次冪是5，它的一般形式可以表示為：ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0，其中 a、b、c、d、e、f 是已知系數(shù)。

在代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，人們發(fā)現(xiàn)了求解一次、二次、三次和四次方程的通用公式，也就是可以用已知的系數(shù)來求解方程的根。這些公式被稱為拉格朗日定理或韋達(dá)定理。然而，到了五次方程，情況就變得復(fù)雜了。

為了證明沒有通用的五次方程求根公式，我們需要引入一個(gè)重要的概念——可解群。一個(gè)方程的解是可解的，意味著它的解可以用有限次的加、減、乘、除和開方運(yùn)算得到。可解群是一個(gè)數(shù)學(xué)上的概念，它描述了可以通過這些運(yùn)算得到的數(shù)的集合。

關(guān)于方程可解性的研究始于尼爾斯·亨利克·阿貝爾和埃瓦里斯特·加羅華的工作。他們的研究表明，五次方程的根不能用有限次的加、減、乘、除和開方運(yùn)算表示出來，即五次方程不屬于可解群。

具體來說，我們可以通過構(gòu)造一個(gè)特定的五次方程來證明這一點(diǎn)。假設(shè)我們有一個(gè)一般形式的五次方程 ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0?，F(xiàn)在，我們引入一個(gè)新的變量 y，構(gòu)造一個(gè)新的方程：y^5 + py + q = 0，其中 p 和 q 是與 a、b、c、d、e、f 有關(guān)的系數(shù)。

如果我們能夠通過有限次的加、減、乘、除和開方運(yùn)算將這個(gè)新方程的根 y 表示出來，那么我們也能夠通過同樣的運(yùn)算將原始的五次方程的根表示出來。因此，如果我們能證明新方程不可解，那么原始的五次方程也不可解。

為了證明新方程的不可解性，我們需要使用一個(gè)重要的結(jié)論，即旋轉(zhuǎn)五次方程的根。對(duì)于新方程 y^5 + py + q = 0 的任何根 y，我們可以通過旋轉(zhuǎn)的方式得到其他四個(gè)根。具體來說，如果 y 是方程的一個(gè)根，那么旋轉(zhuǎn)角度為 2π/5 的五次方根 e^(2πi/5) 也是方程的一個(gè)根。

現(xiàn)在，假設(shè)我們能夠用有限次的加、減、乘、除和開方運(yùn)算將 y 表示出來。由于加法、減法、乘法和除法是保持可解性的運(yùn)算，我們只需要關(guān)注開方運(yùn)算。

如果我們能夠通過有限次的開方運(yùn)算將 y 表示出來，那么我們也應(yīng)該能夠通過有限次的開方運(yùn)算將旋轉(zhuǎn)的五次方根表示出來。然而，數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯恐邪l(fā)現(xiàn)，無論我們進(jìn)行多少次開方運(yùn)算，都無法將旋轉(zhuǎn)的五次方根表示為有限次的運(yùn)算。這個(gè)結(jié)論是基于數(shù)論和代數(shù)幾何的深入研究得出的。

因此，我們可以得出結(jié)論：由于五次方程的根無法用有限次的加、減、乘、除和開方運(yùn)算表示，因此不存在通用的求解五次方程的公式。

需要注意的是，雖然沒有通用的求解五次方程的公式，但我們?nèi)匀豢梢允褂脭?shù)值方法來近似求解方程的根。數(shù)值方法可以通過迭代運(yùn)算來逼近方程的根，例如牛頓法、二分法等。這些方法在實(shí)際問題中非常有用，但它們并不提供一個(gè)顯式的解析解。

希望這個(gè)通俗化的解釋能夠幫助您理解為什么沒有通用的求解五次方程的公式。請(qǐng)注意，我在這個(gè)回答中只能提供一個(gè)大致的證明過程，而不是詳盡的證明。詳細(xì)的證明需要更深入的數(shù)學(xué)知識(shí)和推導(dǎo)。